人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线习题

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册第三章 圆锥曲线的方程3.2 双曲线习题，共6页。试卷主要包含了双曲线=1的焦点坐标为，已知F是双曲线C，一动圆P过定点M,且与已知圆N，设F1,F2是双曲线C等内容，欢迎下载使用。
3.2.1　双曲线及其标准方程课后·训练提升基础巩固1.已知点F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是(　　)A.双曲线B.双曲线的一支C.直线D.一条射线答案:D解析:因为F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件|PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹是以F2(2,3)为端点的一条射线.2.双曲线=1的焦点坐标为(　　)A.(-,0),(,0)B.(0,-),(0,)C.(-5,0),(5,0)D.(0,-5),(0,5)答案:C解析:由双曲线的标准方程,知a=4,b=3,则c=5.又因为焦点在x轴上,所以焦点坐标为(-5,0),(5,0).3.已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C上一点,且PF与x轴垂直,点A的坐标是(1,3),则△APF的面积为(　　)A. B.C. D.答案:D解析:由题意知,a=1,b=,所以c2=a2+b2=4,得c=2,则F(2,0).将x=2代入x2-=1,得y=±3,则|PF|=3.又点A的坐标是(1,3),所以AP⊥PF,且点A到直线PF的距离为2-1=1,故△APF的面积为×3×1=.4.已知方程(1+k)x2-(1-k)y2=1表示焦点在x轴上的双曲线,则k的取值范围为(　　)A.(-1,1)B.(1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)答案:A解析:由题意得解得即-1<k<1.5.(多选题)已知θ∈,关于x,y的方程为=1,则下列说法正确的是(　　)A.当θ∈时,方程表示焦点在y轴上的椭圆B.当θ∈时,方程表示焦点在x轴上的椭圆C.当θ∈时,方程表示焦点在x轴上的双曲线D.当θ∈时,方程表示焦点在y轴上的双曲线答案:ABC解析:当θ∈时,cosθ>sinθ>0,故A正确;当θ∈时,sinθ>cosθ>0,故B正确;当θ∈时,sinθ>0,cosθ<0,方程表示焦点在x轴上的双曲线,故C正确,D不正确.6.已知F1,F2为椭圆=1与双曲线-y2=1的公共焦点,P是两曲线的一个交点,则cos∠F1PF2等于(　　)A. B. C. D.答案:D解析:不妨设点P在第一象限,左、右焦点分别为F1,F2,依题意有解得|PF1|=,|PF2|=,又|F1F2|=4,所以由余弦定理可得cos∠F1PF2=.7.一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(　　)A.=1(x≥2)B.=1(x≤-2)C.=1D.=1答案:C解析:由已知得N(4,0),当圆P与圆N内切时,圆N在动圆P的内部,有|PN|=|PM|-4;当圆P与圆N外切时,有|PN|=|PM|+4,故||PN|-|PM||=4.由双曲线的定义得点P的轨迹为以M,N为焦点的双曲线,且2a=4,c=4,则a2=4,b2=12.故动圆圆心P的轨迹方程为=1.8.设F1,F2是双曲线C:x2-=1的两个焦点,O为坐标原点,点P在C上且|OP|=2,则△PF1F2的面积为(　　)A. B.3 C. D.2答案:B解析:由已知在双曲线C中,有a=1,c=2,不妨设F1(-2,0),F2(2,0),因为|OP|=2=|F1F2|,所以点P在以F1F2为直径的圆上,即△F1F2P是以P为直角顶点的直角三角形,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即|PF1|2+|PF2|2=16,又||PF1|-|PF2||=2a=2,所以4=||PF1|-|PF2||2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=16-2|PF1||PF2|,解得|PF1||PF2|=6,所以|PF1||PF2|=3.故选B.9.若双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点坐标是(0,3),则实数k的值为　　　　　. 答案:-1解析:将双曲线方程8kx2-ky2=8化为标准方程为=1.∵焦点在y轴上,∴<0,即k<0,∴c2=-=9,∴k=-1.10.已知双曲线过点(3,-2)且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点.(1)求双曲线的标准方程;(2)若点M在双曲线上,F1,F2为左、右焦点,且|MF1|+|MF2|=6,试判断△MF1F2的形状.解:(1)椭圆方程可化为=1,焦点在x轴上,且c=,故设双曲线方程为=1(a>0,b>0),则有解得a2=3,b2=2,所以双曲线的标准方程为=1.(2)不妨设点M在双曲线的右支上,则有|MF1|-|MF2|=2,又|MF1|+|MF2|=6,解得|MF1|=4,|MF2|=2.