专题19 瓜豆小题-【微专题】2022-2023学年九年级数学下册常考点微专题提分精练（人教版）

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【解答】解：如图，作，使得，，则，，，
，，
，
，
，
，
即（定长），
点是定点，是定长，
点在半径为1的上，
，
的最大值为，
故答案为．
2．如图，，，当点在上运动时，作等腰，，则，两点间距离的最小值为 ．
【解答】解：，，点在上运动时，，，
为主动点，为从动点，为定点，
由“瓜豆原理”， 在上运动，则在垂直的直线上运动，
当时，如答图：
过作于，交于，则直线即为的运动轨迹，的长为，两点间距离的最小值，
，，，
，
，
，
，
，
而，
，，
在中可得，
，
中可得，
故答案为：．
3．如图，正方形的边长为2，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为底向右侧作等腰直角，连接，则的最小值为 ．
【解答】解：如图1，过点作于点，于点，连接，
根据题意知，，．
．
．
又是等腰直角三角形，且，
．
在与中，
，
．
，．
点在所在的直线上运动．
为边上的一个动点，如图2，
当点与点重合时，点的位置如图所示．
当点与点重合时，记点的位置为．
点的运动轨迹为线段．
过点作于点．
．
正方形的边长为2，
．
．
故答案是：．
4．如图，已知点是第一象限内的一个定点，若点是以为圆心，2个单位长为半径的圆上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边三角形．当点在上运动一周时，点运动的路径长是 ．
【解答】解：如图，连接、，将绕点逆时针旋转，得线段，连接、，
，，
为正三角形，
为正三角形，
，，
，
，
在与中，
，
，
，
即为动点运动的路径，
当点在上运动一周时，点运动的路径长是，
5．如图，正方形的边长为8，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为 5 ．
【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，于，
又，
四边形是矩形，
，
，
，
是等边三角形，，
，，，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
当时，有最小值，即有最小值，
点与点重合时，，
故答案为5．
6．如图，菱形的边长为4，，是的中点，是对角线上的动点，连接，将线段绕点按逆时针旋转，为点对应点，连接，则的最小值为 ．
【解答】解：如图取的中点，连接，，，延长交于，作于．
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，，
，
是等边三角形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
点在直线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，
在中，，，，
，
的最小值为，
故答案为．
7．已知边长为6的等边中，是高所在直线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则在点运动的过程中，当线段长度的最小值时，的长度为 ．
【解答】解：连接，
等边，
，
线段绕点逆时针旋转得到，
，，
，
点在直线上运动，
，，
点在直线上运动，
当时，最小，
，
，
，
，
，
故答案为．
8．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，，点在线段上从点至点运动，连接，以为边作等边三角形，点和点分别位于两侧，则点运动的路程长是 ．
【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，，
，
又，，
，
，，
点在射线上运动，且，
当点在线段上从点至点运动时，
点的运动路程是，
在中，设，则，
，
解得（负值舍去），
，
即点的运动路程为，
故答案为：．
9．如图，在中，，，，点在以为直径的半圆上运动，由点运动到点，连接，点是的中点，则点经过的路径长为 ．
【解答】解：，，，
，
连接，，
是直径，
，
即，
取，的中点和，连接，，，
在中，
，为、的中点，
，，
在中，
点、为、的中点，
，，
，
即，
点在以为直径的半圆上，
，
点的运动路径长为，
故答案为：．
10．如图，正方形的边长为4，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，则的最小值为 ．
【解答】解：将线段绕顺时针旋转至，连接，过作于，过作于，如图：
，
，
在和中，
，
，
，
在射线上运动，
，
的长度即是的最小值，
，，，
四边形为矩形，
，
中，，，
，
，
故答案为：．
11．如图，已知点，，，动点在线段上，点、、按逆时针顺序排列，且，，当点从点运动到点时，则点运动的路径长为 6 ．
【解答】解：点，，
，
，动点在线段上，，，
，为主动点，为从动点，为定点，
由“瓜豆原理”得运动路径与运动路径之比等于，
点运动的路径长为，
故答案为：6．
12．如图，在中，，点在边上，，，点是边所在直线上的一动点，连接，将绕点顺时针方向旋转得到，连接，则的最小值为 ．
【解答】解：如图，以为边作等边三角形，连接，过点作于，
