【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第13讲 余弦定理 讲义

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第13课 余弦定理

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课程标准
课标解读
1.掌握余弦定理的两种表示形式及证明方法.
2.会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．


1.通过阅读课本知识的学习弄懂余弦定理的形式与证明方法，提升公式变形技巧，灵活掌握余弦定理.

2.在熟练学习基础知识的基础上，会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，并能够灵活应用.


知识精讲


知识点01 　余弦定理
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则有
余弦定理
语言叙述
三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍
公式表达
a2＝b2＋c2－2bccos A，
b2＝a2＋c2－2accos B，
c2＝a2＋b2－2abcos C
推论
cos A＝，
cos B＝，
cos C＝

【即学即练1】　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2－b2＋c2＝ac，则角B为(　　)
A. B.
C.或 D.或
答案　A
解析　∵a2－b2＋c2＝ac，
∴cos B＝＝＝，
又B为△ABC的内角，∴B＝.

反思感悟
　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．


知识点02 解三角形
一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．

【即学即练2】在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，则△ABC的最小角为(　　)
A. B. C. D.
答案　B
解析　∵a>b>c，∴C为最小角且C为锐角，
由余弦定理，得cos C＝
＝＝.
又∵C为锐角，∴C＝.





能力拓展


考法01 已知两边及一角解三角形

【典例1】已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cos C＝，则c＝ ，sin A＝ .
答案　2　
解析　根据余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝12＋22－2×1×2×＝4，解得c＝2.由a＝1，b＝2，c＝2，得cos A＝＝，所以sin A＝＝.
反思感悟　已知三角形的两边及一角解三角形的方法
已知三角形的两边及一角解三角形，必须先判断该角是给出两边中一边的对角，还是给出两边的夹角．若是给出两边的夹角，可以由余弦定理求第三边；若是给出两边中一边的对角，可以利用余弦定理建立一元二次方程，解方程求出第三边．
【变式训练】(1)在△ABC中，已知b＝3，c＝2，A＝30°，求a的值；
(2)在△ABC中，已知b＝3，c＝3，B＝30°，解这个三角形．
解析　(1)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A
＝32＋(2)2－2×3×2cos 30°＝3，
所以a＝.
(2)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，
得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos 30°，
即a2－9a＋18＝0，解得a＝3或a＝6.
当a＝3时，A＝30°，C＝120°；
当a＝6时，由余弦定理得cos A＝＝0，
A＝90°，C＝60°.


考法02 已知三边解三角形

【典例2】在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角的大小．
解析　∵a>c>b，∴A为最大角．
由余弦定理的推论，得
cos A＝＝＝－.
又∵0° ∴最大角A为120°.

反思感悟 已知三角形的三边解三角形的方法
利用余弦定理求出三个角的余弦值，进而求出三个角

【变式训练】在△ABC中，已知a＝2，b＝6＋2，c＝4，求A，B，C的大小．
解析　根据余弦定理，得cos A＝
＝＝.
∵A∈(0，π)，∴A＝，
cos C＝＝
＝，
∵C∈(0，π)，∴C＝.
∴B＝π－A－C＝π－－＝，
∴A＝，B＝，C＝.


考法03 余弦定理的简单应用

【典例3】在△ABC中，A＝60°，a2＝bc，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
答案　D
解析　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，
所以由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc，
所以bc＝b2＋c2－bc，即(b－c)2＝0，
所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形．
反思感悟　(1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状时，需要从“统一”入手，即使用转化思想解决问题，一般有两条思考路线
①先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系．
②先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系．
(2)判断三角形的形状时，经常用到以下结论
①△ABC为直角三角形⇔a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.
②△ABC为锐角三角形⇔a2＋b2>c2，且b2＋c2>a2，且c2＋a2>b2.
③△ABC为钝角三角形⇔a2＋b2 ④若sin 2A＝sin 2B，则A＝B或A＋B＝.
【变式训练】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋ac，则角B的大小是(　　)
A．45° B．60°
C．90° D．135°
答案　A
解析　因为a2＝b2－c2＋ac，所以a2＋c2－b2＝ac，
由余弦定理，得cos B＝＝＝，
又0°

