高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念精品习题

第17课   复数的概念

知识点01   　复平面

【即学即练1】　在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围．

反思感悟　利用复数与点的对应关系解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

知识点02  　复数的几何意义

1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．

2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.

【即学即练2】)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是(　　)

A．－10＋8i   B．10－8i

C．0   D．10＋8i

知识点03   　复数的模

1．定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．

2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.

3．公式：|z|＝|a＋bi|＝.

【即学即练3】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.

知识点04   　共轭复数

1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．

2．表示：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.

【即学即练4】若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________.

考法01  复平面

【典例1】求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件：

(1)在复平面内的x轴上方；

(2)在实轴负半轴上．

【变式训练】

考法02  复数与复平面内的向量的关系

【典例2】在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．

反思感悟　复数与平面向量的对应关系

(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．

(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．

【变式训练】已知平面直角坐标系中O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是(　　)

A．－5＋5i   B．5－5i

C．5＋5i   D．－5－5i

考法03  复数的模及其应用

【典例3】已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|等于(　　)

A．3  B.  C.  D.

反思感悟　复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求

【变式训练】已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是(　　)

A．z1>z2   B．z1<z2

C．|z1|>|z2|   D．|z1|<|z2|

(2)已知0<a<3，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(　　)

A．(1，)   B．(1，)

C．(1,3)   D．(1,10)

2．设，则（    ）

A． B． C． D．

3．已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（    ）

A．2 B．1 C． D．4

【答案】A

【详解】因为，

所以复数对应的点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，

所以.

故选：A

4．复数满足，则（    ）

A． B． C． D．5

5．设，满足，其在复平面对应的点为，求点构成的集合所表示的图形面积（    ）

A．1 B．5 C． D．

6．在复平面内，点对应的复数为（为虚数单位），且向量 ，则点对应复数为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．设，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（    ）

A． B．

C． D．

8．已知为虚数单位，则（    ）

A．

B．若，则的充要条件是

C．若复数，则

D．复数，则

9．已知复数z满足，则（    ）

A．复数z虚部的最大值为2

B．复数z实部的取值范围是

C．的最小值为1

D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限

三、填空题

10．设复数，，在复平面的对应的向量分别为､，则向量对应的复数所对应的点的坐标为___________.

11．若，且，则的最大值是_______．

【答案】##

四、解答题

12．已知为虚数单位.

(1)若复数在复平面内对应的点在第三象限，求的范围；

(2)若复数满足，求复数.

题组B  能力提升练

一、单选题

1．设，满足，其在复平面对应的点为，求点构成的集合所表示的图形面积（    ）

A．1 B．5 C． D．

【答案】D

2．若复数z满足为纯虚数，且，则z的虚部为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

3．设，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（    ）

A． B．

C． D．

4．欧拉公式（其中为虚数单位，）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（    ）

A． B．为纯虚数 C． D．复数对应的点位于第三象限

三、填空题

5．已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________.

6．已知复数满足，则在复平面内复数对应的点所在区域的面积为_____．

7．设全集，，，若，则复数在复平面内对应的点形成图形的面积为______．

四、解答题

8．已知非零复数；若满足.

(1)求的值：

(2)若所对应点在圆上，求所对应的点的轨迹.

9．已知虚数z满足.

(1)求z；

(2)若z的虚部为正数，比较与的大小.

10．已知复数，，

(1)若，求角；

(2)复数对应的向量分别是，其中为坐标原点，求的取值范围；

(3)复数对应的向量分别是、，存在使等式成立，求实数的取值范围．

题组C  培优拔尖练

一、单选题

1．已知复数，和满足，若，则的最大值为（    ）

A． B．3 C． D．1

2．已知设，则，则的最小值为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

3．复数的模为1，其中为虚数单位，，则这样的一共有（    ）个.

A．9 B．10 C．11 D．无数

二、填空题

4．在复平面中，已知点，复数对应的点分别为，且满足，则的最大值为___________.

5．若为虚数单位，复数满足，则的最大值为_______.

6．已知，且z是复数，当的最大值为3，则_______.

三、解答题

7．对于一组复数，，，…，，令，如果存在，使得，那么称是该复数组的“复数”.

（1）设，若是复数组，，的“复数”，求实数的取值范围；

（2）已知，，是否存在复数使得，，均是复数组，，的“复数”？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；

（3）若，复数组，，，…，是否存在“复数”？给出你的结论并说明理由．

8．已知复数，根据以下条件分别求实数的值或范围.

（1）是纯虚数；（2）对应的点在复平面的第二象限.