高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线测试题

3.2.1 双曲线及其标准方程

A级 必备知识基础练

1. ［探究点二］（多选题）过点,且的双曲线的标准方程可以是(  )

A.  B.  C.  D.

2. ［探究点三］若方程表示焦点在轴上的双曲线,则实数的取值范围为(  )

A.  B.

C.  D.

3. ［探究点二］已知双曲线的左、右焦点分别为,,点在双曲线的右支上,若,且双曲线的焦距为,则该双曲线的方程为(  )

A.  B.  C.  D.

4. ［探究点一］已知双曲线上一点到左焦点的距离为10,则的中点到坐标原点的距离为(  )

A. 3或7 B. 6或14 C. 3 D. 7

5. ［探究点四］许多建筑融入了数学元素,更具神韵,数学赋予了建筑活力,数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知图1是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑,图2是其中截面最细附近处的部分图象,上、下底与地面平行.现测得下底直径米,上底直径米,与间的距离为80米,与上、下底等距离的处的直径等于,则最细部分处的直径为(  )

图1

图2

A. 10米 B. 20米 C. 米 D. 米

6. ［探究点三］若方程表示双曲线,则实数的取值范围是；若表示椭圆,则实数的取值范围是.

7. ［探究点二］焦点在轴上的双曲线经过点,且与两焦点的连线互相垂直,则此双曲线的标准方程为.

8. ［探究点二］已知与双曲线共焦点的双曲线过点,求该双曲线的标准方程.

B级 关键能力提升练

9. 已知定点,,是圆上任意一点,点关于点的对称点为,线段的中垂线与直线相交于点,则点的轨迹是(  )

A. 椭圆 B. 双曲线 C. 抛物线 D. 圆

10. 已知双曲线的左、右焦点分别为,,点为双曲线上一点,的内切圆圆心为,若,则(  )

A.  B. 6 C. 8 D. 10

11. （多选题）已知方程表示的曲线为，下列说法正确的有(  )

A. 当 时，曲线 为椭圆

B. 当 或 时，曲线 为双曲线

C. 若曲线 为焦点在 轴上的椭圆，则

D. 若曲线 为焦点在 轴上的双曲线，则

12. （多选题）已知点在双曲线上,,是双曲线的左、右焦点,若的面积为20,则下列说法正确的有(  )

A. 点 到 轴的距离为 B.

C. 为钝角三角形 D.

13. 数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观,形缺数时难入微.”事实上,有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.如:与相关的代数问题可以考虑转化为点与点之间距离的几何问题.结合上述观点,可得方程的解为.

14. 一动圆过定点，且与定圆相外切，则动圆圆心的轨迹方程为.

15. 已知双曲线,,是其两个焦点，点在双曲线上.

（1） 若 ,求的面积.

（2） 若 ，的面积是多少?若 ，的面积又是多少?

C级 学科素养创新练

16. [2023浙江杭州模拟]如图所示,平面直角坐标系中有两点和.以为圆心,正整数为半径的圆记为.以为圆心,正整数为半径的圆记为.对于正整数,点是圆与圆的交点,且,,,,都位于第二象限.则这5个点都位于(  )

A. 直线上 B. 椭圆上 C. 抛物线上 D. 双曲线上

3.2.1 双曲线及其标准方程

基础落实·必备知识全过关

知识点1 双曲线的定义

过关自诊

1. ×; ×; ×; ×

提示①若将“小于 ”改为“等于 ”，其余条件不变，则动点轨迹是以 ， 为端点的两条方向相反的射线（包括端点）；

②若将“小于 ”改为“大于 ”，其余条件不变，则动点轨迹不存在;

③若为零，其余条件不变，则点的轨迹是线段 的中垂线.

3. 解 因为,所以根据双曲线的定义可知,一定在,且焦点在轴上的双曲线上.

这就是说,点的坐标一定满足.另一方面,由可知,因此的横坐标要大于零,从而可知的轨迹方程为.

知识点2 双曲线的标准方程

过关自诊

提示 “焦点跟着正项走”，若 项的系数为正，则焦点在 轴上；若 项的系数为正，则焦点在 轴上.

2. B

[解析]根据双曲线的定义知,的轨迹是以,为焦点,以8为实轴长的双曲线,所以,,,所以双曲线的方程为.故选.

3. 解椭圆的左、右顶点坐标分别为,,右焦点坐标为,因此,双曲线的焦点坐标为,,且经过点,可设双曲线的标准方程为,,,所以,所以所求双曲线的标准方程为.

重难探究·能力素养全提升

探究点一 双曲线定义的应用

【例1】 （1） 解设，根据双曲线的定义知，即.

解得或.

（2） 由，得，，.

由定义和余弦定理得，

，所以，

所以，.

思路分析（1）直接利用定义求解.（2）在 中利用余弦定理求 .

变式训练1 解在双曲线的方程中,,,则.

设,.

由双曲线的定义可知，

,

两边平方，得.

又 ,

由勾股定理，得,

.

