人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线精品精练

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3.3.1 抛物线及其标准方程
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：抛物线定义辨析；求抛物线的轨迹；抛物线求焦点或方程；抛物线上的点到定点的距离与最值；抛物线的焦半径公式；抛物线的实际应用；抛物线方程求参数。
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳

一、 抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。{=点M到直线的距离} （一动三定）（注：定点F不在定直线上，否则动点的轨迹是过定点F垂直于直线的一条直线）（一焦一顶一轴一准无心，也叫无心圆锥曲线）；是焦点F到的距离，越大开口越大，反之越小。
二．抛物线的几何性质：


图形




参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
开口方向
右
左
上
下
标 准方 程




焦 点位 置
X正
X负
Y正
Y负
焦 点坐 标




准 线方 程




考点讲解

考点讲解
考点讲解
考点讲解
考点讲解
考点讲解
考点讲解
考点讲解
考点讲解

考点1：抛物线定义辨析
例1．在平面上，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，则动点的轨迹是（    ）
A．抛物线 B．直线
C．抛物线或直线 D．以上结论均不正确
【答案】C
【详解】由题意，一动点到一定点的距离与它到一定直线的距离之比为1，
可得该动点到定点和定直线距离相等，
当定点不在定直线上时，动点的轨迹是抛物线；
当定点在定直线上时，动点的轨迹是经过该定点且垂直于定直线的直线；
故选C．

【方法技巧】
根据题意，分定点不在定直线上和定点在定直线上，两种情况分类讨论，结合抛物线的定义，即可求解.

【变式训练】
1．抛物线W：的焦点为F.对于W上一点P，若P到直线的距离是P到点F距离的2倍，则点P的横坐标为（    ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】设出P的横坐标为，利用条件列出方程，去掉不合题意的解，求出.
【详解】由题意得：，准线方程为，设点P的横坐标为，，
由抛物线的定义可知：
则，解得：或（舍去），
从而点P的横坐标为1
故选：A
2．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为，若，则（    ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.
【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，
由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形，

解法1：因为轴，所以直线斜率，所以，
由解得，舍去，
所以.
解法2：在中，，则.
解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.
故选：D.
3．已知抛物线的焦点为F，准线为l，与x轴平行的直线与l和C分别交于A，B两点，且若，则（    ）
A．2 B． C． D．4
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义，结合图象求得.
【详解】由抛物线的定义可知，为等边三角形，
设准线l与x轴交于点H，则，
，所以.
故选：D


考点2：求抛物线的轨迹
例2．若点满足方程，则点P的轨迹是______．
【答案】抛物线
【详解】由得，
等式左边表示点和点的距离，等式的右边表示点到直线的距离.
整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等，
其轨迹为抛物线.
故答案为：抛物线

【方法技巧】
根据轨迹方程所代表的意义判断点的轨迹满足曲线的定义.


【变式训练】
1．已知点是拋物线的焦点，是上的一点，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义即可求解.
【详解】由抛物线的定义可知，，所以．
故选：C.
2．已知动圆M与直线相切，且与定圆C：外切，那么动圆圆心M的轨迹方程为_______.
【答案】
【分析】根据动圆与直线相切，且与定圆C：外切，可得动点到的距离与到直线的距离相等，由抛物线的定义知，点的轨迹是抛物线，由此易得轨迹方程．
【详解】解：方法一：由题意知，设，
则，
，
解得.
方法二：由题意知，动点M到的距离比到的距离多1，
则动点M到的距离与到的距离相等，
根据抛物线的定义，为准线，为焦点，
设抛物线为，，，
故.
故答案为：.
3．若抛物线的焦点是，准线方程为，则抛物线的标准方程是______．
【答案】
【分析】根据抛物线的知识求得正确答案.
【详解】由于抛物线的焦点是，准线方程为，
所以抛物线开口向右，，
所以抛物线的标准方程为.
故答案为：
4．已知抛物线上的两点到焦点的距离之和为5，线段的中点的横坐标是2，则＝______．
【答案】1
【分析】设，，中点坐标为，根据抛物线定义可得，再结合线段AB的中点的横坐标是2，可得，即可得答案.
【详解】解：设，，中点坐标为，
则，，
解得.
故答案为：1.
考点3：抛物线求焦点或准线
例3．已知抛物线上的点到该抛物线焦点的距离为2，则（    ）
A．1
B．2
C．4
D．6
【答案】C
【详解】由，可得其焦点，准线方程为，
因为点到该抛物线焦点的距离为2，所以点到抛物线准线的距离为，
则，解得，
故选：C.