又|F1F2|=2,因此在△MF1F2中,边MF1最长.因为cos∠MF2F1=<0,所以∠MF2F1为钝角,故△MF1F2为钝角三角形.能力提升1.若点P在双曲线=1的右支上,双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,则|PF1|的最小值等于(　　)A.19 B.1 C.18 D.20答案:A解析:由已知得a=9,b=,c=10,故|PF1|的最小值等于a+c=19.2.设F1,F2是双曲线-y2=1的左、右焦点,点P在双曲线上,当△PF1F2的面积等于1时,的值为(　　)A.0 B. C.1 D.2答案:A解析:由已知得c=,F1(-,0),F2(,0),不妨设P(x0,y0)(x0>0,y0>0),由×2c×y0=1得y0=,代入双曲线方程可得x0=,即P,于是,故=0.3.已知双曲线C:=1的左、右焦点分别为F1,F2,M,N为异于F1,F2的两点,且MN的中点在双曲线C的左支上,点M关于F1和F2的对称点分别为A,B,则|NA|-|NB|等于(　　)A.26 B.-26 C.52 D.-52答案:D解析:设MN与双曲线的交点为点P,由几何关系结合三角形中位线,可得|NA|=2|PF1|,|NB|=2|PF2|,则|NA|-|NB|=2(|PF1|-|PF2|),又点P位于双曲线的左支上,则|NA|-|NB|=2(|PF1|-|PF2|)=2×(-2×13)=-52.4.已知双曲线=1的右焦点为F,P为双曲线左支上一点,点A(0,),则△APF周长的最小值为(　　)A.4+ B.4(1+) C.2() D.+3答案:B解析:设左焦点为G,则|PF|-|PG|=2×2=4,△APF的周长l=|PA|+|PF|+|AF|=|AF|+|PG|+4+|PA|,当P,A,G三点共线时,|PA|+|PG|取最小值,且最小值为|AG|=2,又|AF|=2,所以l的最小值为4+2+2=4(1+).5.(多选题)已知点P是双曲线E:=1右支上的一点,F1,F2分别为双曲线E的左、右焦点,△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的是(　　)A.点P的横坐标为B.△PF1F2的周长为C.∠F1PF2小于D.△PF1F2的内切圆半径为答案:ABC解析:设△F1PF2的内心为I,连接IP,IF1,IF2,双曲线E:=1中的a=4,b=3,c=5,不妨设P(m,n),m>0,n>0,由△PF1F2的面积为20,可得|F1F2|n=cn=5n=20,即n=4,由=1,可得m=,故A正确;由P,且F1(-5,0),F2(5,0),可得,则tan∠F1PF2=∈(0,),则∠F1PF2<,故C正确;由|PF1|+|PF2|=,则△PF1F2的周长为+10=,故B正确;设△PF1F2的内切圆半径为r,可得r(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)=·|F1F2|·4,可得r=40,解得r=,故D不正确.故选ABC.6.设双曲线=1的两个焦点分别为F1,F2,P为双曲线上一点,若|PF1|·|PF2|=32,则=　　　　　. 答案:0解析:由题意得,||PF1|-|PF2||=6,c2=9+16=25,联立=||PF1|-|PF2||2+2|PF1||PF2|=36+64=100=,因此PF1⊥PF2,则=0.7.已知双曲线与椭圆=1有相同的焦点,且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,则双曲线的方程为　　　　　　　　　　. 答案:=1解析:椭圆的焦点分别为(0,-3),(0,3),故可设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),且c=3,则a2+b2=9.由双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4,可得两交点的坐标分别为(,4),(-,4),由交点在双曲线上知=1,解方程组故所求双曲线的方程为=1.8.在周长为48的直角三角形MPN中,∠MPN=,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的方程.解:∵∠MPN=,tan∠PMN=,∴可设|PN|=3k,|PM|=4k,k>0,则|MN|=5k.∵△MPN的周长为48,∴3k+4k+5k=48,∴k=4,∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.以MN所在直线为x轴,MN的中点为原点建立 平面直角坐标系,设所求双曲线的方程为=1(a>0,b>0),由|PM|-|PN|=4,得2a=4,a=2,∴a2=4.由|MN|=20,得2c=20,c=10,∴b2=c2-a2=96,∴所求双曲线的方程为=1.9.如图,已知圆A:(x+3)2+y2=4,点B的坐标为(3,0),P是圆A上任意一点.线段BP的垂直平分线l与直线AP相交于点Q.当点P在圆A上运动时,求点Q的轨迹C的方程.解:由题意得,圆A:(x+3)2+y2=4的圆心为A(-3,0),半径r=2,且|QP|=|QB|,∴||QA-|QB||=||QA|-|QP||=|AP|=2,∴点Q的轨迹是以A(-3,0),B(3,0)为焦点的双曲线.设双曲线的方程为=1(a>0,b>0),则2a=2,c=3,∴b2=c2-a2=8,∴点Q的轨迹方程为x2-=1.