高中数学2.1 直线的倾斜角与斜率精品综合训练题

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2.1.1 倾斜角与斜率
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：直线的倾斜角；直线的斜率；已知两点求斜率；已知斜率求参数；
斜率公式的应用；直线与线段相交关系求斜率的范围
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳
（1）直线的倾斜角： 当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角（angle of inclination） ．

(2)直线的倾斜角范围：
注：确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：
直线上的一个定点以及它的倾斜角，
二者缺一不可．
(3) 斜率：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率与倾斜角的关系：
(4) 两点的斜率公式：，则
注：（1）每条直线都有倾斜角，但不是每条直线都有斜率；
考点讲解
（2）特别地，倾斜角为的直线斜率为；倾斜角为的直线斜率不存在。



考点1：直线的倾斜角
例1（多选）．下列四个命题中，错误的有（       ）
A．若直线的倾斜角为，则
B．直线的倾斜角的取值范围为
C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为
D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
【答案】ACD
【分析】根据倾斜角与斜率的定义判断即可.
【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，
当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；
对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；
故选：ACD
【方法技巧】
1.。理解倾斜角的定义：当直线 l 与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α 叫做直线 l 的倾斜角。
2.根据定义座谈
【变式训练】
【变式1】．直线的倾斜角为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由倾斜角的定义直接求解即可.
【详解】因为直线的倾斜角正切值为1，所以倾斜角为.
故选：A.
【变式2】．直线l：的倾斜角为，则的值为（       ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】由题知，然后利用两角差的正切公式即得.
【详解】由题可知，
所以.
故选：D.
考点2：直线的斜率
例2．如图，已知直线，，的斜率分别为，，，则（       ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】由题图知直线的倾斜角为钝角，∴．
又直线，的倾斜角均为锐角，且直线的倾斜角较大，
∴，
∴．
故选：D
【方法技巧】
1.一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.
2.根据倾斜角的大小结合斜率与倾斜角的关系判断即可
【变式训练】
【变式1】．已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率是（       ）
A． B．－1 C． D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系，结合正切的二倍角公式求解即可.
【详解】设直线的倾斜角为．因为直线的斜率为，即，
所以直线的斜率．
故选：C
【变式2】．已知直线的方程为，则直线的倾斜角范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系即可求解.
【详解】由直线的方程为，
所以，
即直线的斜率，由.
所以 ，又直线的倾斜角的取值范围为，
由正切函数的性质可得：直线的倾斜角为.
故选：B
【变式3】（多选）．已知直线，则下述正确的是（       ）
A．直线的斜率可以等于 B．直线的斜率有可能不存在
C．直线可能过点 D．直线的横、纵截距可能相等
【答案】BD
【分析】根据斜率的定义和截距的定义即可求得答案.
【详解】解：因为直线，
若，则直线的斜率不存在，故B正确；
若，则直线的斜率存在，且斜率，不可能为，故A错误；
将点代入直线方程得，故C错误；
令，则直线方程为，横纵截距均为，故D正确．
故选：BD
考点3：已知两点求斜率
例3．已知点，则直线的倾斜角是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为点，所以，
设直线的倾斜角为，则，
所以.
故选：A.
【方法技巧】
1.两点的斜率公式：，则
2.求出直线的斜率，根据倾斜角的范围可得答案.

