专题22 证切线求面积-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．如图，线段AB为⊙O的直径，点C、点D为半圆AB的三等分点，点F为线段AB延长线上一点，且OB=BF．
(1)求证：直线DF是⊙O的切线；
(2)⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)图中阴影部分的面积为．
【分析】（1）连接OD，BD，推出△OBD是等边三角形，得到∠OBD=60°，BD=OB，求得∠ODF=90°，根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）根据已知条件OF=4，根据勾股定理得到DF的长，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
(1)
证明：连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，点D是半圆AB的三等分点，
∴∠BOD=∠AOB=60°，
在△OBD中，∵OB=OD，∠BOD=60°，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠OBD=60°，BD=OB，
∵OB=BF，BD=OB，
∴BD=BF，
∴∠BDF=∠F，
∵∠OBD=∠F+∠BDF，
∴∠F=∠BOD=30°，
∵∠F=30°，∠BOD=60°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵点D在⊙O上，
∴直线DF是⊙O的切线；
(2)
解：∵OB=OD=2，BF=OB，
∴OF=4，
在Rt△ODF中，由勾股定理得，DF=，
∵S△ODF=OD•DF=×2×2=2，S扇形BOD=，
∴图中阴影部分的面积=．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
2．如图，AB是半圆O的直径，C，D是半圆O上的两点，弧AC=弧BD，AE与弦CD的延长线垂直，垂足为E．
（1）求证：AE与半圆O相切；
（2）若DE=2，AE=，求图中阴影部分的面积
【答案】（1）详见解析；（2）.
【分析】从问题入手，根据切线的判定可知，要证明AE与半圆O相切，必须证明AE⊥AB, 由已知条件：AE与弦CD的延长线垂直，进而须证明，联想证平行的办法与弧建立联系；
作辅助线，构建直角三角形，先由勾股定理可得：,由直角三角形斜边中线的性质求得：ED=EF=DF=2, 则△DEF是等边三角形，再求得△AOD是等边三角形，根据面积差可得阴影部分的面积．
【详解】（1）证明：连接AC，










（2）解：连接AD，取AD的中点F，连接EF、OD，


∵F是AD的中点，

∴ED=EF=DF=2，
∴△DEF是等边三角形，
∴∠EDA=60°，
由（1）知：AB∥CF
∴∠DAO=∠EDA=60°，
∵OA=OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠AOD=60°，OA=AD=4，

【点睛】此题考查了切线的判定、圆周角定理、等边三角的判定与性质、扇形面积公式等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
3．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC中点，AE⊥DE于点E．点O是线段AE上的点，以点O为圆心，OE为半径的⊙O与AB相切于点G，交BC于点F，连接OG．
(1)求证：△ECD∽△ABE；
(2)求证：⊙O与AD相切；
(3)若BC＝12，AB＝6，求⊙O的半径和阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据同角的余角相等，可证∠AEB=∠CDE，且∠B=∠C，从而解决问题；
（2）延长DE、AB交于点P，根据ASA证△DCE≌△PBE，得DE=PE，从而有AD=AP，再证明∠DAO=∠GAO，利用角平分线的性质可得OH=OG，从而证明结论；
（3）根据BC=12，AB=6，可求出∠AEB=60°，有△OEF是等边三角形，通过AO=2OG，得r=4，阴影部分的面积通过梯形面积减去扇形面积即可．
（1）
证明：∵AE⊥DE，
∴∠AED=90°，
∴∠DEC+∠AEB=90°，
∵∠C=90°，
∴∠CDE+∠DEC=90°，
∴∠AEB=∠CDE，
∵∠B=∠C，
∴△ECD∽△ABE；
（2）
证明：延长DE、AB交于点P，作OH⊥AD于H，
∵E为BC的中点，
∴CE=BE，
在△DCE和△PBE中，
，
∴△DCE≌△PBE（ASA），
∴DE=PE，
∵AE⊥DP，
∴AE垂直平分DP，
∴AD=AP，
∴∠DAO=∠GAO，
∵OH⊥AD，OG⊥AB，
∴OH=OG，
∴⊙O与AD相切；
（3）
解：如图，连接OF，
∵点E为BC中点，
∴BE=BC=6
在Rt△ABE中，∵BE=6，AB=6，
∴AE==12，
∴sinA=,
∴∠A=30°
∴∠AEB=∠AOG=60°，
∵OE=OF，
∴△OEF是等边三角形，
∴∠EOF=60°，
设半径为r，
∴AO=2OG，
∴12-r=2r，
∴r=4，
∴OG=OE=OF=4，
∴EF=OE=4，
∴BF=BE-EF=2，
∴AO=8，
在Rt△AGO中，AO=8，OG=4，
∴AG=4，
