初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.2 正切获奖教学设计

这是一份初中数学湘教版九年级上册第4章 锐角三角函数4.2 正切获奖教学设计，共8页。教案主要包含了问题探究等内容，欢迎下载使用。
第4章　锐角三角函数
4.2　正切
教学目标
1.会利用相似直角三角形，探索并认识正切.
2.会求特殊角的正切值并熟记这些值.
3.会用计算器求锐角的正切值及已知正切值求对应的锐角.
教学重难点
重点：会利用相似直角三角形，探索并认识正切.
难点：能够根据直角三角形的边角关系，用正切进行简单的计算．
教学过程
导入新课
我们已经知道，在直角三角形中，当一个锐角的大小确定时，那么不管这个三角形的大小如何，这个锐角的对边(或邻边)与斜边的比值也就确定(是一个常数). 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
探究新知
探究一：
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，则成立吗？为什么？
　　

教师提出问题引导学生思考,学生分组交流讨论.
∵ ∠A＝∠D＝α，∠C＝∠F＝90°，
∴ Rt△ABC∽Rt△DEF,
∴
即BC·DF＝AC·EF，
∴
教师总结:在直角三角形中，锐角α的对边与邻边的比叫作角α的正切，记作tan α，即

.
探究二：
如何求tan 30°，tan60°的值呢？
教师提出问题，学生分组讨论.
如图，构造一个Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝30°，

于是BC＝AB，∠B＝60°.
从而AC2＝AB2-BC2＝(2BC)2-BC2＝3BC2.
由此得出AC＝BC.
因此tan 30°＝
tan 60°＝

探究三：
你会求tan 45°的值吗？
教师提出问题，学生分组交流讨论，得出结论tan 45°＝1.
教师总结
α
sin α
cos α
tan α
30°



45°


1
60°



探究四：
1.对于一般锐角α(30°，45°，60°除外)的正切值，我们也可用计算器来求.
例如求25°角的正切值，可以在计算器上依次按键，显示结果为0.466 3….
2.如果已知正切值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知tan α＝0.839 1，依次按键，显示结果为40.000…，表示角α约等于40°.
教师总结：
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角α，都有唯一确定的比值sin α(或cos α，tan α)与它对应，并且我们还知道，当锐角α变化时，它的比值sin α(cos α，tan α)也随之变化.因此我们把锐角α的正弦、余弦和正切统称为角α的锐角三角函数.
典型例题
例1　下图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

【问题探究】比较甲、乙两个自动扶梯哪一个陡，只需分别求出tan α，tan β的值进行比较大小即可，正切值越大，扶梯就越陡．
要求学生独立解答，代表展示.
【解】甲梯中，．
乙梯中，．
因为>，所以甲梯更陡．
【总结】tan A的值越大，梯子越陡．
拓展：(1)坡面与水平面的夹角α称为坡角，坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度(或坡比)，tan α＝，即坡度等于坡角的正切．
(2)坡度与坡面的关系：坡度越大，坡面越陡．
例2　求tan 45°+tan230°tan260°.
【解】tan 45°+tan230°tan260°
＝＝＝2.
课堂练习
1.在Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，AB＝13，则tan A＝(　　)
A. B. C. D.
2.在Rt△ABC中，∠A＝90°，如果把这个直角三角形的各边长都扩大为原来的3倍，那么所得的直角三角形中，∠B的正切值(　　)
A.扩大为原来的3倍 B.缩小为原来的
C.扩大为原来的6倍 D.大小不变
3.如图，将△ABC放在每个小正方形的边长都是1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A＝(　　)

A. B. C.2 D.
4.下列各式中一定成立的是( )
A.tan 75°﹥tan 48°﹥tan 15°
B. tan 75°﹤tan 48°﹤tan 15°
C. cos 75°﹥cos 48°﹥cos 15°
D. sin 75°﹤sin 48°