高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第2课时练习

第2课时　数列的递推公式与前n项和

知识点一  利用数列的递推公式求数列的项

1．已知数列{an}满足an＝4an－1＋3，且a1＝0，则此数列第5项是(　　)

A．15  B．255

C．16  D．63 

答案　B

解析　∵an＝4an－1＋3，a1＝0，∴a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.

2．已知a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的第4项是(　　)

A.  B．

C．  D．

答案　C

解析　∵an＋1＝，a1＝1，∴a2＝＝＝，a3＝＝＝，a4＝＝＝.

3．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq，且a2＝－6，那么a10等于(　　)

A．－165  B．－33

C．－30  D．－21

答案　C

解析　由已知得a2＝a1＋a1＝2a1＝－6，∴a1＝－3.

∴a10＝2a5＝2(a2＋a3)＝2a2＋2(a1＋a2)＝4a2＋2a1＝4×(－6)＋2×(－3)＝－30.

4．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a2020＝(　　)

A．3  B．6

C．－3  D．－6

答案　C

解析　a1＝3，a2＝6，a3＝a2－a1＝3，a4＝a3－a2＝－3，a5＝a4－a3＝－3－3＝－6，a6＝a5－a4＝－6＋3＝－3，a7＝3，a8＝6，a9＝a3，a10＝a4，∴数列{an}的周期为6，∴a2020＝a6×336＋4＝a4＝－3.故选C.

5．已知数列{an}满足：a4n－3＝1，a2n＝an，n∈N*，则a2020＝________.

答案　1

解析　∵a2n＝an，∴a2020＝a1010＝a505＝a4×127－3，又a4n－3＝1，∴a2020＝1.

知识点二  利用数列的递推公式求通项公式

6.在数列{an}中，若a1＝2，且对所有n∈N*满足an＝an＋1＋2，则an＝________.

答案　－2n＋4

解析　由题意知an＋1－an＝－2，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋(an－2－an－3)＋…＋(a2－a1)＋a1＝－2(n－1)＋2＝－2n＋4.

7．数列{an}满足递推公式a1＝5，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的前四项依次为________，它的通项公式为________．

答案　5，，，2　an＝

解析　因为a1＝5，an＝an－1，所以a2＝a1＝，a3＝a2＝，a4＝a3＝2.

由an＝an－1得＝(n≥2，n∈N*)，

所以＝，＝，…，＝(n≥2，n∈N*)，

将以上各式两两相乘得＝··…·＝，

所以an＝(n≥2，n∈N*)，

又a1＝5符合上式，所以其通项为an＝.

8．已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

解　累加法：an－an－1＝＝－，

a2－a1＝1－，a3－a2＝－，

a4－a3＝－，…，an－an－1＝－，

累加可得an－a1＝1－.

又a1＝1，所以an＝2－.

又a1＝1符合上式，所以数列{an}的通项公式为an＝2－.

知识点三  数列{an}的前n项和Sn与an的关系

9.数列{an}的前n项和Sn＝3n－2n2 (n∈N*)，则当n≥2 时，下列不等式成立的是(　　)

A．Sn＞na1＞nan  B．Sn＞nan＞na1

C．na1＞Sn＞nan  D．nan＞Sn＞na1

答案　C

解析　解法一：由an＝

解得an＝5－4n.

∴a1＝5－4×1＝1，∴na1＝n.∴nan＝5n－4n2.

∵na1－Sn＝n－(3n－2n2)＝2n2－2n＝2n(n－1)＞0，

Sn－nan＝3n－2n2－(5n－4n2)＝2n2－2n＞0.

∴na1＞Sn＞nan.

解法二：∵an＝5－4n，∴当n＝2时，Sn＝－2，

na1＝2，nan＝－6，∴na1＞Sn＞nan.

10．已知数列{an}的前n项之和Sn＝2n＋1，则此数列的通项公式为________．

答案　an＝

解析　当n＝1时，a1＝S1＝2＋1＝3，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－(2n－1＋1)＝2n－1，

又21－1＝1≠3，所以an＝

11．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3n＋2n＋1，求an.

解　a1＝S1＝6；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]＝2·3n－1＋2.

由于a1不适合此式，故an＝

一、选择题

1．符合递推关系式an＝an－1的数列是(　　)

A．1,2,3,4，…  B．1，，2,2，…

C.，2，，2，…  D．0，，2,2，…

答案　B

解析　逐个验证，故选B.

2．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋n，则过P(1，a1)，Q(2，a2)两点的直线的斜率是(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

答案　B

解析　∵Sn＝n2＋n，∴a1＝S1＝2，a2＝S2－S1＝6－2＝4.∴过P，Q两点的直线的斜率k＝＝＝2.