∴BG=AB-AG=2，
∵∠GOF=180°-∠EOF-∠AOG=60°，
∴S阴影=×(2+4)×2−=6-．
【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定与性质、圆的切线的判定和性质、不规则图形的面积计算等知识，有一定的综合性，第（2）问中构造出全等三角形是解题的关键．
4．如图，已知BC是的直径，PB是的切线．连接PO，过点C作OP的平行线交于点A，连接PA．
(1)求证：PA是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接OA，AB，AB交OP于点D，易得，根据平行线的性质求得，结合，利用等腰三角形的三线合一易得OP是的平分线，得到，利用判定三角形全等的“SAS”得到与全等，进而得到，再利用切线的判定求解；
（2）根据等腰三角形的性质易得，利用平行线的性质求得，结合得到，求出OP和AP的长度，再利用三角形的面积减去扇形的面积求出阴影部分的面积即可．
(1)
证明：连接OA，AB，AB交OP于点D，如下图．
∵BC是的直径，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴OD垂直平分AB，
∴OP是的平分线，
∴．
在和中
，
∴，
∴．
∵PB是的切线，
∴，
∴．
∵点A是上的一点，且OA为半径，
∴PA是的切线；
(2)
解：∵，，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，扇形的面积公式．作出辅助线构建直角三角形是解答关键．
5．如图，在△ACD中，点B为AC边上的点，以AB为直径的⊙O与CD相切于点E，连接AE，∠D＝2∠EAC．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若∠D＝60°，⊙O的半径为4，求阴影部分的面积．（结果保留根号和π）
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）由圆周角定理可得：，由切线的性质可得：，即可求得，即可求证；
（2）根据，分别求得，，即可求解．
(1)
证明：由题意可得：
又∵
∴，
∵⊙O与CD相切于点E，
∴，
又∵，
∴，
又∵为半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)
解：∵
∴，
在中，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴，，
，
【点睛】此题考查了圆切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理以及扇形面积的计算，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
6．如图，已知为的直径，是的弦，是的切线，切点为B，点D，F是的三等分点，，的延长线相交于点E．
(1)求证：DC是的切线；
(2)若的半径为1，求阴影部分面积．
【答案】(1)见解析；
(2)
【分析】（1）连接OD由点D，F是，的三等分点可知，，进而可知====60°，则可证≌（SAS）由此可知，根据 BC是的切线，则则可证，是的半径，则可证DC是的切线；
（2）由，可知在中， ，根据 ，进而可知在中， ，由勾股定理得：，进而可求△DOE的面积，进而可求扇形DOE的面积，用割补法可求出阴影部分面积．
(1)
解：证明：如图，连接OD，
∵点D，F是，的三等分点，
∴，，
∴====60°，
在和中，
∴≌（SAS），
∴（全等三角形对应角相等）
又 BC是的切线，
∴，
∴，
∴，是的半径，
∴DC是的切线．
(2)
解：（已证），
，
在中， ，
又，
，
在中， ，
在中，由勾股定理得：，
，
，
．
【点睛】本题考查全等三角形，扇形的面积和弧长，圆的切线证明，勾股定理，割补法法求面积，能够熟练掌握割补法是解决本题的关键．
7．如图，为斜边上的一点，，以为半径的与交于点，与交于点，连接且平分．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接OD，推出OD⊥BC，根据切线的判定推出即可；
（2）连接DE、OE，求出阴影部分的面积=扇形EOD的面积，求出扇形的面积即可．
(1)
如图，连接．
∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
又∵，∴．
又∵为的半径，
∴是的切线．
(2)
如图，连接，．
∵，，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
又∵，
∴，，
∴．
由（1）知，∴四边形是平行四边形，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的性质和判定，切线的性质和判定，扇形的面积有关计算的应用，能灵活运用定理进行推理和计算是解答此题的关键．
8．如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，半径OE⊥AC于点D．过点A作⊙O的切线与OE的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F．
(1)求证：PC是⊙O的切线；
(2)若PC＝2AD，AB＝10．求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析；