，，
，
是等边三角形，，
，，，
，
将绕点顺时针方向旋转得到，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
当有最小值时，有最小值，
由垂线段最短可得：当时，有最小值，
此时，，，，
四边形是矩形，
，
故答案为：．
13．如图，的直径，为上动点，连结，将绕点逆时针旋转得到，连结，则的最大值为 ．
【解答】解：如图，以为边在的下方作等腰直角三角形，连接，，
将绕点逆时针旋转得到，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，，
，
，
，
又，
，
，
，
当有最大值时，有最大值，
当点，点，点三点共线时，有最大值为，
的最大值为，
故答案为：
14．如图，矩形中，，，点为对角线上一动点，，，于点，连接，当最小时，的长为 ．
【解答】解：如图，过点作于点，连接，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
即在点的运动过程中，的大小不变且等于，
当时，最小，
设此时，
，
，
，
，
，
代入，解得，
，
，
．
，
故答案为：．
二．解答题（共4小题）
15．如图，在等边中，，，垂足为，点为边上中点，点为直线上一点．当点为中点，点在边上，且，点从中点沿射线运动，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，当最小时，直接写出 的面积．
【解答】解：以为顶点，为一边，作，交于点，过点作于点，设交于点，如图，
中，，
最小即最小，此时、、共线，
将线段绕点顺时针旋转得到线段，
在射线上运动，则点在上运动，根据“瓜豆原理”， 为主动点，是从动点，为定点，，则、轨迹的夹角，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
四边形为矩形，
，
等边中，，，
，
又，
等边中，，点为的中点，点为中点，
，，
中，，，
，，
中，，
，
．
16．若，以点为圆心，2为半径作圆，点为该圆上的动点，连接．
（1）如图1，取点，使为等腰直角三角形，，将点绕点顺时针旋转得到．
①点的轨迹是 圆 （填“线段”或者“圆” ；
②的最小值是 ；
（2）如图2，以为边作等边（点、、按照顺时针方向排列），在点运动过程中，求的最大值．
（3）如图3，将点绕点逆时针旋转，得到点，连接，则的最小值为 ．
【解答】解：（1）①连接、，如图1所示：
是等腰直角三角形，，
，由旋转的性质得：，，
，
在和中，，
，
，即点到点的距离等于定长，
点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆；
故答案为：圆；
②是等腰直角三角形，，
，
当点在线段上时，最小；
故答案为：；
（2）以为边长作等边，连接、，如图2所示：
和是等边三角形，
，，，
，
在和中，，
，
，
当、、三点共线时，有最大值；
（3）如图3所示：点的轨迹是以为直径的一个圆，
则，，
则是梯形的中位线，
，
连接，
则，
，，
，
△是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为：．
17．如图，的半径为2，到定点的距离为5，点在上，点是线段的中点，若在上运动一周．
（1）点的运动路径是一个圆；
（2）始终是一个等边三角形，直接写出长的取值范围．
【解答】（1）解：连接、，取的中点，连接，如图1所示：
则是的中位线，
，
点到点的距离固定为1，
在上运动一周，点运动的路径是以点为圆心，半径为1的一个圆；
（2）解：连接并延长交于点、，如图2所示：
是等边三角形，点是线段的中点，
，，
，
当点运动到点位置时，点运动到点位置，最短，
，
，
；
当点运动到点位置时，点运动到点位置，最长，
，
，
；
长的取值范围是．
18．如图①，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，连接，点是抛物线上一动点．
（1）求二次函数的表达式．
（2）当点不与点、重合时，作直线，交直线于点，若的面积是面积的4倍，求点的横坐标．
（3）如图②，当点在第一象限时，连接，交线段于点，以为斜边向外作等腰直角三角形，连接，的面积是否变化？如果不变，请求出的面积；如果变化，请说明理由．
【解答】解：（1）二次函数经过，，
代入得，
解得，
所以二次函数的表达式为．
（2）①如图所示，当在轴上方时，
过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，
可得，
，
，
，
，
设点，
，，
，，
，
，
点的坐标可表示为，，
，为二次函数与轴交点，
，
可得的解析式为，
在上，
，
解得或．
②如图所示，当在轴下方时，
同理①可求出点的横坐标为或，
，
当点横坐标为时，在抛物线的段，
综上所述，点的横坐标为或或．
（3）如图所示，以为底在轴上方作等腰直角三角形，连接，过点作轴于点，
和均为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
两条平行线之间的距离相等，
在运动时，到的距离保持不变，其距离都等于的长，
在等腰直角三角形中，，
，
．
综上所述，的面积不变，为4．（1）思路引导
要证点运动的路径是一个圆，只要证点到定点的距离等于定长，由图中的定点、定长
可以发现，．