初中数学湘教版九年级上册2.1 一元二次方程获奖教学设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册2.1 一元二次方程获奖教学设计，共6页。教案主要包含了师生活动，归纳总结，教师追问1，教师追问2，教师追问等内容，欢迎下载使用。

第2章　一元二次方程
2.1　一元二次方程
教学目标
1.通过实例，理解一元二次方程的概念.
2.会把一元二次方程化成一般形式，能写出一般形式的各项系数.
3.会分析实际问题中的数量关系并建立一元二次方程模型，体会建模思想.
教学重难点
重点：理解一元二次方程的概念.
难点：理解并灵活运用一元二次方程概念解决有关问题.
教学过程
导入新课
问题情境1 幼儿园活动教室矩形地面的长为8，宽为5，现准备在地面正中间铺设一块面积为18的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？

【师生活动】教师展示问题，学生独立思考，小组内进行交流，若学生存在困难，教师可通过出示填空形式，让学生进行解答.
设所求的宽度为,则中间地毯的宽表示为，长表示为,则方程列为，
整理得.
【变式】桌上有一张矩形纸片，长25，宽15，在它的四角各剪去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒，如果要制作的无盖方盒的底面积为300，那么纸片各角应剪去的正方形边长为多少厘米？

【师生活动】根据情境1，教师接着提出变式问题，提示只列算式.学生尝试独立解决，若发现存在问题，可让学生先小组内交流，最后找一位代表进行解答.
【解】设剪去的正方形边长为.
则无盖方盒的底面的长为，宽为.
根据题意，可列方程为，
整理得.
问题情境2　如图，一个长为10的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8.如果梯子的顶端下滑1，那么梯子的底端滑动多少米？

问题情境3　要组织一次排球邀请赛,参赛的每两队之间都要比赛一场,根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参加比赛?
【师生活动】教师同时出示问题情境2，3，引导学生思考、交流后,选出学生代表回答，教师出示答案，
探究新知

观察四个方程有什么共同特点？类比一元一次方程，有什么相同之处和不同之处？
【师生活动】学生先独立思考，然后小组内讨论、交流、汇报.引导学生得出方程的共同特点，并进行板书.
【归纳总结】(1)都是整式方程(方程两边的分母中不能含有未知数)；(2)只含一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.
【教师追问1】类比一元一次方程的定义，以及对“元”“次”的理解，能不能给以上方程下一个定义？
【师生活动】学生口答，师生共同归纳出一元二次方程的定义.教师引导学生认识二次项及其系数，一次项及其系数，常数项.
【归纳总结】一元二次方程的概念：如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式,这样的方程叫作一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.
【教师追问2】为什么要求二次项系数？和能不能是0？
【师生活动】学生独立思考并回答，教师进行强调.
新知应用
例1　判断下列方程，哪些是一元二次方程？

【师生活动】引导学生根据一元二次方程的定义进行判断，学生独立思考后，进行回答.
【解】(1)(2)(3)(4)(7)(8)是一元二次方程.
【教师追问】要判断一个方程是一元二次方程，那么它应该满足哪些条件？
【师生活动】根据例题先让学生自己独立思考总结，然后小组交流、汇报.引导学生总结出判断方程是一元二次方程的标准.
【归纳总结】首先看是不是整式方程；如果是整式方程，再进一步化简整理使方程等号右边为0，最后再观察其是否还具备“只含有一个未知数”“未知数的最高次数是2”这两个条件，若具备，则是一元二次方程，否则不是.
例2　为何值时，下列方程为一元二次方程？
；
【师生活动】学生先独立思考，然后同桌交流，教师组织进行展示，然后师生共同总结解决这一类问题的方法.
【解】(1)将方程转化为一般形式，得,
所以当，即时，原方程是一元二次方程.
(2)由，且知，当时，原方程是一元二次方程.
【归纳总结】用一元二次方程的定义求字母的值的方法：根据未知数的最高次数等于2，列出关于某个字母的方程，再排除使二次项系数等于0的字母的值.
例3　将方程化为一般形式，并分别指出它的二次项、一次项和常数项及它们的系数.
【师生活动】教师先引导学生理解确定二次项、一次项以及常数项首先要把方程化为一般式.学生独立思考，请学生代表回答.
【解】去括号，得
移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为，
其中二次项是,二次项系数是3；
一次项是-8,一次项系数是-8；
常数项是-10.
【教师追问】解决此类问题需要注意什么？
【师生活动】学生独立思考总结，并回答.
【归纳总结】
1.一元二次方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项等都是针对方程的一般形式而言的；
2.系数和项均包含前面的符号.
课堂练习
1.判断下列是否为一元二次方程？

2.方程, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？
3.将下列一元二次方程化成一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数、常数项分别是多少.
(1)
4.(只列方程)三个连续整数两两相乘，再求和，结果为242，这三个数分别是多少？
参考答案
1.解：(1)(5)是一元二次方程；(2)(3)(4)不是一元二次方程.
2.解：若是一元二次方程，则二次项系数不为零，
∴ ，解得.即当时，是一元二次方程.
若是一元一次方程，则二次项系数为零，一次项系数不为零，
∴ 且，解得.
即当时，是一元一次方程.
3.解：(1)化为一般形式为，
∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，-3，1.
(2)化为一般形式为，
∴ 二次项系数、一次项系数、常数项分别是-1，2，-4.
4.解：设第一个数为，则另外两个数分别为,，
依题意列方程得，.
课堂小结

布置作业
教材第28页练习，第28页习题2.1第1，2，3，4，5题
板书设计
2.1　一元二次方程
一、一元二次方程
1.只含一个未知数；
2.整理后右边为0，左边是二次多项式.
二、一元二次方程的一般形式
，其中是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项.
教学反思




































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