高考数学二轮复习题海集训33 抛物线（30题含答案）

这是一份高考数学二轮复习题海集训33 抛物线（30题含答案），共8页。试卷主要包含了设P，Q，，所以抛物线的焦点坐标为．，8；等内容，欢迎下载使用。
2020高考数学(理数)题海集训33 抛物线一         、选择题1.若抛物线x2=4y上的点P(m，n)到其焦点的距离为5，则n=(　　)A．         B．         C．3          D．4 2.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|=|MN|，则点F到MN的距离为(　　)A.             B．1           C.           D．2 3.已知抛物线C与双曲线x2－y2=1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是(　　)A．y2=±2x       B．y2=±2x       C．y2=±4x        D．y2=±4x 4.已知抛物线y2=2x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5∶4，且|AF|＞2，则点A到原点的距离为(　　)A.           B．2             C．4             D．8 5.设抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|=5.若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为(　　)A．y2=4x或y2=8x                 B．y2=2x或y2=8xC．y2=4x或y2=16x                D．y2=2x或y2=16x 6.抛物线y=2x2的准线方程是(　　)A．x=　       　B．x=－        C．y=           D．y=－ 7.若点A，B在抛物线y2=2px(p＞0)上，O是坐标原点，若正三角形OAB的面积为4，则该抛物线方程是(　　)A．y2=x            B．y2=x           C．y2=2x           D．y2=x 8.已知点A(－2，3)在抛物线C：y2=2px(p＞0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为(　　)A．－　            B．－1            C．－              D．－ 9.已知抛物线C：x2=2py(p＞0)，若直线y=2x被抛物线所截弦长为4，则抛物线C的方程为(　　)A．x2=8y             B．x2=4y           C．x2=2y             D．x2=y      10.抛物线有如下光学性质：由焦点发出的光线，经抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线上的一点反射后，必经过抛物线的焦点．已知抛物线y2=4x的焦点为F，一平行于x轴的光线从点M(3,1)射入，经过抛物线上的点A反射后，再经抛物线上的另一点B射出，则直线AB的斜率为(　　)A.              B．－            C．±             D．－ 11.抛物线x2=4y的焦点为F，过点F作斜率为的直线l与抛物线在y轴右侧的部分相交于点A，过点A作抛物线准线的垂线，垂足为H，则△AHF的面积是(　　)A．4             B．3        C．4            D．8 12.已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点．若=4，则|QF|等于(　　)A.3.5             B．2.5            C．3              D．2 13.过抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点F，且斜率为的直线交C于点M(M在x轴上方)，l为C的准线，点N在l上且MN⊥l，若|NF|=4，则M到直线NF的距离为(　　)A.           B．2            C．3           D．2 14.已知抛物线C：y2=2px(p＞0)的焦点为F，点M在抛物线C上，且|MO|=|MF|=(O为坐标原点)，则·=(　　)A．－             B．            C．            D．－ 15.已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ，则实数λ为(　　)A．            B．           C．2            D．3 16.已知抛物线y2=2px(p＞0)过点A，其准线与x轴交于点B，直线AB与抛物线的另一个交点为M，若=λ，则实数λ为(　　)A.             B．          C．2             D．3 17.抛物线C：y2=4x的焦点为F，N为准线l上一点，M为y轴上一点，∠MNF为直角，若线段MF的中点E在抛物线C上，则△MNF的面积为(　　)A．            B．           C．           D．3   18.已知直线l：x－y－a=0与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，若|MN|=，则a=(　　)A．－1            B．1         C．－2            D．2 19.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于(      )A.5               B.4                            C.3                           D.2 20.已知抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，且在第一象限，PA⊥l，垂足为A，|PF|=4，则直线AF的倾斜角等于(　　)A.             B.             C.            D. 二         、填空题21.已知抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F与双曲线－y2=1的右焦点重合，若A为抛物线在第一象限上的一点，且|AF|=3，则直线AF的斜率为________． 22.抛物线y2=x的焦点坐标是________． 23.已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴，若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为________． 24.已知抛物线y2=6x上的一点到焦点的距离是到y轴距离的2倍，则该点的横坐标为          . 25.在直角坐标系xOy中，有一定点M(－1，2)，若线段OM的垂直平分线过抛物线x2=2py(p＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是________． 26.若抛物线y2=4x上有一条长度为10的动弦AB，则AB的中点到y轴的最短距离为________． 27.设P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A(－1，1)的距离与点P到直线x=－1的距离之和的最小值为________． 28.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,且倾斜角为的直线与抛物线交于A,B两点,若弦AB的垂直平分线经过点(0,2),则p等于　　　　.  29.已知F是抛物线y2=4x的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，·=－4(其中O为坐标原点)，则△ABO面积的最小值是________． 30.过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，若|AF|=2|BF|=6，则p=________. 