【方法技巧】
根据抛物线的标准方程，得到准线方程与焦点坐标，根据抛物线的定义，可列方程，得到答案.
【变式训练】
1．与抛物线关于直线对称的抛物线的焦点坐标是______．
【答案】
【分析】由题意可知抛物线的焦点为，只需求出关于直线对称的点即可.
【详解】解：因为抛物线的焦点为，
设点关于直线对称的点为，
则有，解得，
所以点关于直线对称的点为.
故答案为：.
2．已知点为抛物线的焦点，经过点的直线交于两点，交轴于点，若，则点的纵坐标为___________.
【答案】
【分析】如图，设，又，过点作轴的垂线，垂足为，过点作轴的平行线交轴于点，交于点，根据抛物线的定义可得，由代入即可得解.
【详解】设，又，
由，得，所以，所以.
如图，过点作轴的垂线，垂足为，
过点作轴的平行线交轴于点，交于点.
由抛物线定义，可得，
所以，故，解得.

故答案为：
3．已知圆与抛物线的准线相切，则___________.
【答案】4
【分析】根据直线与圆相切圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【详解】因为圆的圆心为，半径，抛物线的准线为，
所以，解得.
故答案为：4
考点4：抛物线上的点到定点的距离与最值
例4．若点在抛物线上，为抛物线的焦点，则______．
【答案】5
【详解】由题意，知抛物线的准线方程为，点A到准线的距离为，
因为点在抛物线上，故的长度等于点A到准线的距离，
所以,
故答案为：5
【方法技巧】
确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求得答案.
【变式训练】
1．抛物线上任意一点P到点的距离最小值为___________.
【答案】
【分析】设（），则，将代入化简可求出其最小值
【详解】设，则，
因为，
所以
，当时取得最小值4，
故答案为：4
2．已知点为抛物线上的一个动点，设点到抛物线的准线的距离为，点，则的最小值为______．
【答案】
【分析】分析可知，利用抛物线的定义结合三点共线可求得的最小值.
【详解】抛物线的焦点，准线方程为．
过点作抛物线准线的垂线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
则，
当且仅当为线段与抛物线的交点时，等号成立，
因此，的最小值为.

故答案为：.
3．设是抛物线上的一个动点为抛物线的焦点，记点到点的距离与点到直线的距离之和的最小值为若记的最小值为则____．
【答案】##
【分析】当P、A、F三点共线时，点P到点A的距离与到直线的距离之和最小，由两点间的距离公式可得M，当P、B、F三点共线时，最小，由点到直线距离公式可得.
【详解】如图所示，

过点作垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得，
所以点到直线的距离为，
所以
当且仅当三点共线时，取到最小值，即．

如图所示，
过点作直线垂直于直线，垂足为点，
由抛物线的定义可得
点到直线的距离为，
所以，
当且仅当三点共线时，等号成立，即，
因此．
故答案为：
4．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，若，则的最小值为______，此时点的坐标为______．
【答案】     ##3.5    
【分析】先判断出点在抛物线内部，再根据抛物线的定义以及点到直线的距离最短即可解出．
【详解】易知点在抛物线内部，设抛物线的准线为，则的方程为，过点作于点，则，当，即，，三点共线时，最小，最小值为，此时点的纵坐标为2，代入，得，所以此时点的坐标为．