探究点二 求双曲线的标准方程

【例2】 （1） 解 当焦点在轴上时，设所求标准方程为，把点的坐标代入，得，不符合题意；当焦点在轴上时，设所求标准方程为，把点的坐标代入，得.故所求双曲线的标准方程为.

（2） （方法1） 焦点相同，

设所求双曲线的标准方程为，

，即.①

双曲线经过点，

.②

由①②得，， 双曲线的标准方程为.

（方法2）设所求双曲线的方程为.

双曲线过点，，

解得或（舍去）.

双曲线的标准方程为.

（3） 设双曲线的方程为，.

点，在双曲线上，

解得

双曲线的标准方程为.

变式训练2 （1） 解 ,,则.

又焦点在轴上,所以双曲线的标准方程为.

（2） 焦点为和,

设方程为,且,所以.①

因为经过点,所以.②

由①②解得,.

所以双曲线的标准方程为.

探究点三 双曲线标准方程的应用

【例3】 （1） 解将所给方程化为,若该方程表示双曲线,则有,解得或,故实数的取值范围是.

（2） 将所给方程化为,若该方程表示焦点在轴上的双曲线,则有解得,故实数的取值范围是.

思路分析 根据双曲线方程的特征建立不等式（组）求解.

 变式训练3（1） D

[解析]方程化为.

因为,所以,故方程表示焦点在轴上的双曲线.

（2）

[解析]方程化为,

依题意有,

即.

因为 ,所以.

探究点四 双曲线的实际生活应用

【例4】 解以线段的中点为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立平面直角坐标系（图略）,设发出巨响的点为.

由题意可知,易知点在以,为焦点的双曲线上,即,,解得,,

所以.

因此发出巨响的点所在曲线的方程为

.

变式训练4 ;

[解析]如图所示,以所在的直线为轴,的垂直平分线为轴建立直角坐标系.则,根据双曲线定义知,轨迹为双曲线的右支.故,,,,,故轨迹方程为.根据题意知,,当,,共线时,等号成立.

本节要点归纳

分层作业

A级 必备知识基础练

1. AB

[解析]由于,.

当焦点在轴上时,设双曲线方程为,代入得.

此时双曲线方程为.

同理,求得焦点在轴上时,双曲线方程为.

2. A

[解析] 方程表示焦点在轴上的双曲线,解得.

实数的取值范围为.故选.

3. C

[解析]由题意得解得则该双曲线的方程为.

4. A

[解析]设双曲线的右焦点为,连接（图略）,是的中位线,

.

,,

或6,

或3.

5. B

[解析]建立如图所示的平面直角坐标系,

由题意可知,,

设双曲线的方程为,

解得.

故选.

6. ;

[解析]若方程表示双曲线,则应有,即；

若表示椭圆,则有解得且.

7.

[解析]设焦点,,

则由,得,

,.

设双曲线的方程为,

双曲线过点,.

又,,,

双曲线的标准方程为.

8. 解已知双曲线,

则,.

设所求双曲线的标准方程为.

依题意知,

故所求双曲线方程可写为.

点在所求双曲线上,

,

化简得,

解得或.

当时,,不符合题意,舍去,,,

所求双曲线的标准方程为.

B级 关键能力提升练

9. B

[解析]如图所示,连接,由题意可得,且为的中点,

.

点关于点的对称点为,线段的中垂线与直线相交于点.

由垂直平分线的性质可得.

由双曲线的定义可得点的轨迹是以,为焦点的双曲线.

10. D

[解析]由双曲线得,,可得.

设的内切圆的半径为,

由,

可得,

即.

易得,由双曲线的定义可得,

则有,解得,

则.

11. BCD

[解析]错误，当时，曲线为圆；正确，若为双曲线，则，或；正确，若曲线为焦点在轴上的椭圆，则，；正确，若曲线为焦点在轴上的双曲线，则.

12. BC

[解析]因为双曲线,所以.又因为,所以,故错误；

将代入得,即，由对称性,不妨取点的坐标为,可知,由双曲线定义可知,所以,故正确；

对于点,在中,,则,则为钝角,所以为钝角三角形,故正确；

由余弦定理得,

,故错误.

13.

[解析],

,其几何意义为动点到定点,的距离差的绝对值为4.

根据双曲线的定义,可将原方程的解转化为“以,为焦点,4为实轴长的双曲线与轴交点的横坐标”.

,.

,,

双曲线方程为.

令,得,解得.

14.

[解析]设动圆圆心为点，则，即.

点的轨迹是以，为焦点，且，的双曲线的左支.

又，.

动圆圆心的轨迹方程为.

15. （1） 解设 , （不妨设 ）, ,因为 , 已知，所以只需求 即可.

15. （1） 当 时，

由双曲线方程知,,，

由双曲线的定义，得,

两边平方,得.

又,

即,

也即，求得

（2） 若 ，则在中，

,所以，求得.

同理，可求得当 时,.

C级 学科素养创新练

16. D

[解析]由题意可知,且,,,,都位于第二象限,而,则这5个点都位于双曲线上.故选.