【同步讲义】（人教A版2019）高中数学必修二：第15讲 余弦定理、正弦定理应用举例 讲义

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第15 课 余弦定理、正弦定理应用举例

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课程标准
课标解读
1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.
2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．
3.理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.
4.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.
5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．

1.进一步理解三角形面积公式的推导过程，掌握三角形的面积公式.
2.了解正弦、余弦定理在平面几何中的应用.在了解的基础上熟练应用是关键.
5.掌握正弦、余弦定理与三角函数的综合应用．


知识精讲


知识点01 基线的概念与选择原则
1．定义
在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
2．性质
在测量过程中，应根据实际需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．

【即学即练1】　已知海上A，B两个小岛相距10海里，C岛临近陆地，若从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B岛与C岛之间的距离是(　　)
A．10 海里 B.海里
C．5 海里 D．5 海里
答案　D
解析　如图所示，C＝180°－60°－75°＝45°，AB＝10 (海里)．

由正弦定理，得＝，
所以BC＝5(海里)．

知识点02 测量中的有关角的概念
1．仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平线和目标视线的夹角，目标视线在水平线上方时叫仰角，目标视线在水平线下方时叫俯角．(如图所示)

2．方向角
从指定方向线到目标方向线所成的水平角．如南偏西60°，即以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°. (如图所示)



【即学即练2】如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．

(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
解　(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝＝7，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.




知识点03 　三角形的面积公式
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边的长分别为a，b，c，则△ABC的面积公式为
(1)S＝ absin C＝bcsin A＝casin B；
(2)S＝a·ha＝b·hb＝c·hc(ha，hb，hc表示a，b，c边上的高)．
2．△ABC中的常用结论
(1)A＋B＋C＝180°，
sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(2)大边对大角，即a>b⇔A>B ⇔sin A>sin B；
(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

【即学即练3】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＋b＝5，c＝，且ccos A＋a＝b.
(1)求C的大小；
(2)求△ABC的面积．
解　(1)由正弦定理，得sin Ccos A＋sin A＝sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C，
即sin A＝sin Acos C，
∵sin A≠0，∴cos C＝，又C∈(0，π)，∴C＝.
(2)由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，
即7＝a2＋b2－ab，
∴7＝(a＋b)2－3ab＝25－3ab，故ab＝6，
∴S△ABC＝absin C＝×6×＝，
故△ABC的面积为.
反思感悟 求三角形的面积，要充分挖掘题目中的条件，转化为求两边及其夹角的正弦问题，要注意方程思想在解题中的应用．


能力拓展


考法01 距离问题

【典例1】如图，为测量河对岸A，B两点间的距离，沿河岸选取相距40 m的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，求A，B两点的距离．

解　在△BCD中，∠BDC＝60°＋30°＝90°，∠BCD＝45°，∴∠CBD＝90°－45°＝∠BCD，
∴BD＝CD＝40，BC＝＝40.
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACD＝60°＋45°＝105°，
∴∠CAD＝180°－(30°＋105°)＝45°.
由正弦定理，得AC＝＝20.
在△ABC中，由余弦定理，得
AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cos∠BCA＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400，
∴AB＝20，
故A，B两点之间的距离为20 m.
反思感悟　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是
(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．
(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．
【变式训练】如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则河的宽度是________ m.

答案　60
解析　tan 30°＝，tan 75°＝，
又AD＋DB＝120，
∴AD·tan 30°＝(120－AD)·tan 75°，
∴AD＝60，故CD＝60.即河的宽度是60 m.