故答案为：；．
考点5：抛物线的焦半径公式
例5．已知抛物线C：的焦点为F，是C上一点，，则______．
【答案】2
【详解】由抛物线C：可得p＝1，，准线方程．
因为是C上一点，，，所以，解得．
故答案为：2.
【方法技巧】
由抛物线方程求得其准线方程，根据抛物线的定义列出关于的方程求解．
【变式训练】
1．若是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边、为终边的角，则______．

【答案】
【分析】首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，设的坐标，利用锐角三角函数求出，再根据抛物线的定义计算可得.
【详解】解：由抛物线的方程，可得准线方程为，焦点坐标为，
设的坐标，且，
又，
，整理得，解得或（舍去），
所以由抛物线的定义可得．
故答案为：
2．抛物线上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______．
【答案】8
【分析】根据焦半径公式求.
【详解】由条件可知，，
所以，解得：，所以焦点到准线的距离为.
故答案为：
3．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点到焦点F的距离等于5，则抛物线方程为______，m＝______．
【答案】         
【分析】由题意可知抛物线的开口向左, 设抛物线的方程为,由点到焦点F的距离等于5，结合抛物线定义可求得，即可求得抛物线的方程；再将代入抛物线方程，即可求得的值.
【详解】解：由题意可知抛物线的开口向左，
所以设抛物线的方程为，则，
又因为点到焦点F的距离等于5，
所以，解得，
所以抛物线的方程为，
将代入抛物线方程得：，解得.
故答案为：；.
考点6：抛物线的实际应用
例6．一抛物线状的拱桥，当桥顶离水面1时，水面宽4，若水面下降3，则水面宽为（    ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【详解】根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系.

设桥顶离水面1时，水面与抛物线交于、两点，易知，
当水面下降3时，水面与抛物线交于、两点，设且.
设抛物线方程为，将代入计算，易得，故抛物线方程为，
代入，得，解得，故水面下降3，则水面宽为8.
故选：C.
【方法技巧】
根据题意，建立适当的平面直角坐标系，求出抛物线的方程，代点计算即可求解.
【变式训练】
1．苏州市“东方之门”是由两栋超高层建筑组成的双塔连体建筑（如图1所示），“门”的内侧曲线呈抛物线形．图2是“东方之门”的示意图，已知，，点到直线的距离为，则此抛物线顶端到的距离为（    ）


A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立直角坐标系，待定系数法求抛物线方程，即可求解到的距离.
【详解】以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为，由题意设，，，则，解得，所以此抛物线顶端到的距离为．
故选:B．

2．北京时间2022年4月16日9时56分，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，全国人民都为我国的科技水平感到自豪某学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验．如图，航天器按顺时针方向运行的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以y轴为对称轴，为顶点的抛物线的一部分．已知观测点A的坐标，当航天器与点A距离为4时，向航天器发出变轨指令，则航天器降落点B与观测点A之间的距离为（    ）

A．3 B．2.5 C．2 D．1
【答案】A
【分析】设点所在的抛物线方程为，代入点，求方程为，令，解得，根据，即可求解.
【详解】由题意，设点所在的抛物线方程为，
又由抛物线与椭圆的交点，代入抛物线方程得，解得，
即抛物线的方程为，
令，可得，解得或（舍去），
所以，即航天器降落点B与观测点A之间的距离为.
故选：A.