(2)．
【分析】（1）连接OC，根据切线的性质可得，根据等腰三角形的性质得出，利用全等三角形的判定和性质可得，，根据切线的判定即可证明；
（2）由等腰三角形的性质可得，利用切线长定理得出，根据等边三角形的判定和性质可得，，由三角形内角和定理及直角三角形的性质可得，，根据勾股定理得出，结合图形可得阴影部分面积等于三角形面积减去扇形BOC的面积即可得．
（1）
证明：连接OC，
∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴，
∵于点D，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴
∴，
∵OC是⊙O的半径，
∴PC是⊙O的切线；
（2）
解：∵于点D，，
∴，
∵PA，PC是⊙O的切线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴
，
，
．
【点睛】题目主要考查切线的判定和性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，切线长定理，勾股定理解三角形，直角三角形的性质，扇形的面积公式等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝12，BC＝5，半径为2的⊙O分别与AC、BC相切于点E、F．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（1）
【分析】（1）连接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足为M，利用面积法求出OM的长，由此得到结论；
（2）先证明OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，得到∠AOB=135º，再利用扇形面积公式计算即可得到答案．
【详解】（1）连接OE、OF、OC，作OM⊥AB，垂足为M，
∵⊙O与AC，BC相切，
∴OE=OF=2，∠OEC=∠OFC=90°，
∵AC=12，BC=5，
∴AB=13，
由面积法S△AOC＋S△BOC＋S△AOB＝S△ABC，
∴OE·AC＋OF·BC＋OM·AB＝AC·BC，
∴OM=2，
又∵OM⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）OM⊥AB，∠OEC=∠OFC=90º，OE=OF=OM，
∴OA、OB分别是∠CAB、∠CBA的角平分线，
由∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠CBA＝90°，
∴∠OAB＋∠OBA＝45°，∠AOB=135º，
∴S阴影=S△AOB－S扇形=×13×2－×π×22=．
【点睛】此题考查切线的判定定理和性质定理，角平分线的性质，正确掌握面积法计算三角形的面积，由此求线段长度是解题的关键．
10．如图，是的直径，平分，交于点，过点作直线，交的延长线于点，交的延长线于点．
（1）求证：是的切线；
（2），的半径为2，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OE，若要证明CD是⊙O的切线，只需证明CD与OE垂直，故证明OEAD即可；
（2）根据含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用可求得，再根据直角三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：连接，
，
，
∵平分，
∴，
，
，
，
，
，
∴．
，
是的切线；
（2）解：，，，
，，
，
阴影部分面积
．
【点睛】本题主要考查了切线的性质和判定，含30°的直角三角形的性质，勾股定理的应用，平行线的性质，扇形的面积计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
11．如图，中，的平分线交于点O，以点O为圆心，长为半径作圆．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）过O作OD⊥AB于D，由角平分线的性质得OD=OC，再由OC为⊙O的半径，则OD为⊙O的半径，即可得出结论；
（2）由含30°角的直角三角形的性质得AC=OC=4，∠COD=120°，然后由切线的性质得AD=AC=4，即可解决问题．
【详解】解：（1）证明：过O作于D，如图所示，
，
平分
，
为的半径，
为的半径，
是的切线．
（2）∵OD⊥AB，
∴∠ODB=90°，
∵∠CAO=30°，∠ACB=90°，
∴AC=OC=4，
∵∠AOC=90°-30°=60°，
∴∠COD=2∠AOC=120°，
由（1）得：AB是⊙O的切线，OC⊥AC，
∴AC为⊙O的切线，
∴AD=AC=4，
∴阴影部分面积=△AOC的面积+△AOD的面积-扇形OCD的面积
．
【点睛】本题考查了切线的判定与性质、角平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质以及扇形面积公式等知识；熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．
