人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.1 数列的概念第一课时同步测试题

4.1　数列的概念

第1课时　数列的概念与简单表示法

课后·训练提升

基础巩固

1.下列说法正确的是(　　)

A.数列1,3,5,7与数集{1,3,5,7}是一样的

B.数列1,2,3与数列3,2,1是相同的

C.数列是递增数列

D.数列是递减数列

答案:D

解析:数列是有序的,而数集是无序的,故选项A,B不正确;选项C中的数列是递减数列;选项D中的数列是递减数列.

2.(多选题)下列数列中,既是递减数列又是无穷数列的是(　　)

A.-1,-2,-3,-4,…

B.-1,,-,…

C.-1,-2,-4,-8,…

D.1,,…,

答案:AC

解析:A,B,C中的数列都是无穷数列,D是有穷数列,且A,C中的数列是递减数列,故选AC.

3.已知数列{an}的通项公式为an=n2-n-50,则-8是该数列的(　　)

A.第5项 B.第6项 

C.第7项 D.非任何一项

答案:C

解析:由n2-n-50=-8,得n=7或n=-6(舍去).

4.已知数列{an}的通项公式为an=则a2a3等于(　　)

A.70 B.28 

C.20 D.8

答案:C

解析:由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,故a2a3=20.

5.一系列有机物的结构简图如图所示,图中的“小黑点”表示原子,两基点间的“短线”表示化学键,按图中结构,第个图中化学键的个数为(　　)

A.6n B.5n+1

C.5n-1 D.4n+2

答案:B

解析:由题图知,第①个图中有6个化学键;第②个图中有11个化学键;第③个图中有16个化学键;观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键,则第个图有6+5(n-1)=5n+1个化学键.

6.数列-1,3,-7,15,…的一个通项公式可以是(　　)

A.an=(-1)n·(2n-1)

B.an=(-1)n·(2n-1)

C.an=(-1)n+1·(2n-1)

D.an=(-1)n+1·(2n-1)

答案:A

解析:数列各项正、负交替,故可用(-1)n来调节,又1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,……故通项公式为an=(-1)n·(2n-1).

7.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是(　　)

A.递增数列 B.递减数列

C.常数列 D.以上说法均不正确

答案:A

解析:an==1-,当n≥2时,an-an-1=1->0,

故数列{an}是递增数列.

8.(多选题)若数列{an}的前4项依次是2,0,2,0,则这个数列的通项公式可以是(　　)

A.an=1+(-1)n+1 

B.an=1-cos nπ

C.an=2sin2 

D.an=1+(-1)n-1+(n-1)(n-2)

答案:ABC

解析:将前4项代入选项检验可得只有D不符合.

9.323是数列{n(n+2)}的第　　　　　项. 

答案:17

解析:由an=n2+2n=323,解得n=17或n=-19(舍去).

故323是数列{n(n+2)}的第17项.

10.若数列{an}的通项公式是an=3-2n,则a2n=　　　　　,=　　　　　. 

答案:3-4n　

解析:根据通项公式可以求出这个数列的任意一项.

因为an=3-2n,

所以a2n=3-22n=3-4n,.

11.在数列{an}中,an=n(n-8)-20,请回答下列问题:

(1)这个数列共有几项为负数?

(2)这个数列从第几项开始递增?

(3)这个数列中有没有最小项?若有,求出最小项;若没有,请说明理由.

解:(1)因为an=n(n-8)-20=(n+2)(n-10),所以当0<n<10时,an<0,

所以数列{an}共有9项为负数.

(2)因为an+1-an=2n-7,所以当an+1-an>0时,n>,故数列{an}从第4项开始递增.

(3)an=n(n-8)-20=(n-4)2-36,根据二次函数的性质知,当n=4时,an取得最小值-36,即数列中有最小项,最小项为-36.

能力提升

1.第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案如图①所示,会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的,如图②,其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1,如果把图②中的直角三角形继续作下去,记OA1,OA2,…,OAn,…的长度构成数列{an},那么此数列的通项公式为(　　)

A.an=n B.an=

C.an= D.an=n2

答案:C

解析:∵OA1=1,OA2=,OA3=,…,OAn=,…,

∴a1=1,a2=,a3=,…,an=.

2.设数列{an}的通项公式为an=+…+,那么an+1-an等于(　　)

A. 

B.

C. 

D.

答案:D

解析:∵an=+…+,

∴an+1=+…+,

∴an+1-an=.

3.设数列{an}的通项公式为an=-2n2+29n+3,则数列{an}的最大项是(　　)

A.103 B. 

C. D.108

答案:D

解析:∵an=-2+2×+3,

∴当n=7时,an取得最大值,最大值为a7=-2×72+29×7+3=108.

故选D.

4.已知数列,…,那么0.94,0.96,0.98,0.99中,是该数列中某一项值的数有(　　)

A.1个 B.2个 

C.3个 D.4个

答案:C

解析:数列,…的通项公式为an=,0.94=,0.96=,0.98=,0.99=,即都在数列中,故有3个.

5.已知数列{an}的通项公式是an=则a3+=　　　　　. 

答案:

解析:由题意,知a3=2-3=,a4=,即,故a3+.

6.已知数列{an}中,an=n2-kn,且数列{an}为递增数列,求实数k的取值范围.

解:因为an+1=(n+1)2-k(n+1),an=n2-kn,

所以an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k.

因为数列{an}为递增数列,

所以应有an+1-an>0,

即2n+1-k>0恒成立,分离变量得k<2n+1,

所以k<3即可,

故k的取值范围为(-∞,3).

7.已知数列{an}的通项公式为an=.

(1)求证:该数列是递增数列;

(2)在区间内有没有数列{an}中的项?若有,有几项?若没有,请说明理由.

(1)证明:∵an==1-,

∴an+1-an=>0,

∴数列{an}是递增数列.

(2)解:令<an=,

则

解得

即<n<,

即当且仅当n=2时,上式成立,

故在区间内有数列{an}中的项,且只有一项,为a2=.