答案解析1.答案为：D；解析：抛物线x2=4y的准线方程为y=－1，根据抛物线的定义可知，5=n＋1，得n=4，故选D.  2.答案为：B；由题可知|MF|=2，设点N到准线的距离为d，由抛物线的定义可得d=|NF|，因为|NF|=|MN|，所以cos∠NMF===，所以sin∠NMF==，所以点F到MN的距离为|MF|sin∠NMF=2×=1，故选B.  3.答案为：D；解析：由题意知双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．设抛物线C的方程为y2=±2px(p＞0)，则=，所以p=2，所以抛物线C的方程为y2=±4x.故选D.  4.答案为：B.解析：令点A到点F的距离为5a，点A到x轴的距离为4a，则点A的坐标为，代入y2=2x中，解得a=或a=(舍)，此时A(2，2)，故点A到原点的距离为2.  5.答案为：C.解析：由已知得抛物线的焦点F，设点A(0，2)，抛物线上点M(x0，y0)，则=，=.由已知得，·=0，即y－8y0＋16=0，因而y0=4，M.由|MF|=5得，=5，又p＞0，解得p=2或p=8，即抛物线方程为y2=4x或y2=16x.  6.答案为：D；解析：抛物线y=2x2的标准方程为x2=y，其准线方程为y=－.  7.答案为：A.解析：根据抛物线的对称性，AB⊥x轴，由于正三角形的面积是4，故AB2=4，故AB=4，正三角形的高为2，故可以设点A的坐标为(2，2)代入抛物线方程得4=4p，解得p=，故所求的抛物线方程为y2=x.故选A.  8.答案为：C.解析：由已知，得准线方程为x=－2，所以F的坐标为(2，0)．又A(－2，3)，所以直线AF的斜率为k==－.  9.答案为：C.解析：由得或即两交点坐标为(0，0)和(4p，8p)，则=4，得p=1(舍去负值)，故抛物线C的方程为x2=2y.  10.答案为：B；解析：将y=1代入y2=4x可得x=，即A.由题可知，直线AB经过焦点F(1,0)，所以直线AB的斜率k==－，故选B.  11.答案为：C；由抛物线的定义可得|AF|=|AH|，∵直线AF的斜率为，∴直线AF的倾斜角为30°，∵AH垂直于准线，∴∠FAH= 60°，故△AHF为等边三角形．设A，m＞0，由|AF|=|AH|，得－1=·，解得m=2，故等边△AHF的边长|AH|=4，∴△AHF的面积是×4×4sin 60°=4.故选C.  12.答案为：C.解析：因为=4，所以||=4||，所以=.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|=4，所以==，所以|QQ′|=3，根据抛物线定义可知|QQ′|=|QF|=3.  13.答案为：B；∵直线MF的斜率为，MN⊥l，∴∠NMF=60°，又|MF|=|MN|，且|NF|=4，∴△NMF是边长为4的等边三角形，∴M到直线NF的距离为2.故选B.  14.答案为：A；不妨设M(m，)(m＞0)，易知抛物线C的焦点F的坐标为，因为|MO|=|MF|=，所以解得m=，p=2，所以=，=，所以·=－2=－.故选A.  15.答案为：C；把点A代入抛物线的方程得2=2p×，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x，则B(－1,0)，设M，则=，=，由=λ，得解得λ=2或λ=1(舍去)，故选C.  16.答案为：C.解析：把点A代入抛物线的方程得2=2p×，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x，则B(－1，0)，设M，则=，=(－1－，－yM)，由=λ，得解得λ=2或λ=1(舍去)，故选C.  17.