高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.2 双曲线精品同步达标检测题

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3.2.1 双曲线及其标准方程
备注：资料包含：1. 基础知识归纳；
2. 考点分析及解题方法归纳：考点包含：求椭圆焦点,焦距；求共焦点的椭圆方程；椭圆中x,y的取值范围；椭圆的对称性；求椭圆的短轴，长袖；求椭圆的离心率；椭圆的实际应用
3. 课堂知识小结
4. 考点巩固提升
知识归纳

一、定义：平面内与两个定点，的距离之差的绝对值等于常数（小于）的点的轨迹称为双曲线．即：。
这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．
二、双曲线的几何性质：
焦点的位置
焦点在轴上
焦点在轴上
图形


标准方程


考点讲解



考点1：双曲线定义辨析
例1．双曲线上一点与它的一个焦点的距离等于1，那么点与另一个焦点的距离等于___________.
【答案】17
【详解】由双曲线的方程可得实半轴长为，虚半轴长为，故.
因为点与一个焦点的距离等于1，而，
故点与该焦点同在轴的上方或下方，
故点与另一个焦点的距离为，
故答案为：.
【方法技巧】
根据双曲线的定义可求点与另一个焦点的距离.
【变式训练】
【变式1】．已知平面内两定点，，下列条件中满足动点的轨迹为双曲线的是（       ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由双曲线的定义即可求解.
【详解】解：由题意，因为，
所以由双曲线的定义知，当时，动点的轨迹为双曲线，
故选：C.
【变式2】．已知双曲线的两个焦点分别为、，为双曲线上一点，且，则的面积为_________.
【答案】9
【分析】利用双曲线定义结合勾股定理求出，再计算面积作答.
【详解】依题意，双曲线的焦点、，，
因，则有，
即有，解得，
所以的面积.
故答案为：9
【变式3】．已知双曲线的左，右焦点分别为，，在双曲线的右支存在一点，使，求点的坐标．
【详解】解：由双曲线得，右准线方程为，
双曲线的右支存在一点，
由，，解得，
设d为点到准线的距离，则由双曲线的定义可得：，
所以，，又，解得，
代入得，
所以．

考点2：利用双曲线定义求方程
例2．数学家华罗曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点A（x，y）与点B（a，b）之间的距离的几何问题，结合上述观点，可得方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由可得
4
表示点（x，1）到定点（-3，0）和（3，0）的距离之差等于4，
由双曲线的定义可知，点（x，1）在以（-3，0）和（3，0）为焦点，
的双曲线的右支上，所以，所以双曲线方程为，
令可得，因为，所以，
即方程的解是，
故选：C.
【方法技巧】
根据题意给的概念可知所求方程表示点（x,1）到定点（-3,0）和（3,0）的距离之差等于4，结合双曲线的定义求出双曲线方程，令，求出x即可.
【变式训练】
【变式1】．已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上一点与，的距离差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为（       ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意，，则，结合条件可知，双曲线的标准方程为.
故选：C.
【变式2】．已知平面内两定点，，动点M满足，则点M的轨迹方程是___________.
【答案】
【详解】由题意知：，，故M的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线，
设双曲线方程为，由可得，故点M的轨迹方程是.
故答案为：.
【变式3】．若动圆与两定圆及都外切，则动圆圆心的轨迹方程是___________.
【答案】
【详解】设圆为可得圆心，半径，
设圆为可得圆心，半径，且，
设动圆圆心为，半径为，因为动圆同时与圆外切和圆外切，
所以，，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点的双曲线的左支，
所以，，，
所以动圆的圆心的轨迹方程为：.
故答案为：.
考点3：利用双曲线的定义求到焦点的距离及最值
例3．已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（       ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】B
【详解】过作垂直于双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为，则，
连接与双曲线的另一个焦点，如下所示：


由双曲线的定义可知，，
又双曲线方程为，故，
又点坐标为，双曲线的渐近线为，
故点到渐近线的距离为，
故.
故选：B.
【方法技巧】
根据双曲线的定义，结合点到直线的距离最短，求解即可.
【变式训练】
【变式1】．双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于6，那么点P到另一个焦点的距离为（       ）
A．2 B．10 C．14 D．2或10
【答案】D
【分析】根据双曲线的定义即可求出答案.
【详解】因为双曲线，
所以，则，
因为点P到它的一个焦点的距离等于6，
设点P到另一个焦点的距离为，
所以，解得或
故选：D.
【变式2】．已知双曲线是其左右焦点.圆，点P为双曲线C右支上的动点，点Q为圆E上的动点，则的最小值是（       ）
A． B． C．7 D．8
【答案】A
【分析】利用双曲线定义，将的最小值问题转化为的最小值问题，然后结合图形可解.
【详解】
由题设知，，，，圆的半径
由点为双曲线右支上的动点知
，∴
∴.
故选：A
【变式3】．已知，分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，则的最小值为（       ）
A．19 B．25 C．37 D．85
【答案】B
【分析】设，可表示，利用基本不等式计算即可.
【详解】由题意，双曲线焦点坐标为，
设，且，则，


