高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第七章 复数7.1 复数的概念优秀达标测试

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知识精讲
知识点01 复平面
【即学即练1】 在复平面内，若复数z＝(m2－2m－8)＋(m2＋3m－10)i对应的点：(1)在虚轴上；(2)在第二象限；(3)在y＝x的图象上，分别求实数m的取值范围．
反思感悟 利用复数与点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
知识点02 复数的几何意义
1．复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点Z(a，b)．
2．复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量eq \(OZ,\s\up6(→)).
【即学即练2】)向量eq \(OZ1,\s\up6(→))对应的复数是5－4i，向量eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是－5＋4i，则eq \(OZ1,\s\up6(→))＋eq \(OZ2,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．－10＋8iB．10－8i
C．0D．10＋8i
知识点03 复数的模
1．定义：向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值．
2．记法：复数z＝a＋bi的模记作|z|或|a＋bi|.
3．公式：|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
【即学即练3】已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z.
知识点04 共轭复数
1．定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数．
2．表示：复数z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么eq \x\t(z)＝a－bi.
【即学即练4】若复数z1＝2＋bi与复数z2＝a－4i互为共轭复数，则a＝________，b＝________.
能力拓展
考法01复平面
【典例1】求实数m分别取何值时，复数z＝(m2－m－2)＋(m2－3m＋2)i(m∈R)对应的点Z满足下列条件：
(1)在复平面内的x轴上方；
(2)在实轴负半轴上．
【变式训练】
考法02复数与复平面内的向量的关系
【典例2】在复平面内的长方形ABCD的四个顶点中，点A，B，C对应的复数分别是2＋3i,3＋2i，－2－3i，求点D对应的复数．
反思感悟 复数与平面向量的对应关系
(1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量．
(2)解决复数与平面向量一一对应的问题时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化．
【变式训练】已知平面直角坐标系中O是原点，向量eq \(OA,\s\up6(→))，eq \(OB,\s\up6(→))对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量eq \(BA,\s\up6(→))对应的复数是( )
A．－5＋5iB．5－5i
C．5＋5iD．－5－5i
考法03复数的模及其应用
【典例3】已知x，y∈R，i为虚数单位，若1＋xi＝(2－y)－3i，则|x＋yi|等于( )
A．3B.eq \r(10)C.eq \r(5)D.eq \r(2)
反思感悟 复数模的计算
(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．
(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求
【变式训练】已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项中正确的是( )
A．z1>z2B．z1C．|z1|>|z2|D．|z1|<|z2|
(2)已知0A．(1，eq \r(10))B．(1，eq \r(3))
C．(1,3)D．(1,10)
2．设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知复数 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位）满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A．2B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．4
【答案】A
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点的轨迹是以 SKIPIF 1 < 0 为圆心， SKIPIF 1 < 0 为半径的圆，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
4．复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．5
5．设 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，其在复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 构成的集合所表示的图形面积（）
A．1B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
6．在复平面内，点 SKIPIF 1 < 0 对应的复数为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为虚数单位），且向量 SKIPIF 1 < 0 ，则点 SKIPIF 1 < 0 对应复数为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
7．设 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
8．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，则（）
A． SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的充要条件是 SKIPIF 1 < 0
C．若复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．复数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
9．已知复数z满足 SKIPIF 1 < 0 ，则（）
A．复数z虚部的最大值为2
B．复数z实部的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 的最小值为1
D．复数z在复平面内对应的点位于第一、三、四象限
三、填空题
10．设复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在复平面的对应的向量分别为 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 对应的复数所对应的点的坐标为___________.
11．若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值是_______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
四、解答题
12．已知 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位.
(1)若复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点在第三象限，求 SKIPIF 1 < 0 的范围；
(2)若复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求复数 SKIPIF 1 < 0 .
题组B能力提升练
一、单选题
1．设 SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，其在复平面对应的点为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 构成的集合所表示的图形面积（）
A．1B．5C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
2．若复数z满足 SKIPIF 1 < 0 为纯虚数，且 SKIPIF 1 < 0 ，则z的虚部为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
二、多选题
3．设 SKIPIF 1 < 0 ，在复平面内z对应的点为Z，则下列条件的点Z的集合是圆的有（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
4．欧拉公式 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ）将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，则（）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 为纯虚数C． SKIPIF 1 < 0 D．复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点位于第三象限
三、填空题
5．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是虚数单位），则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为__________.
6．已知复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则在复平面内复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点 SKIPIF 1 < 0 所在区域的面积为_____．
7．设全集 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则复数 SKIPIF 1 < 0 在复平面内对应的点形成图形的面积为______．
四、解答题
8．已知非零复数 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值：
(2)若 SKIPIF 1 < 0 所对应点 SKIPIF 1 < 0 在圆 SKIPIF 1 < 0 上，求 SKIPIF 1 < 0 所对应的点的轨迹.
9．已知虚数z满足 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求z；
(2)若z的虚部为正数，比较 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大小.
10．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求角 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)复数 SKIPIF 1 < 0 对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(3)复数 SKIPIF 1 < 0 对应的向量分别是 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 使等式 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
题组C培优拔尖练
一、单选题
1．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（）
A． SKIPIF 1 < 0 B．3C． SKIPIF 1 < 0 D．1
2．已知设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为（）
A．3B．4C．5D．6
3．复数 SKIPIF 1 < 0 的模为1，其中 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位， SKIPIF 1 < 0 ，则这样的 SKIPIF 1 < 0 一共有（）个.
A．9B．10C．11D．无数
二、填空题
4．在复平面中，已知点 SKIPIF 1 < 0 ，复数 SKIPIF 1 < 0 对应的点分别为 SKIPIF 1 < 0 ，且满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
5．若 SKIPIF 1 < 0 为虚数单位，复数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为_______.
6．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且z是复数，当 SKIPIF 1 < 0 的最大值为3，则 SKIPIF 1 < 0 _______.
三、解答题
7．对于一组复数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，如果存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ，那么称 SKIPIF 1 < 0 是该复数组的“ SKIPIF 1 < 0 复数”.
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，是否存在复数 SKIPIF 1 < 0 使得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均是复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的“ SKIPIF 1 < 0 复数”？若存在，求出所有的 SKIPIF 1 < 0 ，若不存在，说明理由；
（3）若 SKIPIF 1 < 0 ，复数组 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 是否存在“ SKIPIF 1 < 0 复数”？给出你的结论并说明理由．
8．已知复数 SKIPIF 1 < 0 ，根据以下条件分别求实数 SKIPIF 1 < 0 的值或范围.
（1） SKIPIF 1 < 0 是纯虚数；（2） SKIPIF 1 < 0 对应的点在复平面的第二象限.课程标准
课标解读
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系
.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．．
1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复数及它们之间的一一对应关系
.2.掌握实轴、虚轴、模、共轭复数等概念.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．．