初中数学湘教版九年级上册2.1 一元二次方程精品课时练习

2.2.1.1用直接开平方法解一元二次方程

班级：___________姓名：___________得分：__________

（满分：100分，考试时间：40分钟）

一．选择题（共5小题，每题8分）

1．方程x2﹣9=0的解是（　　）

A．x=3   B．x=﹣3  C．x=±9  D．x1=3，x2=﹣3

2．一元二次方程（x﹣2018）2+2017=0的根的情况是（　　）

A．有两个相等的实数根   B．有两个不相等的实数根

C．只有一个实数根     D．无实数根

3．关于x的方程（x+1）2﹣m=0（其中m≥0）的解为（　　）

A．x=﹣1+m      B．x=﹣1+ 

C．x=﹣1±m      D．x=﹣1

4．规定运算：对于函数y=xn（n为正整数），规定y′=nxn﹣1．例如：对于函数y=x4，有y′=4x3．已知函数y=x3，满足y′=18的x的值为（　　）

A．x1=3，x2=﹣3        B．x1=x2=0 

C．x1=，x2=﹣     D．x1=3，x2=﹣3

5．我们知道，一元二次方程x2=﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1，若我们规定一个新数i，使其满足i2=﹣1（即x2=﹣1方程有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算法则仍然成立，于是有i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，从而对任意正整数n，我们可得到i4n+1=i4n•i=（i4）n•i，同理可得i4n+2=﹣1，i4n+3=﹣i，i4n=1，那么，i+i2+i3+i4+…+i2016+i2017的值为（　　）

A．0    B．1    C．﹣1    D．i

二．填空题（共5小题，每题8分）

6．若（x﹣1）2=4，则x=　   　．

7．方程3x2=12的解是　   　．

8．若一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根为　   　．

9．在实数范围内定义一种运算“﹡”，其规则为a﹡b=a2﹣b2，根据这个规则，方程（x+1）﹡3=0的解为　   　．

10．关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1（a，b，m均为常数，且a≠0），则a（2x+m﹣1）2+b=0的解是　   　．

三．解答题（共3小题，第11、12题各5分，第11题10分）

11．解方程：（x+1）2=4．

12．解方程：（x﹣5）2﹣9=0．

13．我们把形如x2=a（其中a是常数且a≥0）这样的方程叫做x的完全平方方程．

如x2=9，（3x﹣2）2=25，（）2=4…都是完全平方方程．

那么如何求解完全平方方程呢？

探究思路：

我们可以利用“乘方运算”把二次方程转化为一次方程进行求解．

如：解完全平方方程x2=9的思路是：由（+3）2=9，（﹣3）2=9可得x1=3，x2=﹣3．

解决问题：

（1）解方程：（3x﹣2）2=25．

解题思路：我们只要把 3x﹣2 看成一个整体就可以利用乘方运算进一步求解方程了．

解：根据乘方运算，得3x﹣2=5  或  3x﹣2=　   　．

分别解这两个一元一次方程，得x1=，x2=﹣1．

（2）解方程．

试题解析

一．选择题

1．D

【分析】先移项得到x2=9，然后利用直接开平方法解方程．

【解答】解：x2=9，

x=±3，

所以x1=3，x2=﹣3．

故选：D．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

2．D

【分析】先移项，然后利用直接开平方法解方程．

【解答】解：由原方程得到：（x﹣2018）2=﹣2017．

∵（x﹣2018）2≥0，

﹣2017＜0，

∴该方程无解．

故选：D．

【点评】考查了直接开平方法解一元二次方程．形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

3．D

【分析】先将方程变形为（x+1）2=m，再利用直接开平方法求解．

【解答】解：移项，得（x+1）2=m，

开方，得x+1=±，

解得x=﹣1±．

故选：D．

【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程．根据法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”来求解．

4．C

【分析】根据新定义得到3x2=18，然后利用直接开平方法解方程即可．

【解答】解：根据题意得3x2=18，

即x2=6，

所以x1=，x2=﹣．

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．也考查了阅读理解能力．

5．D

【分析】i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，从而可得4次一循环，一个循环内的和为0，计算即可．

【解答】解：由题意得，i1=i，i2=﹣1，i3=i2•i=（﹣1）•i=﹣i，i4=（i2）2=（﹣1）2=1，i5=i4•i=i，i6=i5•i=﹣1，

故可发现4次一循环，一个循环内的和为0，

∵=504…1，

∴i+i2+i3+i4+…+i2013+i2017=i，

故选：D．

【点评】本题考查了规律型：数字的变化类，实数的运算，解答本题的关键是计算出前面几个数的值，发现规律，求出一个循环内的和再计算，有一定难度．

二．填空题

6．【分析】把x﹣1看做整体直接开方后再计算即可求解．

【解答】解：x﹣1=±2

x﹣1=2或x﹣1=﹣2

x=3或x=﹣1．

【点评】主要考查直接开平方法解方程．要注意整体思想的运用．

（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．

法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．

（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．

（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．　

7．x1=﹣2，x2=2．

【分析】先把二次项系数化为1，再运用直接开平方法求解．

【解答】解：3x2=12，

系数化为1，得x2=4，

解得x1=﹣2，x2=2．

故答案为：x1=﹣2，x2=2．

【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣﹣直接开平方法．用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b同号且a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．　

8．±2

【分析】根据一元二次方程ax2=b的解互为相反数，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出m的值，再将其分别代入m+1、2m﹣4中即可求出结论．

【解答】解：∵一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，

∴m+1=﹣（2m﹣4），

解得：m=1，

∴m+1=2，2m﹣4=﹣2．

故答案为：±2．

【点评】本题考查了开方法解一元二次方程以及解一元一次方程，牢记一元二次方程ax2=b（ab＞0）的两根互为相反数是解题的关键．　

9．x1=2，x2=﹣4

【分析】先根据新定义得到（x+1）2﹣32=0，再移项得（x+1）2=9，然后利用直接开平方法求解．

【解答】解：∵（x+1）﹡3=0，

∴（x+1）2﹣32=0，

∴（x+1）2=9，

x+1=±3，

所以x1=2，x2=﹣4．

故答案为x1=2，x2=﹣4．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±p；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±p．

10．x1=，x2=0

【分析】把方程a（2x+m﹣1）2+b=0看作关于2x﹣1的一元二次方程，则2x﹣1=2或2x﹣1=﹣1，然后解两个一次方程即可．

【解答】解：把方程a（2x+m﹣1）2+b=0变形为a[（2x﹣1）+m]2=a，

∵关于x的方程a（x+m）2+b=0的解是x1=2，x2=﹣1，

∴2x﹣1=2或2x﹣1=﹣1，

∴x1=，x2=0．

故答案为x1=，x2=0．

【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．

三．解答题

11．【分析】两边直接开平方可得x+1=±2，然后再解一元一次方程即可．

【解答】解：两边直接开平方得：x+1=±2，

则x+1=2，x+1=﹣2，

解得：x1=1，x2=﹣3．

【点评】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．

12．【分析】方程整理后，利用直接开平方法求出解即可．

【解答】解：方程整理得：（x﹣5）2=9，

开方得：x﹣5=±3，

即x﹣5=3，或x﹣5=﹣3，

解得：x1=8，x2=2．

【点评】此题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法，形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．

13.【分析】根据题意给出的思路即可求出答案．

【解答】解：（1）3x﹣2=﹣5，

（2）根据乘方运算，

得或

解这两个一元一次方程，得x1=，x2=．

故答案为：﹣5

【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是正理解题意，本题属于基础题型．