【变式训练】
【变式1】．（多选）若经过和的直线的倾斜角为钝角，则实数a的值可能为（       ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
【分析】由两点的斜率公式求得，由此得，求解即可.
【详解】由题意得，即，所以，
故选：BCD．
【变式2】．直线经过点，，，则直线倾斜角的取值范围是_____.
【答案】
【分析】根据两点间斜率公式可得斜率，再结合参数范围可得斜率取值范围，进而可得倾斜角范围.
【详解】直线经过点，，
，
，
，
设直线的倾斜角为，则，
得，
故答案为：.
【变式3】．已知直线过两点且倾斜角为，则的值为_____.
【答案】
【分析】由两点求得得斜率与倾斜角的正切值相等可求得m.
【详解】因直线的倾斜角为，则其斜率，
又由，，
则的斜率，
则有．
故答案为：.
考点4：已知斜率求参数
例3．已知点A的坐标为，在坐标轴上有一点B，若，则点B的坐标为________．
【答案】或
【分析】设或，根据斜率公式可得或，再根据解出的值即得点B的坐标.
【详解】解：设或，
∴或，
∴或，
∴或，
∴点B的坐标为或．
故答案为：或．
【方法技巧】
1.由两点间的斜率公式及直线斜率的定义即可求解.
2.根据经过两点直线斜率计算公式计算即可．
【变式训练】
【变式1】．若点、、在同一直线上，则（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用结合斜率公式可求得实数的值.
【详解】因为、、在同一直线上，则，即，解得.
故选：A.
【变式2】．斜率为3的直线l过点，，则______．
【答案】0
【详解】斜率为3的直线l过点，，
则﹒
故答案为：0．
【变式2】．经过两点的直线的倾斜角为，则___________.
【答案】2
【详解】解：因为过两点的直线的倾斜角为，
所以，解得，
故答案为：2.
考点5：直线与线段相交关系求斜率的范围
例5．已知，，若直线与线段AB没有公共点，则实数a的取值范围是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】画出图象，对进行分类讨论，结合图象求得的取值范围.
【详解】直线过点，
画出图象如下图所示，
，，
由于直线与线段AB没有公共点，
当时，直线与线段有公共点，不符合题意，
当时，直线的斜率为，
根据图象可知的取值范围是，
所以的取值范围是.
故选：A


【方法技巧】
1.画出图像，找出临界值。
2.结合图像，分类讨论，得到结果。
【变式训练】
【变式1】．已知两点，，直线l过点且与线段AB有交点，则直线l的斜率的取值范围为（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，数形结合分析临界条件求解即可.
【详解】如图所示，直线PA的斜率为，直线PB的斜率为．由图可知，当直线l与线段AB有交点时，直线l的斜率．

故选：A．
【变式2】．已知直线l：在x轴上的截距的取值范围是（，3），则其斜率的取值范围是（       ）
A． B．或
C．或 D．或
【答案】D
【分析】先求出含参数的直线所过定点坐标，然后求出直线两端点的斜率，
画出示意图，写出范围即可.
【详解】已知直线l：(2+a)x+(a−1)y−3a=0，所以(x+y-3)a+2x-y=0
，所以直线过点，
由题知，在轴上的截距取值范围是，
所以直线端点的斜率分别为：，如图：
或.
故选：D.

【变式3】．在平面直角坐标系中有两点，，函数的图象与线段延长线相交（交点不包括，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【分析】由题意可得函数过定点，找出两临界点即可得出答案.
【详解】函数过定点.可以旋转（调整斜率，
可知临界点是与直线平行，此时斜率为：；
另一个临界点是两点所在直线的斜率：.
所以实数的取值范围是.


故答案为：.

知识小结

1. 直线的倾斜角范围：
2.斜率：一条直线的倾斜角a的正切值叫做这条直线的斜率.
斜率与倾斜角的关系：
3.两点的斜率公式：，则
4.斜率k与倾斜角 a 之间的关系：

巩固提升

一、单选题
1．直线的倾斜角为（          ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【分析】化成斜截式方程得斜率为，进而根据斜率与倾斜角的关系求解即可.
【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：，
所以直线的斜率为，
所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为.
故选：C
2．下列命题中正确的是（       ）．
A．若直线的倾斜角为，则直线的斜率为
B．若直线的斜率为，则此直线的倾斜角为
C．平行于x轴的直线的倾斜角为
D．若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为
【答案】D
【分析】根据倾斜角和斜率的概念进行分析可得答案.
【详解】对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；
对于B，当时，斜率为，倾斜角为，故B不正确；
对于C，平行于x轴的直线的倾斜角为，故C不正确；
对于D，若直线的斜率不存在，则此直线的倾斜角为是正确的.
故选：D
3．已知直线斜率为，且，那么倾斜角的取值范围是（       ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由，得到，结合正切函数的性质，即可求解．
【详解】由题意，直线的倾斜角为，则，
因为，即，
结合正切函数的性质，可得．
故选：B．
4．直线的倾斜角是（       ）
A．0 B． C． D．
【答案】B
【分析】由倾斜角的概念求解
【详解】，即，直线的倾斜角为．
故选：B
5．直线的倾斜角的取值范围为（       ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可
【详解】设直线的倾斜角为，可得，
所以的取值范围为
故选：D
6．若图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则（　　）