当且仅当即时等号成立，
所以最小值为25，
故选：B.
考点4：求参数范围
例4．若方程表示双曲线，则m的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为方程表示双曲线，
所以，解得，
故选：A
【方法技巧】
根据双曲线的定义可知与同号，从而可求出m的取值范围
【变式训练】
【变式1】．“kn>0，则C是椭圆
B．若m=n>0，则C是圆
C．若mn0，则C是两条直线
【答案】ABCD
【分析】结合椭圆、圆、双曲线、直线的知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】A选项，当时，，
，方程表示焦点在轴上的椭圆，A选项正确.
B选项，当时，，表示圆，B选项正确.
C选项，当时，，表示双曲线，C选项正确.
D选项，当时，，表示两条直线，D选项正确.
故选：ABCD
10．若为任意实数，则方程表示的曲线可能是（       ）
A．圆 B．直线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】ABCD
【分析】对分类讨论，分别求出所对应的曲线方程，即可判断；
【详解】解：当时，由，得，方程表示圆，故A正确
当时，由，得，方程表示双曲线，故D正确；
当时，由，得，方程表示焦点在y轴上的椭圆，故C正确；
当时，得表示垂直轴的直线，故B正确；
故选：ABCD
三、填空题
11．经过两点，的双曲线的标准方程为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，设出双曲线方程，再利用待定系数法求解作答.
【详解】设双曲线方程为，依题意有，解得，
所以所求双曲线的标准方程为：.
故答案为：
12．已知焦点､，双曲线上的一点P到､的距离差的绝对值等于6，双曲线的标准方程为___________.
【答案】
【分析】根据双曲线的定义，结合焦点坐标，即可求得，从而解得其标准方程.
【详解】因为双曲线的焦点为､，故可设其方程为，且，
根据双曲线的定义，由题可得：，即，故，
则所求所曲线方程为：.
故答案为：.
13．不等式的解集为______．
【答案】
【分析】根据,可看作是上的点到双曲线的焦点和的距离之差的绝对值小于4,进而根据双曲线的特征即可判断出点的位置,即可求解.
【详解】原不等式可化为，即平面上一点到点和距离之差的绝对值小于4的解．双曲线上的点到点和的距离之差的绝对值为4，且双曲线与直线的交点为和，所以原不等式的解集为．
故答案为:
14．在平面直角坐标系中，已知圆：，点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，设点的轨迹为曲线，则曲线的方程为________.
【答案】.
【分析】根据圆的性质，结合线段垂直平分线的性质、双曲线的定义进行求解即可.
【详解】因为在线段的垂直平分线上，所以，所以，
由双曲线的定义知点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线，则，，得，所以曲线的方程为，
故答案为：
四、解答题
15．已知1，当k为何值时：
(1)方程表示双曲线；
(2)表示焦点在x轴上的双曲线；
(3)表示焦点在y轴上的双曲线．
【分析】利用双曲线标准方程中的分母的正负，即可得出结论．
（1）∵1，即，方程表示双曲线，
∴(k－1)(|k|－3)＜0，
可得k＜－3或1＜k＜3；
（2）∵1，即，焦点在x轴上的双曲线，
则，
∴1＜k＜3；
（3）∵1，即，焦点在y轴上的双曲线，
则，
∴k＜－3．
16．（1）求以（-4，0），（4，0）为焦点，且过点的椭圆的标准方程.
（2）已知双曲线焦点在y轴上，焦距为10，双曲线的渐近线方程为，求双曲线的方程．
【详解】（1）由题意可设所求椭圆的标准方程为.
又椭圆过点，将x=3，y=代入方程得，
解得λ=11或(舍去).
故所求椭圆的标准方程为.
（2）由题意，设双曲线的标准方程为，设焦距为2c，
∴，解得，
∴该双曲线的方程为．