2024-2025 学年高中数学人教A版必修二专题7.1 复数的概念（5类必考点）

专题7.1 复数的概念 TOC \o "1-3" \h \z \t "正文,1"  HYPERLINK \l "_Toc8493" 【考点1：复数的定义及分类】  PAGEREF _Toc8493 \h 1 HYPERLINK \l "_Toc6842" 【考点2：复数相等】  PAGEREF _Toc6842 \h 4 HYPERLINK \l "_Toc24172" 【考点3：共轭复数】  PAGEREF _Toc24172 \h 7 HYPERLINK \l "_Toc29376" 【考点4：复数的模】  PAGEREF _Toc29376 \h 8 HYPERLINK \l "_Toc25629" 【考点5：复数的几何意义】  PAGEREF _Toc25629 \h 10【考点1：复数的定义及分类】【知识点：复数的定义及分类】(1)复数的定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.(2)复数的分类：eq \a\vs4\al(复数z＝a＋bi,a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(实数b＝0，,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(纯虚数a＝0，b≠0，,非纯虚数a≠0，b≠0.))))[方法技巧]求解与复数概念相关问题的技巧复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．　　1．（2024高一下·全国·专题练习）复数，则（    ）A．的实部为 B．的虚部为C．的虚部为 D．的虚部为1【答案】B【分析】利用复数的虚部与实部的定义求解.【详解】复数的实部为，虚部为，故选：B.2．（2024高一下·江苏·专题练习）下列命题：①若，则是纯虚数；②若，，且，则；③若是纯虚数，则实数；④实数集是复数集的真子集.其中正确的是（    ）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【分析】对于①，当时，即可判断；对于②，两个虚数不能比较大小；对于③，当时，即可判断；对于④，由复数集与实数集的关系即可判断.【详解】对于①，若，则不是纯虚数，则①错误；对于②，两个虚数不能比较大小，则②错误；对于③，若，则，，此时不是纯虚数，则③错误；对于④，由复数集与实数集的关系可知，实数集是复数集的真子集，则④正确.故选：.3．（2024高一·全国·专题练习）以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】化简复数，再利用复数的概念求解即得.【详解】的虚部为2，的实部为，所以所求复数的实部为2，虚部为，复数为．故选：A4．（多选）（2024高一·全国·专题练习）已知i为虚数单位，下列命题正确的是（    ）A．若C，则的充要条件是B．(R)是纯虚数C．没有平方根D．当时，复数是纯虚数【答案】BD【分析】利用充分条件、必要条件的意义判断A；由纯虚数的意义判断BD；利用虚数单位的意义判断C.【详解】对于A，取，则，但不满足，A错误；对于B，R，恒成立，所以是纯虚数，B正确；对于C，的平方根为，C错误；对于D，当时， ，则复数是纯虚数，D正确.故选：BD5．（2024高一·全国·专题练习）以的实部为虚部，的虚部为实部的复数为 ．【答案】/【分析】依题意分别确定实部与虚部，即可得解.【详解】因为的实部为，的虚部为，故所求复数为．故答案为：6．（2024高一·全国·专题练习）是否存在实数，使是纯虚数？【答案】不存在【分析】根据纯虚数定义列出关系式求解.【详解】由是纯虚数，得，解得.即不存在实数，使是纯虚数．7．（2024高一下·全国·专题练习）复平面内表示复数的点为．(1)当实数取何值时，复数表示纯虚数？并写出的虚部；(2)当点位于第四象限时，求实数的取值范围；(3)当点位于直线上时，求实数的值．【答案】(1)，虚部为(2)(3)或【分析】（1）根据纯虚数的定义求解，然后可求虚部；（2）根据复数的几何意义列式计算；（3）根据点Z位于直线上，可得，从而可求.【详解】（1）依题意得，当且，即时，复数是纯虚数，虚部为．（2）依题意，得且，解得．所以当时，点位于第四象限．（3）依题意得当，即或时，点位于直线上．【考点2：复数相等】【知识点：复数相等】1．（2024高一·全国·专题练习）若，是虚数单位，，则等于（　　）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据复数相等得到方程组，求出、的值，即可得解.【详解】因为（），所以，即，所以.故选：D2．（2024高一·全国·课后作业）若，，则复数等于（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数相等的条件即可得解.【详解】由，得，则，根据复数相等的充要条件得，解得，故．