广西专版2023_2024学年新教材高中数学第四章数列数列过关检测A卷新人教版选择性必修第二册

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第四章过关检测(A卷)(时间:120分钟　满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知数列{an}中,a1=1,a2=3,an=an-1+(n≥3),则a5等于(　　)A. B. C.4 D.5答案:A解析:a3=a2+=3+1=4,a4=a3+=4+,a5=a4+.2.在等差数列{an}中,若a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(　　)A.1 B.2 C.3 D.4答案:B解析:∵a1+a5=2a3=10,∴a3=5,∴公差d=a4-a3=7-5=2.3.已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+2n,则a100的值是(　　)A.9 900 B.9 902 C.9 904 D.11 000答案:B解析:a100=(a100-a99)+(a99-a98)+…+(a2-a1)+a1=2×(99+98+…+2+1)+2=2×+2=9902.4.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S10∶S5=1∶2,则S15∶S5等于(　　)A.3∶4 B.2∶3 C.1∶2 D.1∶3答案:A解析:在等比数列{an}中,S5,S10-S5,S15-S10,…成等比数列,因为S10∶S5=1∶2,所以S5=2S10,S15=S5,得S15∶S5=3∶4,故选A.5.在等比数列{an}中,已知前n项和Sn=5n+1+a,则a的值为(　　)A.-1 B.1 C.5 D.-5答案:D解析:因为Sn=5n+1+a=5×5n+a,由等比数列的前n项和Sn=·qn,可知其常数项与qn的系数互为相反数,所以a=-5.6.已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a1a2a3=15,且,则a2等于(　　)A.2 B. C.3 D.答案:C解析:∵S1=a1,S3=3a2,S5=5a3,∴.∵a1a2a3=15,∴,∴a2=3.故选C.7.如果数列a1,a2-a1,a3-a2,…,an-an-1,…是首项为1,公比为的等比数列,那么an等于(　　)A. B. C. D.答案:A解析:由题意知,该数列的首项a1=1,公比q=,则an-an-1=1×,设数列a1,a2-a1,…,an-an-1的前n项和为Sn,即Sn=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)=an.因为Sn=,所以an=.8.一个正整数数表如下(表中下一行数的个数是上一行的2倍),则第8行中的第5个数是(　　)第1行1第2行2　3第3行4　5　6　7……A.68 B.132 C.133 D.260答案:B解析:前7行中共有1+2+22+…+26=27-1=127个数,则第8行中的第5个数是127+5=132.二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,则下列数列中一定是等比数列的有(　　)A. B.{anan+1} C.{lg an} D.Sn,S2n-Sn,S3n-S2n答案:AB解析:设等比数列{an}的公比为q.由数列{an}为等比数列可知,当n≥2时,=q(q≠0),对于A,当n≥2时,=q2,故A正确;对于B,当n≥2时,=q2≠0,故B正确;对于C,当n≥2,且an都为正数时,lgan-lgan-1=lg=lgq,为等差数列,不一定为常数,即{lgan}不一定为等比数列,故C错误;对于D,如an=(-1)n为等比数列,公比为-1,则Sn有可能为0,故Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定成等比数列,故D错误.故选AB.10.设{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,则下列结论正确的是(　　)A.d<0 B.a7=0 C.S9>S5 D.S6与S7均为Sn的最大值答案:ABD解析:由{an}是等差数列,Sn是其前n项的和,且S5<S6,S6=S7>S8,得a6=S6-S5>0,a7=S7-S6=0,a8=S8-S7<0,a7+a8=S8-S6<0,则数列{an}为递减数列,即选项A,B正确;由S9-S5=a9+a8+a7+a6=2(a8+a7)<0,得S9<S5,即选项C错误;由a1>a2>…>a6>a7=0>a8>a9>…,可得S6与S7均为Sn的最大值,即选项D正确,故选ABD.11.在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1a4=32, a2+a3=12,则下列说法正确的是(　　)A.q=2 B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8=510 D.数列{lg an}是公差为2的等差数列答案:ABC解析:因为数列{an}为等比数列,a1a4=32,所以a2a3=32.因为a2+a3=12,所以又公比q为整数,则即an=2n,Sn==2n+1-2.对于选项A,由上可得q=2,即选项A正确;对于选项B,Sn+2=2n+1,=2,S1+2=4,则数列{Sn+2}是等比数列,即选项B正确;对于选项C,S8=29-2=510,即选项C正确;对于选项D,lgan+1-lgan=(n+1)lg2-nlg2=lg2,即数列{lgan}是公差为lg2的等差数列,即选项D错误.故选ABC.12.在数列{an}中,若=p(n≥2,n∈N*,p为常数),则称{an}为“等方差数列”.下列对“等方差数列”的判断正确的是(　　)A.若{an}是等差数列,则{}是等方差数列B.{(-1)n}是等方差数列C.若{an}是等方差数列,则{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列D.若{an}既是等方差数列,又是等差数列,则该数列为常数列答案:BCD解析:对于A选项,取an=n,则=(n+1)4-n4=[(n+1)2-n2]·[(n+1)2+n2]=(2n+1)(2n2+2n+1),不是常数,则{}不是等方差数列,A选项中的结论错误;对于B选项,[(-1)n+1]2-[(-1)n]2=1-1=0,为常数,则{(-1)n}是等方差数列,B选项中的结论正确;对于C选项,若{an}是等方差数列,则存在常数p∈R,使得=p,则数列{}为等差数列,所以=kp,则数列{akn}(k∈N*,k为常数)也是等方差数列,C选项中的结论正确;对于D选项,若数列{an}为等差数列,设其公差为d,则存在m∈R,使得an=dn+m,则=(an+1-an)(an+1+an)=d(2dn+2m+d)=2d2n+(2m+d)d,因为数列{an}也为等方差数列,所以存在实数p,使得=p,则2d2n+(2m+d)d=p对任意的n∈N*恒成立,则得p=d=0,此时,数列{an}为常数列,D选项正确.故选BCD.