答案为：C；如图所示，不妨设点N在第二象限，连接EN，易知F(1,0)，因为∠MNF为直角，点E为线段MF的中点，所以|EM|=|EF|=|EN|，又E在抛物线C上，所以EN⊥l，E，所以N(－1，)，M(0，2)，所以|NF|=，|NM|=，所以△MNF的面积为，故选C.  18.答案为：D；∵直线l的方程为x－y－a=0，∴直线l的倾斜角为60°，∵直线l与抛物线x2=4y交于P，Q两点，过P，Q分别作l的垂线与y轴交于M，N两点，且|MN|=，∴|PQ|=sin 60°=8.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立方程，得得x2－4x＋4a=0，由Δ＞0得a＜3，∴x1＋x2=4，x1x2=4a，∴|PQ|=·=8，即48－16a=16，∴a=2，故选D.  19.C.                                                        20.答案为：B；解析：由抛物线y2=4x知焦点F的坐标为(1,0)，准线l的方程为x=－1，由抛物线定义可知|PA|=|PF|=4，所以点P的坐标为(3,2)，因此点A的坐标为(－1，2)，所以kAF==－，所以直线AF的倾斜角等于，故选B.   一         、填空题21.答案为：－2；解析：∵双曲线－y2=1的右焦点为(2,0)，∴抛物线方程为y2=8x，∵|AF|=3，∴xA＋2=3，得xA=1，代入抛物线方程可得yA=±2.∵点A在第一象限，∴A(1，2)，∴直线AF的斜率为=－2.  22.答案为：；解析：由于抛物线y2=2px的焦点坐标为，因此抛物线y2=x的焦点坐标为.  23.答案为：(1,0)；解析：由题知直线l的方程为x=1，则直线与抛物线的交点为(1，±2)(a＞0)．又直线被抛物线截得的线段长为4，所以4=4，即a=1.所以抛物线的焦点坐标为(1,0)．  24.答案为：1.5; 25.答案为：y=－1.25；解析：依题意可得线段OM的垂直平分线的方程为2x－4y＋5=0，把焦点坐标代入可求得p=，所以准线方程为y=－.  26.答案为：4；解析：设抛物线的焦点为F，准线为l：x=－1，弦AB的中点为M，则点M到准线l的距离d=≥，所以点M到准线l的距离的最小值为5，所以点M到y轴的最短距离为5－1=4.  27.答案为：；解析：如图，易知抛物线的焦点为F(1，0)，准线方程是x=－1，由抛物线的定义知，点P到直线x=－1的距离等于点P到F的距离．于是问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1，1)的距离与点P到F(1，0)的距离之和最小，连接AF交抛物线于点P，此时最小值为|AF|==.  28.答案为：0.8；29.答案为：4；解析：不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＞0，由·=－4，即x1x2＋y1y2=－4得yy＋y1y2=－4，得y1y2=－8.所以S△ABO=|x1y2－x2y1|=|y1－y2|≥4，当y1=2，y2=－2时取等号，故△ABO面积的最小值为4.  30.答案为：4；解析：法一：设直线AB的倾斜角为α，分别过A，B作准线l的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，则|AA′|=6，|BB′|=3，过点B作AA′的垂线BC，垂足为C，则|AC|=3，|BC|=6，∠BAC=α，所以sin α==，所以|AB|==9，解得p=4.法二：设直线AB的倾斜角为α，不妨设A在x轴上方，B在x轴下方，则|AF|=，|BF|=，则有=2×，解得cos α=，又|AF|==6，所以p=4.