故选：B．3．（2024高一·全国·专题练习）已知复数，当时，（    ）A．－1 B．0C．1 D．2【答案】A【分析】根据复数相等求解即可.【详解】依题意，得，解得，所以.故选：A4．（2024·河北·模拟预测）已知为虚数单位，，集合，则（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据两复数相等，实部、虚部分别相等列方程组，求解可得结果.【详解】由题得，所以，解得，所以.故选：C5．（多选）（2024高一·全国·专题练习）若，，且，则的值可能是（　　）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据复数相等的充要条件得到方程组，解得、即可.【详解】因为，，且，所以，解得或，所以或.故选：AC6．（2024高一·全国·专题练习）已知，其中，，为虚数单位．则实数 ， ．【答案】 2【分析】借助复数相等的定义得到方程组，解出即可得.【详解】由题意得，解得.故答案为：；2.7．（22-23高一下·陕西西安·阶段练习）（1）若，则实数的值为多少？（2）若，且，则实数的值分别为多少？【答案】（1）；（2）或【分析】直接利用复数相等列方程组求解即可.【详解】（1）由已知得，解得；（2）由已知得，解得或.【考点3：共轭复数】【知识点：共轭复数】1．（23-24高一下·云南昆明·阶段练习）已知为虚数单位，复数，则的虚部是（    ）A． B．1 C．i D．【答案】B【分析】求出后再求其虚部.【详解】因为复数，所以，其虚部为1，故选：B．2．（23-24高三上·陕西汉中·期末）已知复数（为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（    ）A． B．1 C． D．i【答案】A【分析】根据共轭复数的定义，结合复数虚部的概念求解即可.【详解】因为，所以，所以共轭复数的虚部为，故选：A.3．（2024高三上·广东·学业考试）已知复数，则 .【答案】/【分析】根据共轭复数的知识求得正确答案.【详解】由于复数，所以.故答案为：4．（23-24高三上·上海普陀·期末）复数z满足 （i为虚数单位），则z的虚部为 ．【答案】【分析】设，根据复数相等可得答案.【详解】设，因为，所以，可得，解得，则z的虚部.故答案为：.5．（2024高一下·全国·专题练习）已知，复数 (为虚数单位)，若，则 ．【答案】【分析】根据题意，得到，结合，列出方程组，即可求解.【详解】由，可得，因为且，所以，解得，所以.故答案为：.【考点4：复数的模】【知识点：复数的模】1．（2023·全国·高三专题练习）已知z=3−i，则z=（    ）A．3 B．4 C．10 D．10【答案】C【分析】根据复数的模的计算公式，即可求得答案.【详解】因为z=3−i，所以z=32+(−1)2=10.故选：C.2．（2023春·天津西青·高一校考阶段练习）已知复数z在复平面上对应的点为2,−1，则（    ）A．z的虚部为−i B．z=5 C．z=−2−i D．z−2是纯虚数【答案】D【分析】根据题意得z=2−i，根据虚部的概念、模的求法、共轭复数的概念、纯虚数的概念依次判断选项，即可求解.【详解】A：因为复数z在复平面上对应的点为2,−1，则z=2−i，所以复数z的虚部为-1，故A错误；B：z=22+−12=5，故B错误；C：z=2+i，故C错误；D：z−2=2−i−2=−i，为纯虚数，故D正确．故选：D．3．（2023春·陕西西安·高一统考阶段练习）请写出一个模长为2的虚数：z=______.【答案】2i(答案不唯一)【分析】根据题意直接写即可.【详解】模长为2的虚数：如z=2i.故答案为：2i.4．（2023春·云南·高一校联考阶段练习）写出一个满足下列两个条件的复数：z=______.①z=7；②z在复平面内对应的点位于第二象限.【答案】−2+3i（答案不唯一）【分析】根据复数定义和几何意义求解.【详解】设z= a+bi，则有a2+b2=7 ，由于z在第二象限，a＜0,b＞0 ，根据题意令a=−2,b=3 ，z=−2+3i ；故答案为：−2+3i .5．（2023春·上海闵行·高二校考阶段练习）如果复数z满足z−1=1，那么z−2+i的最大值是__________.【答案】1+2【分析】根据复数的几何意义，结合图形即可求解.【详解】满足z−1=1的复数z在复平面内对应的点在以P1,0为圆心，以r=1为半径的圆上，z−2+i的几何意义为圆上的动点A 到M2,−1的距离，如图：当 M,P,A三点共线时，且A,M在圆心P的两侧时，距离最大，最大距离为MP+r=2+1，故答案为：2+1【考点5：复数的几何意义】【知识点：复数的几何意义】1．（2023·甘肃·统考一模）复数z1,z2在复平面内对应的点关于虚轴对称，若z1=1−2i,i为虚数单位，则z2=（    ）A．1+2i B．−1−2iC．−1+2i D．2+i【答案】B【分析】根据复数的几何意义求解即可.【详解】由题意可得：z1对应的点为1,−2，该点关于虚轴对称的点为−1,−2，所以z2对应的点为−1,−2，∴z2=−1−2i.