12．如图，已知是的直径，点D，C是圆上的两个点，且，直线于点E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）根据圆周角定理可知，根据平行线的判定可知，根据根据垂直的判定和切线的判定定理即可求证结论；
（2）连结，，根据外角定理和等边三角形的判定可得是等边三角形，含30°角的直角三角形的性质可得：，根据切线的性质和角的和差可得，进而可得：，，根据切割法可得：，代入数据即可求解．
【详解】（1）证明∵，
∴，
∵，
∵，
∴，且是直径，
∴是的切线．
（2）解 连结，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵是切线，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴
．
【点睛】本题考查切线的判定及其性质、含30°角的直角三角形判定及其性质、等边三角形的判定及性质、扇形面积的计算公式，解题的关键是熟练掌握所学知识．
13．如图，在中，，点在上，以为直径的与边BC相切于点，与边相交于点，且，连接并延长交于点，连接．
（1）求证：是的切线．
（2）若的长为，求图形中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】(1) 利用SAS定理证明△ODB≌△OGB，根据全等三角形的性质得到∠OGB=∠ODB=90°，根据切线的判定定理证明结论；
(2)根据含30°的直角三角形的性质求出直角三角形的边长，根据直角三角形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：（1）证明：连接OD，如图，
则OD⊥BC，
又，
∴OD//AC
∴∠AEO=∠EOD
又
∴∠AOE=∠EOD
∵OE=OA
∴∠OAE=∠OEA
∴∠OAE=∠OEA=∠AOE=60゜
∴∠DOB=∠GOB=60゜
又OD=OG，OB=OB
∴△ODB≌△OGB，
∴∠OGB=∠ODB=90゜
∵OG是的半径，
∴是的切线．
（2）∵的长为，
∴
∴OD=4
∴OG=4
∵∠GOB=60゜，∠OGB=90゜
∴∠GBO=30゜
∴OB=8,
由勾股定理得，BG=
∴
=
=
【点睛】本题考查的是切线的判定与性质、扇形面积计算、等边三角形的判定和性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切点的半径、扇形面积公式是解题的关键．
14．如图，直线AM是⊙O的切线，切点为A，点B在⊙O上，BD⊥AM， 垂足为D，BD与⊙O交于点C，∠B=60°．
（1）求证：OC平分∠AOB；
（2）若⊙O 的半径为4，求图中阴影部分的面积(结果保留和根号)．
【答案】（1）见详解；（2）
【分析】（1）由等边三角形的判定和性质，求出∠1=60°，再由平行线的性质得到∠2=60°，即可得到结论成立；
（2）连接AC，利用△AOC是等边三角形，求得∠OAC=60°，可得∠CAD=30°，在直角三角形中，求出CD、AD的长，则S阴影=S梯形OADCS扇形OAC即可得解．
【详解】（1）证明：∵∠B=60°，OB=OC，
∴△BOC是等边三角形，
∴∠1=∠3=∠B=60°，
∵直线AM是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∵BD⊥AM，
∴OA∥BD，
∴∠2=∠3=60°，
∴∠1=∠2，
∴OC平分∠AOB；
（2）如图：连接AC，
∵∠3=60°，OA=OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠OAC=60°，
∴∠CAD=30°，
∵OC=AC=4，
∴CD=2，
∴AD=，
∴S阴影=S梯形OADCS扇形OAC=×（4+2）×2=．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积等，在求阴影部分面积的题目时，可用整体减去部分的方法计算．
15．如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点．连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF＝BF．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若∠C＝30°，DE＝6，求阴影部分的周长和面积．
【答案】（1）见解析；（2）周长9+2π，面积
【分析】（1）连接OF、OB，由题意易得∠OEF＝90°，进而可证△OBF≌△OEF，然后根据切线的判定定理可求证；
（2）连接BE，由题意易得DB=3，则有∠D=60°，然后根据弧长公式计算，进而周长可求，然后根据割补法进行求解阴影部分面积即可．
【详解】（1）证明：连接OF、OB，如图所示，
∵CE与⊙O相切
∴∠OEF＝90°
∵OB＝OE＝r
∵BF＝EF，OF＝OF
∴△OBF≌△OEF
∴∠OBF＝∠OEF＝90°
∴OB⊥BF
∴BF是⊙O的切线．
（2）连接BE，如图所示，由（1）得：∠DEC=90°，
∵∠C=30°，
∴∠D=60°，
∴∠DEB=30°，
∵DE=6，
∴DB=3，，
∴，
∵OD=OE=3，
∴，
∴的长为，，
∴阴影部分的周长为：，
阴影部分的面积为：．
【点睛】本题主要考查切线的性质与判定及扇形面积、弧长的计算，熟练掌握切线的性质与判定及扇形面积、弧长的计算是解题的关键．
16．如图，内接于⊙，是⊙的直径．直线与⊙相切于点，在上取一点使得．线段，的延长线交于点．
（1）求证：直线是⊙的切线；