考法02 高度问题
【典例2】珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B点处的测量觇标高10米，攀登者们在A处测得到觇标底点B和顶点C的仰角分别为70°，80°，则A，B的高度差约为(　　)

A．10米 B．9.72米
C．9.40米 D．8.62米
答案　C
解析　根据题意画出如图的模型，则CB＝10，∠OAB＝70°，∠OAC＝80°，所以∠CAB＝10°，∠ACB＝10°，所以AB＝10，所以在Rt△AOB中，BO＝10sin 70°≈9.4(米)．



反思感悟 测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．


【变式训练】如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(　　)

A．10 m B．10 m
C．10 m D．10 m
答案　D
解析　在△BCD中，CD＝10 m，∠BDC＝45°，
∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，
由正弦定理，得＝，
故BC＝＝10(m)．
在Rt△ABC中，tan 60°＝，
故AB＝BC×tan 60°＝10(m)．


考法03 角度问题
【典例3】甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？
解　如图所示．设经过t小时两船在C点相遇，

则在△ABC中，BC＝at(海里)，AC＝at(海里)，
B＝180°－60°＝120°，
由＝，得
sin∠CAB＝＝＝＝，
∵0°<∠CAB<60°，∴∠CAB＝30°，
∴∠DAC＝60°－30°＝30°，
∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．
反思感悟　测量角度问题的基本思路
测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．

【变式训练】　地图测绘人员在点A测得某一目标参照物P在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m，到达点B.试确定此时目标参照物P在他北偏东的度数以及他与目标参照物P的距离．
解　如图，在△PAB中，∠PAB＝30°，PA＝40 m，AB＝40 m.

由余弦定理，得
PB＝
＝＝40(m)．
因为AB＝40 m，所以AB＝PB，所以∠APB＝∠PAB＝30°，所以∠PBA＝120°.因此测绘人员到达点B时，目标参照物P在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P与他的距离为40 m.


分层提分


题组A 基础过关练

1．在中，的对边分别是，若，则的形状是（    ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角或直角三角形
【答案】C
【详解】三角形中，，所以为钝角，
三角形为钝角三角形．
故选：C．
2．下列命题中， 不正确的是（    ）
A．“若 ， 则” 的否命题为假命题
B．在锐角 中， 不等式恒成立
C．在 中， 若， 则必是等腰直角三角形
D．在 中， 若， 则必是等边三角形
【答案】C
【详解】对于A，原命题的否命题为“若 ， 则”，
由得，，得或或，
所以该否命题为假命题，故A正确；
对于B，在锐角 中，因为,
所以,因为,所以，
又因为在单调递增，所以，
即，故B正确；
对于C， 在中，由 ，
利用正弦定理可得： ，

或，
得 或，
是等腰三角形或直角三角形，故C错误;
对于D，由余弦定理得，
又因为，所以，
所以，又因为，所以是等边三角形，故D正确，
故选:C.
3．如图所示，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西方向上，灯塔B在观察站南偏东方向上，则灯塔A在灯塔B的（    ）

A．北偏东方向上 B．北偏西方向上 C．南偏东方向上 D．南偏西方向上
【答案】D
【详解】由条件及题图可知，为等腰三角形，
所以，又，
所以，所以，
因此灯塔A在灯塔B的南偏西方向上．
故选：D．

4．（多选）某人在处向正东方向走后到达处，他沿南偏西方向走到达处，这时他离出发点，那么的值可以是（    ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【详解】如图，由条件可知，，，，，根据余弦定理可知，即，
解得：或

故选：AB

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝2，b＝1，，则△ABC的面积为______．
【答案】##
【详解】由同角三角函数关系：，
由三角形面积公式得：.
故答案为：
6．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的形状是____________（填“直角三角形”，“锐角三角形”，“钝角三角形”中的一个）．
【答案】直角三角形
【详解】方法一：


所以的形状是直角三角形.
方法二：


又

又

即
所以的形状是直角三角形.
故答案为：直角三角形.
7．如图，小明同学在山坡上处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在处测得公路上两点的俯角分别为，且.若山坡高为（点在同一水平面），汽车从点到点历时，则这辆汽车的速度为__________.（结果精确到整数，参考数据：）

【答案】21
【详解】由题意，AB＝，AC＝，
由余弦定理可得

这辆汽车的速度为.
故答案为：21.

8．在中，，，且，求：
(1)求的值；
(2)求的面积．
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）因为，由正弦定理得，，所以，
由余弦定理得，因为，，
所以，化简得，解得 或，
当时，，与题意不符合;
当时，，符合题意.
所以.
（2）因为，，
所以，所以的面积
9．如图，甲船以海里/小时的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船南偏西方向的处，此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船南偏西方向的处，此时两船相距海里.