分层提分


题组A 基础过关练

1．在中，为的中点，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
在中，由余弦定理得,
在中，由余弦定理得,
所以，
故选:C.
2．△ABC中，若a2=b2+c2+bc，则∠A=（    ）
A．60° B．45° C．120° D．30°
【答案】C
【详解】根据余弦定理，
因为，所以.
故选：C
3．在中，，，分别是的对边，，，，则等于（    ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【详解】在中，，，，
由余弦定理得：，即，化简得 解得：，或 （舍去）
故选：D
4．在中，若，则A=（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】可整理为，所以，又，所以.
故选：B.

5．在中，角､､所对边分别是､､，若，则___________.
【答案】##
【详解】，
，
，.
故答案为：.
6．若满足的有两个，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【详解】设，在中，
由余弦定理得，
即，
整理为关于的一元二次方程，
根据题意，该一元二次方程有两个不相等的正实数根，
所以，解得，
故答案为: .
7．在△ABC中，若，，，则_________．
【答案】
【详解】因为，，，由余弦定理可知，，化简可得，解得.
故答案为：
8．在高铁建设中需要确定隧道的长度和隧道两端的施工方向，为解决这个问题，某校综合实践活动小组提供了如下方案：先测量出隧道两端的两点，到某一点的距离，再测出的大小.现已测得约为，约为，且（如图所示），则，两点之间的距离约为______.（结果四舍五入保留整数）

【答案】3
【详解】因为，，则由余弦定理可知，解得，即，又因为，四舍五入为.
故答案为：
9．在中，已知，则的面积为_________.
【答案】##
【详解】由余弦定理得：，
因为，
所以，
由三角形面积公式得：.
故答案为：
10．在中，若，则_____．
【答案】##
【详解】由正弦定理可得，即
故答案为:
11．在中，若，则的长为_____．
【答案】
【详解】由余弦定理可得：，
即，
所以，即
故答案为：.

12．在中，有.
(1)求角的大小；
(2)若，求的面积.
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）解：由题意可得，，故.
（2）解：由三角形的面积公式可得.
因此，的面积为.


题组B 能力提升练
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则B等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，，
设,
由余弦定理得，
因为，
所以，
故选：B
2．已知，，，则（    ）
A．2 B．3 C．5 D．6
【答案】C
【详解】因为，，，
所以，
所以，
所以
所以，
故选：C
3．在中，，则的最小角为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由已知，在中，，
因为，所以的最小角为，
所以，
又因为，
所以.
故选：C.
4．的内角的对边分别是，已知，则等于（    ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：因为
又余弦定理得：，所以.
故选：B.
5．在中，，则的值为（    ）
A． B．－ C．－ D．
【答案】C
【详解】解：因为，
所以设，
由余弦定理可得.
故选：C.
6．在中，，，，则边的长为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：在中，，，，
由余弦定理，
即，
解得或（舍去）.
故选：C

7．（多选）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ）
A．若，则
B．若为钝角三角形，则
C．若，则有两解
D．若三角形为斜三角形，则
【答案】ACD
【详解】对于A，若，则，由正弦定理可得，
所以，，A正确；
对于B，若为钝角三角形，假设为钝角，
则，可得，B错误；
对于C，，则，如图：

所以有两解，C正确；
对于D，因为，
所以
因为，
所以，
所以，D正确.
故选：ACD

8．定义：.已知分别为的三个内角所对的边，若，且，则的最小值为______.
【答案】
【详解】由题可知，
化简得，
C为三角形内角，解得.
所以，
所以.
故答案为：.
9．在中，角，，所对的边为，，，且，，，则的值等于__________．
【答案】
【详解】因为，，，
所以






，
故答案为：.

10．的内角的对边分别是，已知，且的面积为24.
(1)求；
(2)若，求.
【答案】(1)64
(2)6
【详解】（1）因为，所以.
因为的面积为24，所以，即，
所以.
（2）由（1）知，又，
所以，解得，从而，
在中，由余弦定理可得：，
解得.