A．k1＜k2＜k3 B．k3＜k1＜k2
C．k3＜k2＜k1 D．k1＜k3＜k2
【答案】D
【分析】利用直线的斜率结合直线在图象中的位置关系进行判断.
【详解】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1＜0.
直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k3＜k2，
因此k1＜k3＜k2.
故选:D.
7．设点､，若直线l过点且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（       ）
A．或 B．或
C． D．
【答案】A
【分析】根据斜率的公式，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】如图所示：

，要想直线l过点且与线段AB相交，
则或，
故选：A
8．设点，，若直线ax+y+2=0与线段AB有交点，则a的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直线经过的定点，作出图象，利用图象求得斜率满足的条件，由此解出答案．
【详解】∵直线过定点，且，，

由图可知直线与线段有交点时，斜率满足或，
解得，
故选：D
二、多选题
9．(多选)如果直线l过原点(0， 0)且不经过第三象限，那么l的倾斜角可能是（       ）
A．0° B．120°
C．90° D．60°
【答案】ABC
【分析】根据已知条件确定正确选项.
【详解】依题意，直线过原点，且不经过第三象限，则或，
所以ABC选项符合，D选项不符合.
故选：ABC
10．直线l过点且斜率为k，若与连接两点，的线段有公共点，则k的取值可以为（       ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】AD
【分析】要使直线l与线段AB有公共点，则需或，根据两点的斜率公式计算可得选项.
【详解】解：要使直线l与线段AB有公共点，则需或，
而，，所以或，
所以k的取值可以为或4，
故选：AD
三、填空题
11．若三点共线，则的值为______________.
【答案】
【分析】根据三点共线斜率相等计算即可
【详解】由题意，若三点共线则，即，故
故答案为：
12．常值函数所表示直线的斜率为______．
【答案】0
【分析】平行于x轴的直线，倾斜角为0°，根据斜率的定义即可求其斜率．
【详解】表示的直线平行于x轴，倾斜角为0°，故斜率为tan0°=0．
故答案为：0．
13．在线段上运动，已知，则的取值范围是_______.
【答案】
【分析】表示线段上的点与连线的斜率，画出图形，结合图形求解即可
【详解】表示线段上的点与连线的斜率，
因为
所以由图可知的取值范围是．
故答案为：

14．下列命题中，错误的是______．（填序号）
①若直线的倾斜角为，则；
②若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大；
③若直线的倾斜角为，则直线的斜率为．
【答案】①②③
【分析】根据直线的倾斜角和斜率的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】对于①中，根据直线倾斜角的概念，可得直线的倾斜角为，则，所以①错误；
对于②中，当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，且；
当倾斜角，直线的倾斜角越大，则直线的斜率越大，但，所以②错误；
对于③中，根据直线斜率的概念，可得当且时，直线的斜率为，所以③错误.
故答案为：①②③.
四、解答题
15．（1）设坐标平面内三点､､，若直线AC的斜率是直线BC的斜率的3倍，求实数m的值；
（2）已知直线的斜率为，直线的倾斜角是直线倾斜角的2倍，求直线的斜率.
【答案】（1）1或2；（2）.
【分析】（1）由题设，应用斜率的两点式列方程求m值，注意验证结果.
（2）根据斜率与倾斜角关系，应用倍角正切公式求直线的斜率.
【详解】（1）由，即，解得或，
经检验均符合题意，故m的值是1或2；
（2）设直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为.
由已知，，则直线的斜率为.
16．已知坐标平面内三点，，．
(1)求直线AB，BC，AC的斜率和倾斜角；
(2)若D为的AB边上一动点，求直线CD的倾斜角的取值范围．
【答案】(1)，，，直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为．
(2)

【分析】（1）根据两点间的斜率公式计算斜率，再根据斜率与倾斜角的关系求解即可；
（2）数形结合，根据斜率与倾斜角变化的规律分析即可.
（1）由斜率公式，得，，，因为斜率等于倾斜角的正切值，且倾斜角的范围是 ，所以直线AB的倾斜角为0，直线BC的倾斜角为，直线AC的倾斜角为．
（2）如图，当直线CD绕点C由CA逆时针转到CB时，直线CD与线段AB恒有交点，即D在线段AB上，此时由增大到，所以的取值范围为，即直线CD的倾斜角的取值范围为．