故选：B2．（2021春·陕西渭南·高二校考阶段练习）在复平面内，复数z对应的点的坐标是1,2，则z的共轭复数z=（    ）A．1−2i B．−2+i C．1+2i D．−2−i【答案】A【分析】先根据复数几何意义得z，再根据共轭复数定义得结果.【详解】因为复数z对应的点的坐标是1,2，所以z=1+2i，所以z的共轭复数z=1−2i.故选：A.3．（2023春·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）在复平面内，复数z=1−6i的共轭复数z对应的点位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】利用共轭复数的定义，几何意义即可得出结果.【详解】∵z=1−6i，∴z=1+6i，∴z对应的点为1，6，位于第一象限.故选：A.4．（2023·重庆沙坪坝·高三重庆南开中学校考阶段练习）已知方程x2+ax+b=0a,b∈R在复数范围内有一根为2+3i，其中i为虚数单位，则复数z=a+bi在复平面上对应的点在（    ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】把x=2+3i代入已知方程，结合复数的运算及复数相等条件可求a,b，再由复数几何意义可求．【详解】解：因为方程x2+ax+b=0a,b∈R在复数范围内有一根为2+3i，所以2+3i2+a2+3i+b=0，整理得2a+b−5+12+3ai=0，所以a=−4,b=13， 则复数z=a+bi在复平面上对应的点在第二象限．故选：B．5．（2023春·内蒙古赤峰·高一校考阶段练习）已知复数z1=1+3i，z2=3+i，则z1−z2在复平面内对应的点位于第__________象限．【答案】二【分析】利用复数的减法化简复数z1−z2，利用复数的几何意义可得出结论.【详解】因为复数z1=1+3i，z2=3+i，则z1−z2=1+3i−3+i=−2+2i，因此，z1−z2在复平面内对应的点的坐标为−2,2，即z1−z2在复平面内对应的点位于第而象限.故答案为：二.6．（2023春·浙江嘉兴·高一校考阶段练习）已知复数z=m−1+2m+1im∈R(1)若z为纯虚数，求实数m的值；(2)若z在复平面内的对应点位于第二象限，求实数m的取值范围【答案】(1)1(2)−12,1【分析】（1）根据纯虚数的定义求值即可；（2）根据复数的几何意义即可求得m的范围.【详解】（1）因为纯虚数的实部为零，虚部不为零可得：m−1=02m+1≠0∴m=1故答案为：1.（2）易知z在复平面内的对应点为m−1,2m+1，则m−1<02m+1>0∴m∈−12,1故答案为：−12,17．（2023春·贵州贵阳·高一校联考阶段练习）实数m分别取什么值时，复数z=m2−5m+6+m2−2m−8i满足下列条件．(1)z为实数；(2)z对应的点位于复平面的第四象限．【答案】(1)m=−2或m=4(2)−2,2∪3,4【分析】（1）根据复数的有关概念和分类可得m2−2m−8=0，解之即可；（2）根据复数的几何意义可得m2−5m+6>0m2−2m−8<0，解之即可.【详解】（1）若z为实数，则m2−2m−8=0，解得：m=−2或m=4；（2）由题意知，z对应的点为m2−5m+6,m2−2m−8，若z对应的点位于复平面的第四象限，则m2−5m+6>0m2−2m−8<0，即m<2或m>3−20m2−9<0，解得−33.【分析】（1）（2）（3）根据复数的几何意义，结合表示的点所处位置，列出相应的方程或不等式，即可求得答案.【详解】（1）由题意得复数z满足m2−5m+6=0m2−3m+2=0时，表示的点与原点重合,解得m=2.（2）当m2−3m+2=2m2−5m+6时，表示复数z=m2−5m+6+m2−3m+2i的点位于直线y=2x上，解得m=2或m=5.（3）方法一：由题意可得m2−5m+6>0m2−3m+2>0或m2−5m+6<0m2−3m+2<0，解m2−5m+6>0m2−3m+2>0，得m<1或m>3，解m2−5m+6<0m2−3m+2<0，解集为∅，故m<1或m>3.方法二：由题意得m2−5m+6m2−3m+2>0,∴m<1或m>3.复数相等a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)共轭复数a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)复数的模向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，a，b∈R)复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面实轴、虚轴在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数复数的几何表示复数z＝a＋bi 复平面内的点Z(a，b) 平面向量eq \o(OZ,\s\up7(―→))