数学八年级上册第十三章 轴对称13.3 等腰三角形13.3.1 等腰三角形同步测试题

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专题19 多个等腰三角形求角度
1．如图，在第1个中，，在上取一点C，延长到，使得；在上取一点D，延长到，使得；……，按此做法进行下去，第2013个三角形中以为顶点的内角的度数为（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出∠An的度数，从而求出结果．
【详解】
解：在中，，，
，
，是△的外角，
；
同理可得，
，，
．
∴第2013个三角形中以为顶点的内角的度数为，
故选A．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠CA2A1，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
2．如图，在中，，点为边上一点，且，则的度数为（       ）

A． B． C．32° D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先设，根据，，得出，，，最后根据三角形内角和即可得出答案．
【详解】
设，
，
，，
，
，
，
，即．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和以及三角形外角定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质和三角形外角定理并能灵活运用．
3．“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的三等分角仪能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕点O转动，C点固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动，若∠BDE＝81°，则∠CDE的度数是（　　）

A．72° B．75° C．80° D．60°
【答案】A
【解析】
【分析】
由等腰三角形性质得∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，设∠O=∠ODC=x，由三角形外角性质和三角形内角和定理得∠DCE=∠DEC=2x，∠CDE=180°-4x，根据平角性质列出方程，解之即可求得x值，再由∠CDE=180°-4x即可求得答案．
【详解】
解：∵OC=CD=DE，

∴∠O=∠ODC，∠DCE=∠DEC，
设∠O=∠ODC=x，
∴∠DCE=∠DEC=2x，
∠CDE=180°-∠DCE-∠DEC=180°-4x，
∵∠BDE＝81°，∠ODC+∠CDE+∠BDE=180°，
∴，
解得：，
，故A正确．
故选：A．
【点睛】
此题主要考查三角形的内角和定理、三角形的外角性质、等腰三角形性质，熟练进行逻辑推理是解题关键．
4．如图，为等边三角形，在的延长线上取点，使，得等腰；在的延长线上取点，使，得等腰，按此做法继续下去，则等腰的顶角的度数为（       ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，探究规律，利用规律解决问题即可．
【详解】
∵△PA1A2是等边三角形，
∴∠PA2A1=60°，
∵A2P=A2A3，
∴∠PA3A2=∠A2PA3，
∵∠PA2A1=∠PA3A2+∠A2PA3，
∴∠PA3A2=30°=×60°，
同法可得，∠PA4A3=∠PA3A2=（）2×60°，∠PAnAn-1=（）n-2×60°，
∴∠PAn-1An=180°-2×（）n-2×60°=180°-（）n-3×60°，
故选：C．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，规律型问题等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．
5．如图，在第1个中，，；在边上任取一点D，延长到，使，得到第2个；在边上任取一点，延长到，使，得到第3个，…按此做法继续下去，则第2021个三角形中以为顶点的底角度数是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，A1B=CB，得∠BA1C=75°．由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2．根据三角形外角的性质，得∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=∠BA1C=×75°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题即可．
【详解】
∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=×150°=75°．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=∠BA1C=×75°．
同理可得：∠EA3A2=12∠DA2A1=××75°．
…
以此类推，以An为顶点的内角度数是 ．
∴以A2021为顶点的内角度数是．
故选 A．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
6．如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，若∠A＝50°，则∠An﹣1AnBn﹣1的度数为（       ）


A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意易得，，…..；然后根据三角形外角的性质可得…..，由此可得规律．
【详解】
解：∵AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，∠A＝50°，
∴，，…..；
∵，
∴，
同理可得，……；
∴；
故选B．
【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及三角形外角的性质，熟练掌握等腰三角形的性质及三角形外角的性质是解题的关键．
7．在△ABC中，AB=AC， 若过△ABC的一个顶点的直线可将△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC的度数为（       ）
A．90°或108°或36°或 B．90°或108°或36°
C．90°或54°或36°或 D．90°或54°或36°
【答案】A
【解析】
【分析】
分别以点A、点B、点C为顶点做直线将△ABC分成两个等腰三角形，由于AB=AC，故以点B和以点C为顶点作的等腰三角形结果是一样的，所以讨论点A、点B为顶点的情况，根据等腰三角形的性质找出角的关系，由三角形外角以及三角形内角和定理即可求解．
【详解】

如图1，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，
设，
，
，
，
，，
，
在中，，
，
解得：，
；

如图2，当过点A的直线交BC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；

如图3，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，
设，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
；