(1)求；
(2)求乙船的航行速度.
【答案】(1)（海里）
(2)海里/小时

【详解】（1）如图，连结，
因为，，
所以是等边三角形，
所以（海里）

（2）因为
在中，由余弦定理得：

所以（海里）
因此乙船的速度的大小为
所以乙船航行速度为海里/小时
10．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求A；
(2)若，求面积的最大值.
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）根据正弦定理及，
得.
∵，
∴.
∵，
∴.
（2）由（1）知，又，
由余弦定理得，
即，
∵，
∴，即，
当且仅当时取等号.
∴.
∴的最大值为.
11．已知的内角的对边分别为，且的面积为．
(1)求的值；
(2)若为边的中点且，求的周长．
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）由余弦定理可得，
又，整理得．
因为，即
所以．
（2）由（1）的过程可知，
所以，解得．
因为，
所以．
因为，
所以，
所以，
即，解得．
故，
所以，
即．
所以的周长为．
12．记锐角的角所对的边分别为．已知．
(1)求角的大小；
(2)若，求边上的高的取值范围．
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）解：因为，
所以，由正弦定理边角互化可得：
所以，
因为，
所以，
所以．
因为
所以.
（2）解：设边上高为，垂足为，
设，则，
所以，，
由（1）得，
所以，
因为，
所以，即，
解不等式得或；
解不等式得，
因为
所以


题组B 能力提升练
1．国庆期间我校数学兴趣小组的同学开展了测量校园旗杆高度的活动，如图所示，在操场上选择了两点，在､处测得旗杆的仰角分别为.在水平面上测得且的距离为10米，则旗杆的高度为（    ）

A．5 B． C．10 D．
【答案】C
【详解】如图所示：

设旗杆的高度为，
所以，
在中，由余弦定理得，
即，
即，
解得或（舍去）.
故选:.
2．某大学校园内有一个“少年湖”，湖的两侧有一个健身房和一个图书馆，如图，若设音乐教室在处，图书馆在处，为测量､两地之间的距离，甲同学选定了与､不共线的处，构成，以下是测量的数据的不同方案：①测量；②测量；③测量；④测量.其中要求能唯一确定､两地之间距离，甲同学应选择的方案的序号为（    ）

A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【详解】①测量∠A，∠C，∠B，知道三个角度值，三角形有无数多组解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；
②测量∠A，∠B，BC，已知两角及一边，由正弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离；
③测量∠A，AC，BC，已知两边及其一边的对角，由正弦定理可知，三角形可能有2个解，不能唯一确定点A，B两地之间的距离；
④测量∠C，AC，BC，已知两边及夹角，由余弦定理可知，三角形有唯一的解，能唯一确定点A，B两地之间的距离.
综上可得，一定能唯一确定A，B两地之间的距离的所有方案的序号是②④.
故选：C
3．某市某中学高三（4）班同学小李要测量一座山的高度.当地有一座山，高度为OT，小李同学先在地面选择一点A，在该点处测得这座山在西偏北25°方向，且山顶T处的仰角为30°；然后从A处向正西方向走700米后到达地面B处，测得该山在北偏西5°方向，山顶T处的仰角为60°.同学们建立了如图模型，则山高OT为（    ）

A．20米 B．50米 C．200米 D．140米
【答案】D
【详解】设山高，在中，，，
在，，所以，
在中，，所以，
在中由正弦定理可得：，
也即，
所以，
故选：.
4．在中，，，以为边作等腰直角三角形（ 为直角顶点， 、两点在直线的两侧）.当变化时，线段长的最大值为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：方法一：如图，将 绕点 顺时针旋转 ，得到 ，连接 ，
， ，
在中，，，
， ，
  ，
在中， ，
当点 在 上时，即、、三点共线，此时有的最大值，
的最大值为： ，
，
的最大值为： .
故选：C.

方法二：如图，设 ， ，
在 中，由余弦定理可知： ，
在中，由余弦定理可知： ，
由同角关系可得： ，
，
令 ，
则


，
当时等号成立.
的最大值为： .
故选：C.