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上.13.若Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,n∈N*,则S50=　　　　　. 答案:-25解析:S50=1-2+3-4+…+49-50=(-1)×25=-25.14.若数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且对任意大于1的整数n,点()在直线x-y-=0上,则数列{an}的通项公式为　　　　　. 答案:an=4n-2解析:由题意得(n∈N*,n≥2),即{}是首项为,公差为的等差数列.n,即Sn=2n2,则an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2(n≥2).当n=1时,a1=2也适合上式.故an=4n-2.15.《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女不善织,日减功迟,初日织五尺,末日织一尺,今共织九十尺,问织几日?”.其中“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布,则每天比前一天少织布的尺数为　　　　　. 答案:解析:设第n天织布的尺数为an,可知数列{an}为等差数列,设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则a1=5,an=1,Sn=90,则Sn==3n=90,解得n=30.a30=a1+29d=5+29d=1,解得d=-,因此,每天比前一天少织布的尺数为.16.已知数列{an}满足an+1=3an+2,且a1=1,前n项和为Sn,则an=　　,Sn=　　　.答案:2×3n-1-1　3n-n-1解析:设an+1+A=3(an+A),化简得an+1=3an+2A.因为an+1=3an+2,所以2A=2,即A=1,即an+1+1=3(an+1),=3,故数列{an+1}是等比数列,首项为a1+1=2,公比为3,则an+1=2×3n-1,即an=2×3n-1-1.Sn=2×30+2×31+…+2×3n-1-n=-n=3n-n-1.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知函数f(x)=,数列{xn}的通项公式由xn=f(xn-1)(n≥2,且x∈N*)确定.(1)求证:是等差数列;(2)当x1=时,求x2 022.(1)证明:∵xn=f(xn-1)=(n≥2,且n∈N*),∴,∴(n≥2,且n∈N*),∴是公差为的等差数列.(2)解:由(1)知+(n-1)×=2+,即.故x2022=.18.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a3=5,S10=100.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=+2n,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,由题意,得解得故an=2n-1.(2)因为bn=+2n=×4n+2n,所以Tn=b1+b2+…+bn=(4+42+…+4n)+2(1+2+…+n)=+n2+n=×4n+n2+n-.19.(12分)已知数列{an}满足a1=1,a2=4,an+2=4an+1-3an.(1)求a3,a4的值;(2)证明:数列{an+1-an}是等比数列;(3)求数列{an}的通项公式.(1)解:a3=4a2-3a1=13,a4=4a3-3a2=40.(2)证明:∵an+2=4an+1-3an,∴an+2-an+1=3(an+1-an).又a1=1,a2=4,an+1-an≠0,∴=3,∴{an+1-an}是以a2-a1=3为首项,3为公比的等比数列.(3)解:由(2)得an+1-an=3n,∵当n≥2时,an-an-1=3n-1,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+…+3+1=.∵a1=1符合上式,∴an=.20.(12分)已知数列{an}为等差数列,前n项和为Sn(n∈N*),{bn}是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求{an}和{bn}的通项公式;(2)求数列{a2nb2n-1}的前n项和.解:(1)设{an}的公差为d,{bn}的公比为q(q>0).则即解得q=2,d=3,a1=1.故{an}的通项公式为an=3n-2,{bn}的通项公式为bn=2n.(2)由(1),得a2nb2n-1=(6n-2)·22n-1=(3n-1)·4n.设数列{a2nb2n-1}的前n项和为Tn,则Tn=2×41+5×42+8×43+…+(3n-4)×4n-1+(3n-1)×4n,①4Tn=2×42+5×43+8×44+…+(3n-4)×4n+(3n-1)×4n+1.②①-②,得-3Tn=2×4+3×(42+43+…+4n)-(3n-1)×4n+1=8+3×-(3n-1)×4n+1=-8+(2-3n)×4n+1.∴Tn=×4n+1.∴数列{a2nb2n-1}的前n项和为×4n+1.21.(12分)某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2 000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n年年底企业上缴资金后的剩余资金为an万元.(1)用d表示a1,a2,并写出an+1与an的关系式;(2)若公司希望经过m(m≥3)年使企业的剩余资金为4 000万元,试确定企业每年上缴资金d的值(用m表示).解:(1)由题意得a1=2000(1+50%)-d=3000-d,a2=a1(1+50%)-d=a1-d=4500-d,an+1=an(1+50%)-d=an-d.(2)由(1)得an=an-1-d=-d=an-2-d-d=…=a1-d.整理得an=(3000-d)-2d=(3000-3d)+2d.由题意知am=4000,故(3000-3d)+2d=4000,解得d=.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.22.(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=55,S20=210.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,是否存在m,k(k>m≥2,m,k∈N*)使得b1,bm,bk成等比数列?若存在,求出m,k的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设等差数列{an}的公差为d,则Sn=na1+d.由已知,得即解得故an=a1+(n-1)d=n.(2)假设存在m,k(k>m≥2,m,k∈N*)使得b1,bm,bk成等比数列,则=b1bk.因为bn=,所以b1=,bm=,bk=,所以.整理,得k=.因为k>0,所以-m2+2m+1>0,解得1-<m<1+.因为m≥2,m∈N*,所以m=2,此时k=8.故存在m=2,k=8使得b1,bm,bk成等比数列.