3．数列{an}的构成法则如下：a1＝1，如果an－2为自然数且之前未出现过，则用递推公式an＋1＝an－2，否则用递推公式an＋1＝3an，则a6＝(　　)

A．－7  B．3

C．15  D．81

答案　C

解析　由a1＝1，a1－2＝－1∉N，得a2＝3a1＝3.

又a2－2＝1＝a1，故a3＝3a2＝9.

又a3－2＝7∈N，故a4＝a3－2＝7.

又a4－2＝5∈N，故a5＝a4－2＝5.

又a5－2＝3＝a2，所以a6＝3a5＝15.故选C.

4．已知数列{an}的首项为2，且数列{an}满足an＋1＝，数列{an}的前n项和为Sn，则S144等于(　　)

A．－49  B．42

C．－42  D．49

答案　C

解析　因为a1＝2，an＋1＝，所以a2＝，a3＝－，a4＝－3，a5＝2，…，所以数列{an}的周期为4，且a1＋a2＋a3＋a4＝－，因为144÷4＝36，所以S144＝36×＝－42，故选C.

5．(多选)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1－＝an，n∈N*.若对于任意的t∈[1,2]，不等式<－2t2－(a＋1)t＋a2－a＋2恒成立，则实数a可能为(　　)

A．－4  B．－2

C．0  D．2

答案　AB

解析　由an＋1－＝an，得an＋1－＝an，

∴－＝＝－，

∴＝＋＋…＋＋a1＝＋＋…＋＋1＝2－<2，∵不等式<－2t2－(a＋1)t＋a2－a＋2恒成立，

∴2≤－2t2－(a＋1)t＋a2－a＋2，

∴2t2＋(a＋1)t－a2＋a≤0在t∈[1,2]上恒成立，

设f(t)＝2t2＋(a＋1)t－a2＋a，

∴解得a≤－2或a≥5，

∴结合选项知A，B正确．

二、填空题

6．在数列{an}中，an＝2n＋1，对于数列{bn}，b1＝a1，当n≥2时，bn＝abn－1，则b4＝________，b5＝________.

答案　31　63

解析　由an＝2n＋1，知b2＝ab1＝a3＝7，b3＝ab2＝a7＝15，b4＝ab3＝a15＝31，b5＝ab4＝a31＝63.

7．已知F(x)＝f－1是R上的奇函数．an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．

答案　an＝n＋1

解析　因为F(x)＋F(－x)＝0，

所以f＋f＝2，

即若a＋b＝1，则f(a)＋f(b)＝2.

于是由an＝f(0)＋f＋…＋f＋f(1)(n∈N*)，

得2an＝[f(0)＋f(1)]＋＋…＋＋[f(1)＋f(0)]＝2n＋2，

所以an＝n＋1.

8．函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意的自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2020＝________.

答案　2

解析　由题意可得x1，x2，x3，x4，x5，…的值分别为2,1,5,2，1，…，故数列{xn}为周期为3的周期数列．

∴x2020＝x3×673＋1＝x1＝2.

三、解答题

9．数列{an}中a1＝1，对所有的n≥2，都有a1·a2·a3·…·an＝n2.

(1)求a3，a5；

(2)探究是否为此数列中的项？若是，是第多少项？

(3)试比较an与an＋1(n≥2)的大小．

解　(1)∵对所有的n≥2，

都有a1·a2·a3·…·an＝n2，

∴a1·a2＝22，a1·a2·a3＝32，

a1·a2·a3·a4＝42，a1·a2·a3·a4·a5＝52.

∴a3＝，a5＝.

(2)∵a1·a2·a3·…·an＝n2，

∴n≥3时，a1·a2·a3·…·an－1＝(n－1)2，

∴n≥3时，an＝2，且a1＝1，a2＝4，

而＝2，∴是数列中的项，是第16项．

(3)∵＝2×2＝2>1，

∴an>an＋1(n≥2)．

10．已知数列{an}中，a1＝1，前n项和Sn＝an.

(1)求a2，a3；

(2)求{an}的通项公式．

解　(1)由S2＝a2得3(a1＋a2)＝4a2，

解得a2＝3a1＝3.

由S3＝a3得3(a1＋a2＋a3)＝5a3，

解得a3＝(a1＋a2)＝6.

(2)由题设知a1＝1.

当n≥2时，有an＝Sn－Sn－1＝an－an－1，

整理得an＝an－1.

于是a1＝1，

a2＝a1，

a3＝a2，

…

an－1＝an－2，

an＝an－1.

将以上n个等式两端分别相乘，整理得an＝.

显然，当n＝1时也满足上式．

综上可知，{an}的通项公式为an＝.