数学必修 第一册4.3 对数课时作业

第四章　4.3.2　对数的运算

A级  必备知识基础练

1.[探究点一]2log510+log50.25=(　　)

A.0 B.1 

C.2 D.4

2.[探究点一]已知x,y为正实数,则(　　)

A.2lg x+lg y=2lg x+2lg y B.2lg(x+y)=2lg x·2lg y

C.2lg x·lg y=2lg x+2lg y D.2lg(xy)=2lg x·2lg y

3.[探究点一]log2+lg 25+lg 4++9.80=(　　)

A.1 B.4 

C.5 D.7

4.[探究点二]已知2x=3,log4=y,则x+2y的值为(　　)

A.3 B.8 

C.4 D.log48

5.[探究点三]已知2a=3b=k(k≠1),且2a+b=ab,则实数k的值为(　　)

A.6 B.9 

C.12 D.18

6.[探究点一]设ax=M,y=logaN(a>0且a≠1,M>0,N>0).试用x,y表示loga=　　　　　. 

7.[探究点二]log35log46log57log68log79=　　　　　. 

8.[探究点四]2021年长征号运载火箭成功将载有3位航天员的神舟十二号载人飞船送入预定轨道,在考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度v(单位:km/s)和燃料的质量M(单位:kg)、火箭(除燃料外)的质量m(单位:kg)满足的函数关系是v=ln.若火箭的最大速度为11.9 km/s,试求燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值.(参考数据:e0.017 85≈1.018)(保留小数点后三位有效数字)

B级  关键能力提升练

9.设a=log36,b=log520,则log215=(　　)

A. B.

C. D.

10.(多选题)设a,b,c都是正数,且4a=6b=9c,那么(　　)

A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac

C. D.

11.已知a>b>1,若logab+logba=,ab=ba,则a=　　　　　,b=　　　　　. 

12.解下列对数方程.

(1)log(2x-1)(5x2+3x-17)=2;

(2)logx4+log2x=3.

13.某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备,使产生的废气经过过滤后排放,以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位:mg/L)与过滤时间t(单位:h)间的关系为P(t)=P0e-kt(P0,k均为非零常数,e为自然对数的底数),其中P0为t=0时的污染物数量.若经过5 h过滤后还剩余90%的污染物.

(1)求常数k的值;

(2)试计算污染物减少到30%至少需要多长时间.(精确到1 h)

(参考数据:ln 0.2≈-1.61,ln 0.3≈-1.20,ln 0.4≈-0.92,ln 0.5≈-0.69,ln 0.9≈-0.11)

C级  学科素养创新练

14.已知logax+3logxa-logxy=3(a>1),若x=at.

(1)试用a,t表示y;

(2)若当0<t≤2时,y有最小值8,求a和x的值.

答案：

1.C　解析 原式=log5102+log50.25=log5(100×0.25)=log525=2.

2.D

3.C　解析 原式=log22+lg(25×4)++1=2+2+1=5.故选C.

4.A　解析 由2x=3得x=log23,

∴x+2y=log23+2log4=log23+=log23+(3log22-log23)=3.

5.D　解析 ∵2a=3b=k(k≠1),∴a=log2k,b=log3k,

∴=logk2,=logk3,

∵2a+b=ab,∴=2logk3+logk2=logk9+logk2=logk18=1,∴k=18.

6.3x-　解析 ∵ax=M,∴x=logaM,

∴loga=logaM3-loga=3logaM-logaN=3x-.

7.3　解析 log35log46log57log68log79==3.

8.解 由v=ln=11.9,

可得ln==0.017 85,所以=e0.017 85-1≈0.018.

所以燃料质量与火箭质量(除燃料外)的比值为0.018.

9.D　解析 ∵a=log36=1+log32,b=log520=1+2log52,

∴log23=,log25=,∴log215=log23+log25=.故选D.

10.AD　解析 由题意,设4a=6b=9c=k,则a=log4k,b=log6k,c=log9k.

由ab+bc=2ac,可得=2,

因为=log69+log64=log636=2,

故A正确,B错误;

=2logk4+logk6=logk96,=2logk9=logk81,

故,故C错误;

=2logk6-logk4=logk9,=logk9,

故,故D正确.

11.4　2　解析 ∵logab+logba=logab+,

∴logab=2或logab=.

∵a>b>1,∴logab<logaa=1.∴logab=,∴a=b2.

∵ab=ba,∴(b2)b=,∴b2b=.

∴2b=b2,∴b=2,∴a=4.

12.解 (1)由log(2x-1)(5x2+3x-17)=2,

得

解得x=2或x=-9(舍).

(2)由logx4+log2x=3(x>0,且x≠1),得2logx2+log2x-3=0,

令log2x=t,得+t-3=0,即t2-3t+2=0,

解得t=1或t=2.当t=1时,可得log2x=1,即x=2;

当t=2时,可得log2x=2,即x=4.

经检验x=2,x=4均符合题意.

故原方程的解为x=2或x=4.

13.解  (1)由已知得当t=0时,P=P0;

当t=5时,P=90%P0.于是有90%P0=P0e-5k,解得k=-ln 0.9(或k≈0.022).

(2)由(1)知P=P0,当P=30%P0时,有0.3P0=P0,

解得t=≈55.故污染物减少到30%至少需要55 h.

14.解 (1)由换底公式,得logax+=3(a>1),

所以logay=(logax)2-3logax+3.

当x=at时,logax=logaat=t,所以logay=t2-3t+3.所以y=(t≠0).

(2)y=,因为0<t≤2,a>1,所以当t=时,ymin==8.

所以a=16,此时x==64.