5．（多选）重庆的解放碑是重庆的地标性建筑，吸引众多游客来此打卡拍照．如图所示，现某中学数学兴趣小组对解放碑的高度进行测量，并绘制出测量方案示意图，为解放碑的最顶端，为基座（即在的正下方），在步行街上（与在同一水平面内）选取两点，测得的长为．小组成员利用测角仪已测得，则根据下列各组中的测量数据，能确定计算出解放碑高度的是（    ）

A． B．
C． D．
【答案】ABD
【详解】解：对于A选项，如图，根据，可利用正弦定理求得，从而求得，故A正确；
对于选项，根据，，利用正弦定理可求得，从而求得，故B正确；
对于C选项，根据四个条件，无法通过解三角形求得，故C错误；
对于D选项，由借助直角三角形和余弦定理，用表示出，然后结合在三角形中利用余弦定理列方程，解方程求得，故正确.
故选：．


6．已知，内角所对的边分别是，的角平分线交于点D．若，则的取值范围是____________．
【答案】
【详解】
对用正弦定理，可得，设，，由于为三角形内角，则，由可得，，整理得，，对，由余弦定理，，即，故，即，于是，根据基本不等式，，即，结合，解得，即，于是.
故答案为：

7．在临港滴水湖畔拟建造一个四边形的露营基地，如图ABCD所示.为考虑露营客人娱乐休闲的需求，在四边形ABCD区域中，将三角形ABD区域设立成花卉观赏区，三角形BCD区域设立成烧烤区，边AB、BC、CD、DA修建观赏步道，边BD修建隔离防护栏，其中米，米，.

(1)如果烧烤区是一个占地面积为9600平方米的钝角三角形，那么需要修建多长的隔离防护栏（精确到0.1米）？
(2)考虑到烧烤区的安全性，在规划四边形ABCD区域时，首先保证烧烤区的占地面积最大时，再使得花卉观赏区的面积尽可能大，则应如何设计观赏步道？
【答案】(1)247.4m
(2)应使得，来修建观赏步道.

【详解】（1），
解得：，
因为C是钝角，所以.
由余弦定理得：
，
故需要修建247.4m的隔离防护栏；
（2）解法一：，
当且仅达时取到等号，此时m，设，，
在中，，
解得：，
故
，
因为，所以，
故当，即时，取的最大值为1，
，
当且仅当时取到等号，此时
答：修建观赏步道时应使得，.
解法二：，
当且仅达时取到等号，此时，
设，.则由余弦定理，
，
故由平均值不等式，，
从而，
等号成立当且仅当.
答：修建观赏步道时应使得，.
8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
(1)求B；
(2)若的面积等于，求的周长的最小值．
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）解：因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
∵，所以，
所以，∴；
（2）解：依题意，∴ac＝4，
所以，当且仅当时取等号，
又由余弦定理得，
∴，当且仅当a＝c＝2时取等号，
所以的周长最小值为．
9．某农户有一个三角形地块，如图所示.该农户想要围出一块三角形区域（点在上）用来养一些家禽，经专业测量得到.

(1)若，求的长；
(2)若，求的周长.
【答案】(1)4
(2)

【详解】（1）解：在中，，且，所以.
因为，，所以.
在，由正弦定理可得，
所以.
（2）因为，所以，
所以，即：，可得.
在中，由余弦定理可得，
所以，解得或（舍去）.
因为，所以.
在中，由余弦定理可得
所以的周长为.
10．在①，②，③．
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
已知锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，且．
(1)求角C的值；
(2)求a的取值范围．
注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．
【答案】(1)
(2)

【详解】（1）选择条件①．
∵，
∴由正弦定理，得．
∵，∴，
∴，∴，
即，∴．
∵，∴，∴．
选择条件②．
由，得，
∴．
则由余弦定理，得．
∵，∴．
选择条件③．
∵，∴，
结合，得．
由正弦定理，得，即．
则由余弦定理，得．
∵，∴．
（2）∵，∴．
∵为锐角三角形，且，
∴，∴．
又，∴，∴．
由正弦定理，得，
∴，
∴，∴，即a的取值范围为．



