高中人教A版 (2019)7.1 复数的概念精品同步练习题

课时跟踪检测 （十四） 数系的扩充和复数的概念

层级(一)　“四基”落实练

1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是       (　　)

A．3－3i　　　　　　　 B．3＋i

C．－＋i  D.＋i

解析：选A　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.

2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为        (　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选D　由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4.

3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　)

A．A∪B＝C  B．A＝B

C．A∩(∁SB)＝∅  D．(∁SA)∪(∁SB)＝C

解析：选D　集合A，B，C的关系如图所示，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝

C正确．故选D.

4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为     (　　)

A.  B．或π

C．2kπ＋(k∈Z)  D．kπ＋(k∈Z)

解析：选D　由复数相等定义得

∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)．

5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则      (　　)

A．a＝－1  B．a≠－1且a≠2

C．a≠－1  D．a≠2

解析：选C　由题意得a2－a－2≠0或解得a≠－1.

6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________.

解析：由复数相等可知，解得

答案：　1

7．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________．

解析：由题意得解得m＝2.

答案：2

8．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m取何值时？

(1)z是实数；

(2)z是纯虚数．

解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数z是实数．

(2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数．

由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，解得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数．

层级(二)　能力提升练

1．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的       (　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：选B　因为1－a＋a2＝a－2＋>0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.所以“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的必要不充分条件．

2．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为                                                                                                                               (　　)

A．4  B．－1

C．－1或4  D．－1或6

解析：选B　由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，所以m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝－1.

3．已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为________．

解析：由题意知cos α＋cos 2α＝0，∴2cos2α＋cos α－1＝0，

∴cos α＝－1或cos α＝.∵0<α<2π，∴α＝π，，，

∴α的取值集合为.

答案：

4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．

解：由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.即λ的取值范围为.

5．已知关于x的方程x2＋(2－3i)x＋5mi＋i＝0有实数根，求纯虚数m的值．

解：由于m是纯虚数，设m＝bi(b∈R，且b≠0)．设方程的实数根为a，则代入原方程整理得(a2＋2a－5b)＋(1－3a)i＝0.因为a，b∈R，所以由复数相等的充要条件，

得解得b＝，所以纯虚数m＝i.

层级(三)　素养培优练

1．定义运算＝ad－bc，如果(x＋y)＋(x＋3)i＝，求实数x，y的值．

解：由定义运算＝ad－bc，得＝3x＋2y＋yi，故有(x＋y)＋(x＋3)i＝3x＋2y＋yi.

因为x，y为实数，所以有

即解得x＝－1，y＝2.

2．若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？

解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，m＝0,1,4，z2＝2或6或18.上面m的公共值为m＝0，此时z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.所以使z1>z2的m值的集合为空集．