（2）若，，求阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC，DA＝DC可得∠OAC＝∠OCA，∠DAC＝∠DCA，再根据直线与⊙相切于点可得∠DAO＝90°，进而可得∠DCO＝90°，由此可证得直线是⊙的切线；
（2）先证明BOC为等边三角形，可得OB＝OC＝BC＝2，根据扇形面积公式可求得，再利用含30°的直角三角形的性质及勾股定理可求得，由此可求得，最后便可得．
【详解】（1）证明：连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵DA＝DC，
∴∠DAC＝∠DCA，
∵直线与⊙相切于点，
∴∠DAO＝90°，
∴∠DAC+∠OAC＝90°，
∴∠DCA+∠OCA＝90°，
∴∠DCO＝90°，
∴OC⊥DC，
又∵点C在⊙上，
∴直线是⊙的切线；
（2）解：∵∠CAB＝30°，
∴∠COB＝2∠CAB＝60°，
又∵OB＝OC，
∴BOC为等边三角形，
∴OB＝OC＝BC＝2，
∴，
∵∠OCE＝90°，∠COB＝60°，
∴∠E＝90°－∠COB＝30°，
∴OE＝2OC＝4，
∴在RtCOE中，，
∴
，
∴
∴阴影部分的面积为．
【点睛】本题考查了切线的性质与判定、扇形的面积公式以及含30°的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的性质与判定、扇形的面积公式是解决本题的关键．
17．如图，已知∠PBC，在射线BC上任取一点D，以线段BD的中点O为圆心作⊙O，且⊙O与PB相切于点E．
(1)求作：射线BP上一点A，使△ABD为等腰三角形，且AB=AD．（要求：运用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：AD是⊙O的切线．
(3)若BD的长为8cm，∠PBC=30°，求阴影部分的面积
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）-．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，利用尺规作图作出图象即可；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OE，根据△ABD为等腰三角形，点O是底边BD的中点，可得出AO是∠BAD的角平分线，可得OE=OF，即可得证；
（3）根据已知条件可推出∠EOB=60°，BE==，再根据S阴影=S△BOE-S扇形EOM即可得解．
【详解】（1）作图如下，
（2）证明：如图，过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OE，
∵⊙O与PB相切于点E，
∴OE⊥AB，
∵△ABD为等腰三角形，点O是底边BD的中点，
∴AO是∠BAD的角平分线，
∴OE=OF，即OF是⊙O的半径，
∴AC与⊙O相切；
（3）解：由（2）知，∠BEO=90°，
∵∠PBC=30°，
∴∠EOB=60°，
∵BD的长为8cm且点O是底边BD的中点，
∴OB=OD=BD=×8=4cm，
∴OE=OB=2cm，
在Rt△BOE中，根据勾股定理得BE==，
∴S阴影=S△BOE-S扇形EOM=××2-=-．
【点睛】此题主要考查利用基本作图作出等腰三角形，等腰三角形的性质，切线的性质和判定，三角形和扇形面积等，掌握知识点是解题关键．
18．如图，⊙O的圆心O在△ABC的边AC上，AC与⊙O分别交于C，D两点，⊙O与边AB相切，且切点恰为点B．
（1）求证：∠A+2∠C＝90°；
（2）若∠A＝30°，AB＝6，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）3+2π．
【分析】（1）连接OB，如图，利用切线的性质得∠OBA＝90°，则∠A+∠AOB＝90°，然后利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠C，利用等量代换可得到结论；
（2）先计算出∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，作OH⊥BC于H，利用垂径定理得到BH＝CH，再由∠C＝30°计算出OH＝，CH＝3，所以BC＝2CH＝6，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD计算．
【详解】（1）证明：连接OB，如图，
∵O与边AB相切，且切点恰为点B．
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
∴∠A+∠AOB＝90°，
∵∠AOB＝2∠C，
∴∠A+2∠C＝90°；
（2）解：在Rt△AOB中，
∵∠A＝30°，
∴∠AOB＝60°，OB＝AB＝2，
作OH⊥BC于H，
则BH＝CH，
∵∠C＝∠AOB＝30°，
∴OH＝OC＝，CH＝OH＝3，
∴BC＝2CH＝6，
∴图中阴影部分的面积＝S△OBC+S扇形BOD
＝×6×+
＝3+2π．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算公式：设圆心角是n°，圆的半径为R的扇形面积为S，则S扇形＝πR2或S扇形＝ lR（其中l为扇形的弧长）；求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也考查了切线的性质．