考点7：抛物线方程求参数
例7．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】抛物线：的焦点，准线，
由点到的距离为得：，即，
由点在抛物线上得：，因此有，整理得，而，解得，
所以.
故选：C

【方法技巧】
利用抛物线定义结合已知条件列出方程组，求解方程组作答.
【变式训练】
1．已知抛物线的焦点为，且与圆上的点之间距离的最小值为4，则的值为（    ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】由抛物线方程得焦点坐标，由几何关系求解
【详解】由题意知，点与圆上的点之间的最小距离为，所以．
故选：D
2．顶点在原点，焦点在轴上的抛物线上一点到焦点的距离等于，则______．
【答案】
【分析】设抛物线方程，可知；由抛物线焦半径公式可构造方程求得，将代入抛物线方程即可求得的值.
【详解】设抛物线方程为：，
是抛物线上一点，；
由抛物线焦半径公式知：，解得：，抛物线方程为：，
，解得：.
故答案为：.
知识小结

二、 抛物线的定义：
平面内与一个定点F和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。{=点M到直线的距离} （一动三定）（注：定点F不在定直线上，否则动点的轨迹是过定点F垂直于直线的一条直线）（一焦一顶一轴一准无心，也叫无心圆锥曲线）；是焦点F到的距离，越大开口越大，反之越小。
二．抛物线的几何性质：


图形




参数p几何意义
参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔.
开口方向
右
左
上
下
标 准方 程




焦 点位 置
X正
X负
Y正
Y负
焦 点坐 标




准 线方 程




巩固提升


一、单选题
1．抛物线的准线方程是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先将抛物线方程化成标准式，即可解出．
【详解】可化为，所以抛物线的准线方程为．
故选：B．
2．抛物线的焦点坐标为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据抛物线的标准方程以及焦点坐标求解即可
【详解】由题意，抛物线的焦点坐标为
故选：C
3．抛物线的焦点到直线的距离是（    ）
A． B．2 C．3 D．1
【答案】D
【分析】根据抛物线标准方程求出其焦点坐标，再利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】由抛物线得焦点，
点到直线的距离.
故选：D.
4．圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及y轴都相切的圆的方程是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】先利用圆心在抛物线上设出圆心和半径，再利用直线和圆相切求出圆心坐标和半径即可.
【详解】由题意设所求圆的圆心为，半径为，其中，
因为抛物线的准线方程为，
且该圆与抛物线的准线及y轴都相切，
所以，解得，
所以该圆的方程为，
即.
故选：D.
5．已知是双曲线的左右焦点，直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，则（    ）
A． B． C．4 D．
【答案】C
【分析】根据直线的斜率列方程，求得，从而求得.
【详解】已知双曲线的左焦点，双曲线的渐近线方程为，
抛物线的焦点.
因为直线过与抛物线的焦点且与双曲线的一条渐近线平行，
所以，又，解得：，所以.
故选：C
6．已知点在抛物线上，若以点为圆心半径为5的圆与抛物线的准线相切，且与轴相交的弦长为6，则（    ）
A．2 B．8 C．2或8 D．6
【答案】C
【分析】设，依题意可得，消元解得即可.
【详解】解：设，因为点在抛物线上，所以，又抛物线的准线为，
以点为圆心的圆与的准线相切，所以，
圆与轴相交的弦长为6，所以，
所以，解得或.
故选：C.
7．已知抛物线的焦点为F，点A，B是抛物线C上不同两点，且A，B中点的横坐标为2，则（    ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】C
【分析】根据抛物线的定义结合已知可求得结果.
【详解】设，由A，B中点的横坐标为2，可得，
所以．
故选：C．
8．已知是抛物线上一点，为抛物线的焦点，点，若，则的面积为（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用已知条件求出点坐标，代入面积公式求解即可．
【详解】已知点，设点，，又，故，故，，
故选：C

