【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第30讲 平面与平面平行 讲义

第30课 平面与平面平行

知识点01平面与平面平行的判定定理

【即学即练1】　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.

反思感悟

两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法．解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行．

知识点02两个平面平行的性质定理

【即学即练2】如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.

反思感悟　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤

(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条．

(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)．

(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上．

(4)由定理得出结论．

考法01平面与平面平行的判定定理的应用

【典例1】如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点，求证：平面AFH∥平面PCE.

【变式训练】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．

求证：(1)B，C，H，G四点共面；

(2)平面EFA1∥平面BCHG.

考法02平面与平面平行的性质定理的应用

如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，过点B，E，D1的平面与棱CC1交于点F.

(1)求证：四边形BFD1E为平行四边形；

(2)试确定点F的位置．

【变式训练】如图所示，P是△ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.

考法03线面平行、面面平行的应用

【典例3】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有两点E，F，且B1E＝C1F.求证：EF∥平面ABCD.

反思感悟　(1)证明线面平行的两种方法：一是由线线平行推出线面平行；二是由面面平行推出线面平行．

(2)线线平行、线面平行、面面平行三者之间可以相互转化，要注意转化思想的灵活运用．

【变式训练3】如图，已知平面α∥平面β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长．

题组A基础过关练

一、单选题

1．如图是长方体被一平面所截得到的几何体，四边形为截面，长方形为底面，则四边形的形状为（    ）

A．梯形 B．平行四边形

C．可能是梯形也可能是平行四边形 D．矩形

2．已知直线a与平面，能使的充分条件是（    ）

①      ②      ③      ④

A．①② B．②③ C．①④ D．②④

3．如图，不同在一个平面内的三条平行直线和两个平行平面相交，两个平面内以交点为顶点的两个三角形是（    ）

A．相似但不全等的三角形

B．全等三角形

C．面积相等的不全等三角形

D．以上结论都不对

4．在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（    ）

A．5 B． C． D．

5．已知正方体的棱长为2，点在棱上，过点作该正方体的截面，当截面平行于平面且面积为时，线段的长为（    ）

A． B．1 C． D．

6．已知正方体的棱长为2，P为正方形ABCD内的一动点，E、F分别是棱、棱的中点．若平面BEF，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

二、多选题

7．以下条件能够判断平面与平面平行的是（    ）

A．平面内有两条直线与平面平行

B．两不同平面，平行于同一个平面

C．平面内的任意一条直线与平面无公共点

D．夹在平面与平面间的两条平行线段相等

8．已知表示两条直线，表示三个不重合的平面，给出下列命题，正确的是（       ）

A．若，且，则

B．若相交，且都在外，，则

C．若，且，则

D．若，则

三、填空题

9．“平面平面”是“平面内有无数条直线与平面平行”的______条件．

10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________

11．在正方体ABCD­-A1B1C1D1中，M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点，点P在BD1上且BP＝BD1.则以下四个说法：

①MN∥平面APC；

②C1Q∥平面APC；

③A，P，M三点共线；

④平面MNQ∥平面APC.

其中说法正确的是________(填序号)．

12．在棱长为4的正方体中，点是棱的中点，过点作与截面平行的截面，则所得截面的面积为____________.

四、解答题

13．如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC//AB，求证：平面PAB//平面EFG.

14．如图，已知正三棱锥的高，侧面上的斜高，求经过的中点且平行于底面的截面的面积（用，表示）．

题组B能力提升练

一、单选题

1．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有（    ）

A．1对 B．2对

C．3对 D．4对

2．在棱长为2的正方体中，E是棱的中点，则过B、E、三点的平面截正方体所得的截面图形的面积为（    ）

A．5 B． C． D．

3．对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：

①若，，则；

②若，，则；

③若，，则；

④若，，则；

⑤若，，则.

则其中所有错误的命题是（    ）

A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤

4．如图，在正方体中，E，F分别为棱，的中点，O为正方形ABCD的对角线AC与BD的交点，则下列结论不正确的是（    ）

A．平面 B．平面

C．平面 D．平面

5．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M，N分别是棱BC，CC1的中点，动点P在正方形BCC1B1（包括边界）内运动．若平面AMN，则PA1的最小值是（    ）

A．1 B． C． D．

6．如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

二、多选题

7．设，为两个平面，则的充分条件可以是（    ）

A．内的所有直线都与平行 B．内有三条直线与平行

C．和平行于同一条直线 D．和都平行于同一平面

8．在棱长为1的正方体中，M是线段上的动点，则下列结论中正确的是（    ）

A．存在点M，使得平面

B．存在点M，使得三棱锥的体积是

C．存在点M，使得平面交正方体的截面为等腰梯形

D．若，过点M作正方体的外接球的截面，则截面面积的最小值为

三、填空题

9．如图,已知在三棱锥中分别是棱的中点,则平面与平面的位置关系是______.

10．如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF平面BD1G，则___________

11．如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中，①平面AEND；②平面ABFE；③平面平面AFN；④平面平面以上四个命题中，正确命题的序号是______.

12．在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ平面PAO．

四、解答题

13．已知正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点．求证：平面ADE．

14．如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD是平行四边形，，，分别为棱的中点．

(1)证明：平面；

(2)点为底面四边形内的一动点（包括边界），且平面平面，求的最大值．

题组C培优拔尖练

1．如图所示，在正方体中，，，分别是，，的中点．求证：平面平面．

2．已知正方体中，P､Q分别为对角线BD､上的点，且.

(1)作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；

(2)若R是AB上的点，当的值为多少时，能使平面平面？请给出证明.

3．如图，在四棱柱中，点是线段上的一个动点，，分别是，的中点.

（1）求证：平面；

（2）设为棱上的一点，问：当在什么位置时，平面平面？

4．如图所示，在正方体中，E，F，G，H分别是的中点．求证：

（1）；

（2）平面：

（3）平面平面．