数学必修 第二册6.2 平面向量的运算教案

第六章 平面向量及其应用

6.2 平面向量的运算

6.2.3 向量的数乘运算

教学设计

一、教学目标

1.   通过实例分析，掌握平面向量数乘运算及其运算规则；
2.   理解平面向量的数乘运算的几何意义；
3.   理解两个平面向量共线的含义；
4.   了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.

二、教学重难点

1.   教学重点

平面向量的数乘运算及其几何意义.

2.   教学难点

数乘运算的应用.

三、教学过程

（一）        新课导入

1．在实数运算中，.

2．在同一方向上，一个人的拉力为F，那么2个人的拉力为2F，k个人的拉力为kF.

3．一物体做匀速直线运动，一秒钟的位移对应的向量为，那么在同一方向上3秒钟的位移对应的向量为.

4．思考：已知非零向量，作出和.它们的长度和方向分别是这样的？

（二）探索新知

1.       如图，，类比数的乘法，可知=.显然的方向与的方向相同，的长度是的长度的3倍，即.

类似地，，同类可知.显然的方向与的方向相反，的长度是的长度的3倍，即.

一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：

（1）；

（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反.

由（1）可知，当时，.

由（1）（2）可知，.

2. 师：（1）设为非零向量，求作向量和并进行比较；

（2）求作向量与向量并进行比较，结果相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较）

　　生：，.

设，为实数，那么：

（1）；　

（2）；　

（3）.

特别地，我们有，.

3. 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量线性运算的结果仍是向量.

对于任意向量，以及任意实数，，，恒有.

例5 （课本P14）

例6 （课本P14）

4. 思考实数与向量的积与原向量之间的位置关系.

实数与向量的积与原向量共线.

对于向量，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线.

反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有.

综上，有如下定理：

向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使.

根据这一定理，设非零向量位于直线l上，那么对于直线l上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使.也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示.

例7 （课本P15）

例8 （课本P16）

（三）课堂练习

课本P15 1—3题，P16 1—3题.

（四）小结作业

1. 小结：

（1）向量的数乘；

（2）向量的线性运算；

（3）向量共线定理.

2. 作业：

四、板书设计

6.2.3 向量的数乘运算

1. 向量的数乘；
2. 向量数乘的运算律；
3. 向量的线性运算；
4. 向量共线定理.