题组C 培优拔尖练
1．在中，，，点与点分别在直线的两侧，且，，则的长度的最大值是（    ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【详解】由可知， 是，的直角三角形，如图所示：

设，，，则由余弦定理
得，即
由正弦定理得，所以.
连接，在中，由余弦定理，得

当时，的长度取得最大值，为
故选:B

2．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，a＝4，，点D在线段BC上，，过点D作，，垂足分别是E，F，则面积的最大值是______.
【答案】##
【详解】因为，所以由正弦定理得，
则，
因为，所以，
所以，则，
由余弦定理可得，即，
因为，所以，则，当且仅当时，等号成立，
连结，因为，所以，
所以，则，，
则．
故答案为：.
.
3．如图，在中，，点D在线段上，且，则面积的最大值为___________．

【答案】
【详解】解：在中，
设，
，
整理得：．
又，
整理得：，
，
即，
，
，
，
，
当且仅当时取等号．
所以面积的最大值为．
故答案为：．
4．在中(角A为最大内角，a，b，c为、、所对的边)和中，若，，，则__________.
【答案】
【详解】∵A是最大内角，∴均为锐角，
∵，，∴，，
∴，
∴，即，
∵是三角形内角，∴，∴，∴．
在△ABC中，由余弦定理得，，故，
∴．
故答案为：．
5．在中，点D在边BC上，已知，，的面积为，则___________.
【答案】##
【详解】
如图，，
，
在中，根据余弦定理得，，
解得，
根据正弦定理得，，
根据余弦定理得，，
∴
，
∴在△ABD中，根据正弦定理得，
，
．
故答案为：.
6．已知在锐角中，角A，B，C，所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为,
则,
即,
则,
即
即,
即,
又为锐角三角形,
则,即,即,

又，即，
即,
即的取值范围是,
故答案为：.
7．设是内的一点，且，，，则的最小值为_________.
【答案】24
【详解】
如图，以AB中点为原点建立平面直角坐标系，由题可知，，
所以，，，设，则
，，，
所以
，当时，取到等号.
故答案为：24.

8．如图，某巡逻艇在A处发现北偏东30°相距海里的B处有一艘走私船，正沿东偏南45°的方向以3海里小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇到达C处，走私船到达D处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里小时的速度沿着直线追击

(1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里
(2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船
【答案】(1)两船相距海里.
(2)巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.

【详解】（1）由题意知，当走私船发现了巡逻艇时，走私船在D处，巡逻艇在C处，此时，
由题意知
在中，
由余弦定理得

所以
在中， 由正弦定理得，即
所以（舍去）
所在
又
在中，
由余弦定理得

，
故当走私船发现了巡逻艇时，两船相距海里.
（2）当巡逻艇经过小时经方向在处追上走私船，
则
在中，由正弦定理得：
则
所以，
在中，由正弦定理得：
则，故 （舍）

故巡逻艇应该北偏东方向去追，才能最快追上走私船.
9．在中，角的对边分别为.已知角边上的高为.
(1)若，求的周长；
(2)求面积的最小值.
【答案】(1)12
(2)
【详解】（1）依题意，得，故，
又，，所以，则，
又由得，
因此，则，
故的周长为12.
（2）法一：
由题意可得，则，
又因为，
因为，所以当，即时，，故，
所以的面积为，所以面积的最小值为.
法二：
在中由余弦定理可得，，
又由（1）可知，即，
所以，解得，当且仅当时，等号成立.
所以，所以面积最小值为.
10．设的内心为点与的外接圆的另一交点为点.
(1)证明：；
(2)若，且的三边成等差数列，求.
【答案】(1)证明见解析
(2)

解析 （1）

由，.
（2）
设角所对边分别为内切圆半径为.
则，由条件，，故.
又面积，，得.
若，代入上式得.
由余弦定理，，符合题意；
若，则由与对称，与上面相同；
若，则，则，不符合题意.
综上，的值为.