如图4，当过点B的直线交AC于点D，将△ABC分成两个等腰三角形，使，，
设，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
，
综上，可为90°或108°或36°或．
故选：A．
【点睛】
本题考查等腰三角形的判定、三角形内角和定理，画出符合条件的图形，根据等腰三角形的判定以及三角形内角和定理找出角的关系是解题的关键．
8．如图在第一个△A1BC中，∠B＝40°，A1B＝BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E．……如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为（　　）

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
【详解】
解：在△CBA1中，∠B＝40°，A1B＝CB，
∴∠BA1C＝＝70°，
∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×70°，
同理可得∠EA3A2＝（）2×70°，∠FA4A3＝（）3×70°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是．
故选：C．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
第II卷（非选择题）
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二、填空题
9．如图在第二个△A1BC中，∠B=40°，A1B=BC，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第二个△A1A2D，再在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E…如此类推，可得到第n个等腰三角形．则第n个等腰三角形中，以An为顶点的内角的度数为 ______．

【答案】
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1C的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律即可得出第n个三角形中以An为顶点的内角度数．
【详解】
解：在△CBA1中，∠B=40°，A1B=CB，
∴∠BA1C=（180°-∠B）=70°，
∵A1A2=A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，
∴∠DA2A1=∠BA1C=×70°，
同理可得∠EA3A2=（）2×70°，
∠FA4A3=（）3×70°，
∴第n个三角形中以An为顶点的内角度数是（）n-1×70°．
故答案为：70°×．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠DA2A1，∠EA3A2及∠FA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
10．如图，在第1个△A1BC中，∠B=30°，A1B=CB，在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2=A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3=A2E，得到第3个△A2A3E⋯⋯按此做法继续下去，则第2022个三角形中，以A2022为顶点的底角的度数是 ____________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，由∠B=30°，A1B=CB，得∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°，那么∠BA1C=×150°=75°．由A1A2=A1D，得∠DA2A1=∠A1DA2．根据三角形外角的性质，由∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1，得∠DA2A1=∠BA1C=××150°．以此类推，运用特殊到一般的思想解决此题．
【详解】
解：∵∠B=30°，A1B=CB，
∴∠BA1C=∠C，30°+∠BA1C+∠C=180°．
∴2∠BA1C=150°．
∴∠BA1C=×150°=75°．
∵A1A2=A1D，
∴∠DA2A1=∠A1DA2．
∴∠BA1C=∠DA2A1+∠A2DA1=2∠DA2A1．
∴∠DA2A1=∠BA1C=××150°．
同理可得：∠EA3A2=∠DA2A1=××150°．
…，
以此类推，以An为顶点的内角度数是∠An=（）n×150°=（）n-1×75°．
∴以A2022为顶点的内角度数是（）2021×75°=．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握三角形外角的性质以及特殊到一般的猜想归纳思想是解决本题的关键．
11．如图，在△ABA1中，∠B＝20°，AB＝A1B，在A1B上取一点C，延长AA1到A2，使得A1A2＝A1C；在A2C上取一点D，延长A1A2到A3，使得A2A3＝A2D；…，依此进行下去，∠A1A2C的度数为______；以An为顶点的锐角的度数为______．

【答案】     40°    
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠BA1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠A1A2C，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律即可得出以An为顶点的锐角的度数．
【详解】
解：在△ABA1中，∠B=20°，AB=A1B，
∴   
∵A1A2=A1C，∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴；
同理可得， ∠DA3A2=，∠EA4A3=，
∴以An为顶点的锐角的度数为．
故答案为：40°，．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠A1A2C，∠DA3A2及∠EA4A3的度数，找出规律是解答此题的关键．
12．如图，是一角度为的锐角木架，要使木架更加牢固，需在其内部添加一些连接支撑木件、、…，且…，在、足够长的情况下，如果最多能添加这样的连接支撑木件为6根，则锐角的范围为_________．

【答案】0°＜α＜
【解析】
【分析】
由等腰三角形的性质和外角性质可得，∠GEF=2α，∠GFH=3α，∠HGB=4α，由题意可列不等式，即可求解．
【详解】
解：∵OE=EF，
∴∠EOF=∠EFO=α，
∴∠GEF=∠EOF+∠EFO=2α，
同理可得∠GFH=3α，∠HGB=4α，
∵最多能添加这样的钢管6根，
∴7α＜90°，
∴0°＜α＜，
故答案为：0°＜α＜．
【点睛】
此题考查了等腰三角形的判定和性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．
13．如图，在△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，在B1C1上取一点C2，延长AB1到点B2，使得B1B2＝B1C2，在B2C2上取一点C3，延长AB2到点B3，使得B2B3＝B2C3，在B3C3上取一点C4，延长AB3到点B4，使得B3B4＝B3C4，……，按此操作进行下去，那么第2个三角形的内角∠AB2C2＝________°；第n个三角形的内角∠ABnCn＝________°．