二、多选题
9．下列圆锥曲线中，焦点在x轴上的是（       ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】根据圆锥曲线的标准方程得其焦点的位置判断可得选项.
【详解】解：对于A，表示焦点在x轴上的椭圆，故A正确；
对于B，表示焦点在y轴上的双曲线，故B不正确；
对于C，表示焦点在x轴上的抛物线，故C正确；
对于D，表示焦点在y轴上的抛物线，故D不正确；
故选：AC．
10．已知曲线，则下列说法正确的是（    ）．
A．若，，则曲线是椭圆
B．若，则曲线是焦点在轴上的椭圆
C．若，则曲线是焦点在轴上的双曲线
D．曲线可以是抛物线
【答案】BC
【解析】多项选择题要对选项一一验证：
对于A．B．椭圆根据定义及标准方程验证；
对于C．根据双曲线定义及标准方程验证；
对于D．根据抛物线标准方程验证．
【详解】对于A．若，且，则曲线是椭圆；若，则是圆．故A错误；
对于B．在时可化为，∵∴，所以曲线是焦点在轴上的椭圆．故B正确；
对于C．可化为，∵，∴，∴曲线是焦点在轴上的双曲线；
对于D. 曲线都不能化成抛物线的标准方程的形式，所以曲线不能是抛物线．
【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．

三、填空题
11．已知点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，则____________．
【答案】2
【分析】由抛物线的方程求出抛物线的焦点和准线，然后利用抛物线的定义结合已知条件列方程求解即可.
【详解】抛物线的焦点为，准线为，
因为点为抛物线上的点，且点P到抛物线C的焦点F的距离为3，
所以，得，
故答案为：2
12．已知抛物线：，的焦点为，点在上，且，则点的横坐标是______．
【答案】5
【分析】利用焦半径公式即可求解.
【详解】抛物线：的焦点，准线方程为，设点的横坐标为，则有，所以．
故答案为：5
13．从抛物线在第一象限内的一点引抛物线准线的垂线，垂足为，且，设抛物线的焦点为，则直线的斜率为___________.
【答案】##
【分析】根据抛物线的性质，可得抛物线上的点到焦点的距离，结合题意，作图，构造直角三角形，利用勾股定理以及锐角三角函数，可得所求直线倾斜角的正切值，可得答案.
【详解】由题意作图如下：


则，，
在中，，则，
即，即直线的斜率为，
故答案为：.
14．若抛物线的顶点在原点，准线与其平行线的距离为，则抛物线的方程为______．
【答案】或
【分析】首先求出抛物线的准线方程，即可求出抛物线方程.
【详解】解：因为抛物线的准线与其平行线的距离为，所以抛物线的准线为或，
当准线为时抛物线方程为，
当准线为时抛物线方程为.
故答案为：或

四、解答题
15．已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在y轴上，且C经过点，过F且斜率为的直线l与C交于M，N两点，．
(1)求C和的方程；
(2)求过点M，N且与C的准线相切的圆的方程．
【答案】(1)；
(2)或

【分析】（1）设的方程为，代入点的坐标得的值，得到的方程，设的方程为，联立方程组，求得，结合，求得的值，即可得到直线的方程；
（2）由（1）得线段中点坐标，得到线段的垂直平分线方程，设所求圆的圆心坐标为，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可求解圆的方程.
（1）解：设的方程为，代入点的坐标得，所以的方程为．
所以焦点的坐标为，
设的方程为且，
联立方程组，整理得，
所以，
所以．
由题设知，解得或（舍去），所以的方程为．
（2）解：由（1）得线段中点坐标为，
所以线段的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，则，
解得，或，即圆心坐标为或，
又由抛物线的准线方程为，
可得点或到准线的距离分别为或，
即圆的半径分别为或，
所以圆的方程为或．
16．已知抛物线（）的焦点F与双曲线的一个焦点重合.
(1)求抛物线C的方程；
(2)过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，求线段的中点M到准线的距离.
【答案】(1)
(2)3【分析】(1)先由双曲线的焦点，可得，解出即可求解;
(2)根据抛物线的定义可得，从而可得点M的横坐标，再根据抛物线的定义可求解.
(1)∵双曲线的焦点坐标为，
又抛物线（）的焦点，
∴，即.
∴抛物线C的方程为.
(2)设，，由抛物线定义，
知，
∴，于是线段的中点M的横坐标是1，
又准线方程是，
∴点M到准线的距离等于.