【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第33讲 平面与平面垂直 讲义

第33课 平面与平面垂直

知识点01二面角的概念

1．定义：从一条直线出发的所组成的图形．

2．相关概念：

(1)这条直线叫做二面角的棱；

(2)两个半平面叫做二面角的．

3．画法：

4．记法：二面角α或二面角或二面角或二面角P－AB－Q.

5．二面角的平面角：

(1)若有①O∈l；②OA⊂α，OB⊂β；③OA⊥l，OB⊥l，则二面角α－l－β的平面角是.

(2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角．

【即学即练1】　对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)

A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β

知识点02平面与平面垂直

1．平面与平面垂直的定义

(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是，就说这两个平面互相垂直．

(2)画法：

(3)记作：.

2．平面与平面垂直的判定定理

【即学即练2】在三棱锥A－BCD中，AD⊥BC，AD⊥CD，则有(　　)

A．平面ABC⊥平面ADC

B．平面ADC⊥平面BCD

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ABC⊥平面ADB

知识点03平面与平面垂直的性质定理

【即学即练2】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．求证：平面ABM⊥平面A1B1M.

考法01二面角的求法

【典例1】如图所示，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，求二面角A－CD－B的平面角的余弦值．

反思感悟　求二面角的平面角的大小的步骤

【变式训练】从空间一点P向二面角α－l－β的两个面α，β分别作垂线PE，PF，E，F为垂足，若∠EPF＝60°，则二面角α－l－β的平面角的大小是(　　)

A．60° B．120°

C．60°或120° D．不确定

考法02平面与平面垂直的判定

【典例2】如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.

反思感悟　证明平面与平面垂直的方法

(1)利用定义：证明二面角的平面角为直角．

(2)利用面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直．

【变式训练】如图，已知三棱锥S－ABC中，侧棱SA＝SB＝SC，∠ABC＝90°，求证：平面ABC⊥平面ASC.

考法03平面与平面垂直的性质定理

【典例3】

【变式训练】如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.

求证：BC⊥AB.

反思感悟　利用面面垂直的性质定理证明线面垂直的问题时，要注意以下三点

(1)两个平面垂直．

(2)直线必须在其中一个平面内．

(3)直线必须垂直于它们的交线．

【变式训练】如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.

题组A基础过关练

一、单选题

1．已知m，n，l是直线，α，β是平面，α⊥β，α∩β=l，n⊂β，n⊥l，m⊥α，则直线m与n的位置关系是（）

A．异面 B．相交但不垂直 C．平行 D．相交且垂直

2．设m，n是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题正确的是（）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，则

3．如图所示，在三棱锥中，，，且是锐角三角形，那么必有（）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

4．若一个正四棱锥的高和底面边长都为a，则它的侧面与底面所成角的余弦值为（）

A． B． C． D．

5．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是（）

A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂α D．m∥n，m⊥α，n⊥β

6．如图所示，在三棱锥中，且，，，则下列命题不正确的是（）

A．平面平面 B．平面平面

C．平面平面 D．平面平面

二、多选题

7．已知直线l和不重合的两个平面，，且，下列命题正确的是（）

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

8．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（）

A．若，，则 B．若，，则

C．若，，则 D．若，，，则

三、填空题

9．在矩形ABCD中，，点E为CD的中点（如图1），沿AE将△折起到△处，使得平面平面ABCE（如图2），则直线PC与平面ABCE所成角的正切值为___________.

11．如图，在棱长为a的正方体中，E、F分别是、的中点．则点A和点的距离为______，点到棱BC的距离为______，点E到平面的距离为______，到平面AEFD的距离为______．

12．菱形ABCD中，，，将沿BD折起，点变为E点，当四面体的体积最大时，四面体的外接球的表面积为___________.

四、解答题

13．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA＝PD，底面ABCD是矩形，侧面PAD⊥底面ABCD，E是AD的中点．

（1）求证：AD∥平面PBC；

（2）求证：AB⊥平面PAD

14．如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，为线段上的动点，为线段的中点.

(1)若为线段的中点，证明：平面平面；

(2)若平面，试确定点的位置，并说明理由.

题组B能力提升练

一、单选题

1．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）

A．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β

B．若m∥α，m∥n，则n∥α

C．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β

D．若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n⊥β

2．PA垂直于正方形ABCD所在平面，连接PB、PC、PD、AC、BD，则下列垂直关系正确的是（）

①平面平面PAD；②平面平面PBC；

③平面平面PCD；④平面平面PAC．

A．①② B．①③ C．②③ D．②④

3．下列说法正确的是（）

A．若两条直线和同一平面所成的角相等，则这两直线平行

B．若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行

C．若两个平面都垂直于同一平面，则这两个平面平行

D．若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行

4．攒尖在中国古建筑（如宫殿、坛庙、园林等）中大量存在，攒尖式建筑的屋面在顶部交汇成宝顶，使整个屋顶呈棱锥或圆锥形状.始建于年的廓如亭（位于北京颐和园内，如图）是全国最大的攒尖亭宇，八角重檐，蔚为壮观.其檐平面呈正八边形，上檐边长为，宝顶到上檐平面的距离为，则攒尖坡度（即屋顶斜面与檐平面所成二面角的正切值）为（）

A． B． C． D．

5．已知平面与平面交于直线，且直线，直线，且直线不重合，则下列命题错误的是（）

A．若，且与不垂直，则

B．若，则

C．若，且与不平行，则

D．若，则

6．给出下列四个命题：

①各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱；

②若直线平面，平面，则；

③若平面外两点到平面的距离相等，则过两点的直线必平行于该平面；

④异面直线a，b不垂直，则过a的任平面与b都不垂直．其中正确命题是（）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④

二、多选题

7．设是给定的平面，A，B是不在内的任意两点，则下列各选项正确的是（）

A．在内存在直线与直线异面

B．在内存在直线与直线相交

C．在内存在直线与直线平行

D．存在过直线的平面与垂直

8．如图，在五棱锥中，平面，，，是等腰三角形．则（）

A．平面平面

B．直线与平面所成的角为的大小为60°

C．四棱锥的体积为

D．四边形的面积为3

三、填空题

9．已知平面，和直线，且，则“”是“”的______条件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”选一填写．）

10．如图所示的四边形是边长为的正方形，对角线，相交于点，将沿折起到的位置，使平面平面．给出以下5个结论：

①；②和都是等边三角形；③平面平面；④；⑤三棱锥表面的四个三角形中，面积最大的是和．

其中所有正确结论的序号是____________．

11．在三棱锥中，平面平面，与都是边长为6的正三角形，则该三棱锥的外接球的体积为________.

12．在边长为4的正方形ABCD中，E，F，G分别为AD，BC，AB的中点，现将矩形CDEF沿EF折起，使平面CDEF与平面ABFE所成的二面角为直二面角，则四面体CEGF的外接球的表面积为___________.

四、解答题

13．在三棱锥中，分别为的中点，且.

(1)证明：平面；

(2)若平面平面，证明：.

14．如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求四面体的体积.

题组C培优拔尖练

1．如图，在四棱锥中，，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，，求点到平面的距离．

2．如图，在四棱锥中，底面是一个平行四边形，底面，，点是的中点，，.

(1)求证：平面平面；

(2)求点到平面的距离.

3．如图所示，在三棱锥中，，，，点，分别为，的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求四面体的体积.

4．如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=CC1=2，，点D为BC中点.

(1)求证：平面⊥平面AC1D；

(2)求点C到平面AC1D的距离.