【答案】     40    
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质求出∠C1B1A的度数，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出∠B1B2C2，∠C3B3B2及∠C4B3B2的度数，找出规律即可得出∠ABnCn的度数．
【详解】
解：△AB1C1中，AC1＝B1C1，∠C1＝20°，
∴∠C1B1A＝ ，
∵B1B2＝B1C2，，∠C1B1A是△B1B2C2的外角，
∴∠B1B2C2＝ ；
同理可得，
∠C3B3B2＝20°，∠C4B3B2＝10°，
∴∠ABnCn＝．
故答案为：40，．
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质及三角形外角的性质，根据题意得出∠B1B2C2，∠C3B3B2及∠C4B3B2的度数，找出规律是解答此题的关键．
14．如图，在中，，，，则________（度）．

【答案】45
【解析】
【分析】
先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理用∠A表示和，再根据即可得解．
【详解】
解：∵中，，
∴∠B=90°-∠A，
∵AC=AD，
∴，
∵，
∴,
∴．
故答案为：45．
【点睛】
本题考查等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，三角形内角和定理．能利用相关性质正确表示角是解题关键．
15．已知一张三角形纸片ABC（如图甲），其中∠B＝∠C．将纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，折痕为BD（如图乙）．再将纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，折痕为EF（如图丙）．原三角形纸片ABC中，则∠DEB＝___∠A，∠ABC的大小为___°．

【答案】         
【解析】
【分析】
根据等腰三角形的性质，折叠的性质解答即可．
【详解】
解：∵纸片沿过点E的直线折叠，点A恰好与点D重合，
∴，
∴，
设，
∵纸片沿过点B的直线折叠，使点C落到AB边上的E点处，
∴，，
则，
解得：，
∴，
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，熟知等腰三角形等腰对等角，折叠后的图形对应角相等是解本题的关键．
16．如图，若、、在上，、在上，且，，则______．

【答案】70°
【解析】
【分析】
据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质可得△DCE是等边三角形，结合∠FEB＝∠CED＋∠DEF−∠CEB，即可求解．
【详解】
解：∵AB＝BC＝CD＝ED＝EF，∠A＝20°，
∴∠BCA＝20°，
∴∠CBD＝∠BDC＝40°，
∴∠DCE＝∠CED＝60°，
∴∠EDF＝∠DFE＝80°，
∴∠DEF＝180°-80°-80°=20°，
∵△DCE中，∠DCE＝∠CED＝60°，
∴△DCE是等边三角形，
∴DC＝CE，
∴BC＝CE，
则∠CBE＝∠CEB，
又∠BCA＝20°，
∴∠CEB＝10°，
∴∠FEB＝∠CED＋∠DEF−∠CEB＝60°＋20°−10°＝70°，
故答案为：70°．
【点睛】
本题考查了等腰三角形两底角相等的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，是基础题．
三、解答题
17．如图，已知，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】
由∠B=20°，根据三角形内角和公式可求得∠BA1A的度数，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质找∠BA1A与∠A4的关系即可解答．
【详解】
解：∵AB=A1B，∠B=20°，
∴∠A=∠BA1A=（180°-∠B）=（180°-20°）=80°，
∵A1C=A1A2，A2D=A2A3，A3E=A3A4，
∴∠A1CD=∠A1A2C，
∵∠BA1A是△A1A2C的外角，
∴∠BA1A=2∠CA2A1=4∠DA3A2=8∠A4，
∴∠A4=10°．
【点睛】
本题考查了三角形内角和定理，三角形外角与内角的关系及等腰三角形的性质的综合运用．充分利用外角的性质确定∠BA1A与∠A4的关系是解答本题的关键．
18．如图，已知等边三角形A1BC，在边A1C上任取一点D，延长BA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D，在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去．

（1）第4个三角形中的底角度数；
（2）第n（n≥1）个三角形中的底角度数；
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）根据等腰边角形的性质，得；根据等腰三角形和三角形外角的性质，依次得：、、，即可得到答案；
（2）根据（1）的结论，根据数字规律、乘方的性质计算，即可得到答案．
【详解】
（1）∵等边三角形A1BC，
∴
∵A1A2＝A1D，
∴第2个三角形中的底角
∵A2A3＝A2E，
∴第3个三角形中的底角
∵A3A4＝A3F，
∴第4个三角形中的底角；
（2）根据（1）的结论，得：第n个三角形中的底角度数为．
【点睛】
本题考查了三角形、数字规律、乘方的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、等边三角形、等腰三角形、数字规律的性质，从而完成求解．