题组C 培优拔尖练
1．如图，在正四面体中，是棱上的三等分点，记二面角，的平面角分别为，则（    ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】如图1，

在正四面体ABCD中，取AB的中点G，连接CG,DG，则，而，所以平面CDG，连接EG,FG，因为平面，平面，所以.由二面角的平面角的定义可以判断，由对称性容易判断.
设该正四面体的棱长为6，如图2，

CD=6，易得，取CD的中点H，则，CE=2，EH=HF=1，在中，由勾股定理可得，于是.
于是，在中，由余弦定理可得，
在中，由余弦定理可得，而，即，于是.
故选：D.
2．已知，，．若，则的最小值为（    ）
A．0 B． C．1 D．
【答案】D
【详解】令，依题意，，而，则，
因，则有点C在半径为1，所含圆心角为的扇形的弧上，如图，

因，则表示直线上的点Q与直线上的点P间距离，、分别是点C到点Q，P的距离，
因此，表示三点Q，P，C两两距离的和，
作点C关于直线OA对称点N，关于直线OB对称点M，连MN交OA，OB分别于点F，E，连FC，EC，ON，OM，
则有，令，则，，
于是得，而，
由余弦定理得，
因此，，
对于直线上任意点Q、直线上任意点P，连接CQ，NQ，QP，CP，PM，PN，
则，，当且仅当点Q与F重合且点P与点E重合时取“=”，
从而得，
所以的最小值为.
故选：D
3．（多选）下列四个选项中哪些是正确的（    ）
A．若，则
B．
C．在任意斜三角形中
D．在三角形中
【答案】ACD
【详解】对于A，，A正确；
对于B，，
，，B错误；
对于C，在任意斜三角形中，，
整理得，
即，C正确；
对于D，在三角形中，，D正确.
故选：ACD.

4．如图，为了测量两点间的距离，选取同一平面上的，两点，测出四边形各边的长度（单位：km）：，，，，且四点共圆，则的长为_________ .

【答案】7
【详解】∵四点共圆，圆内接四边形的对角和为 ﹒
∴ ，
∴由余弦定理可得 ，
，
∵，即 ，
∴ ,解得,
故答案为：7
5．在△ABC中，已知，，，则△ABC周长为______．
【答案】12
【详解】因为，
所以，
又，
所以，
，
由余弦定理得，，
所以，
所以，
所以，
则△ABC周长为.
故答案为：12.

6．已知的内角所对的边分别为，______且，请从①，②，③这三个条件中任选一个补充在横线上，求出此时的面积.
【答案】
【详解】解：若选择①，则，
因为，所以，
因为，所以
所以，在中由正弦定理，
得，因为，所以，
所以，
所以
若选择②，则，
所以，因为，所以，
所以，所以；
所以，在中由正弦定理，
得，因为，所以，
所以，
所以
若选择③，
由余弦定理，因为，所以；
所以，在中由正弦定理，
得，因为，所以，
所以，
所以
7．已知四边形ABCD是圆内接四边形，，，，对角线AC与BD交于点O，则______；______．

【答案】     2     ##
【详解】四边形ABCD是圆的内接四边形，则
则，又，，，
则，
即，解之得
又，则为等腰直角三角形，则
由，可得，则
由，即
解之得或（舍）
故答案为：2；

8．在中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，，函数在区间上有9个零点.
(1)求a，b的值；
(2)若，求c的取值范围.
【答案】(1)，
(2)

解析 (1)设，则.由得，①，
，∴方程①有两个不相等的实数根，分别设为，，
∴，不妨假定.
当时，，方程在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去.
同理不合题意，舍去.
当时，方程与方程在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去.
当时，，即时，，
根据曲线得，方程与在区间上解的个数之和为9，
则.
当时，，即时，，根据曲线得，方程与在区间上解的个数之和是偶数，不合题意，舍去.
所以，此时，解得:.
(2)∵，，，
∴在中，由余弦定理得，
解得:.
由于，
∴c的取值范围是.