数学必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直同步练习题

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课时跟踪检测 （三十一） 直线与平面垂直的性质层级(一)　“四基”落实练1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1C1，则(　　)A．B1B⊥lB．B1B∥lC．B1B与l异面但不垂直D．B1B与l相交但不垂直解析：选B　因为B1B⊥平面A1C1，又因为l⊥平面A1C1，所以l∥B1B.故选B.2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(　　)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β解析：选C　∵m∥n，m⊥α，则n⊥α，故选C.3.如图，▱ADEF的边AF⊥平面ABCD，且AF＝2，CD＝3，则CE＝(　　)A．2　　　　　　　　　 B．3C.   D.解析：选D　因为四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE且AF＝DE.因为AF⊥平面ABCD，所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF＝2，所以DE＝2.又CD＝3，所以CE＝＝＝.4.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M是棱DD1的中点，则过M且与直线AB和B1C1都垂直的直线有(　　)A．1条       B．2条C．3条       D．无数条解析：选A　显然DD1是满足条件的一条，如果还有一条l满足条件，则l⊥B1C1，l⊥AB.又AB∥C1D1，则l⊥C1D1.又因为B1C1∩C1D1＝C1，所以l⊥平面B1C1D1.同理DD1⊥平面B1C1D1，则l∥DD1.又因为l与DD1都过M，这是不可能的，因此只有DD1一条满足条件．故选A.5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)A．α∥β且l∥αB．α∥β且l⊥βC．α与β相交，且交线与l垂直D．α与β相交，且交线与l平行解析：选D　若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交．设α∩β＝a，过空间内一点P，作m′∥m，n′∥n，m′与n′相交，m′与n′确定的平面为γ.因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m′，l⊥n′，所以l⊥γ.因为m⊥α，n⊥β，所以m′⊥α，n′⊥β，所以a⊥m′，a⊥n′，所以a⊥γ.又因为l⊄α，l⊄β，所以l与a不重合．所以l∥a.综上知，选D. 6．线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．解析：如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，∴MM1＝4.答案：47.如图，∠BCA＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC，△PAC的边所在的直     线中：(1)与PC垂直的直线有________；(2)与AP垂直的直线有________．解析：(1)因为PC⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，所以PC⊥AB，PC⊥AC，PC⊥BC.(2)∠BCA＝90°即BC⊥AC，又BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以BC⊥平面PAC.因为AP⊂平面PAC，所以BC⊥AP.答案：(1)AB，AC，BC　(2)BC8.如图，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足为A，EB⊥β，直线a⊂β，  a⊥AB.求证：a∥l.证明：因为EA⊥α，α∩β＝l，即l⊂α，所以l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因为EB⊥β，a⊂β，所以EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.由线面垂直的性质定理，得a∥l. 层级(二)　能力提升练1.已知PA垂直于以AB为直径的圆所在平面，C为圆上异于A，B的任一  点，则下列关系不正确的是(　　)A．PA⊥BCB．BC⊥平面PACC．AC⊥PBD．PC⊥BC解析：选C　PA⊥平面ABC，得PA⊥BC，A正确；又BC⊥AC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥PC，B、D均正确．故选C.2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中真命题的是(　　)①若m⊥n，n⊂α，则m⊥α；②若m⊥α，n⊂α，则m⊥n；③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若m⊂α，n⊂β，α∥β，则m∥n.A．①②  B．②③C．③④  D．①④解析：选B　①中，直线m垂直于平面α内的一条直线n，则直线m与平面α不一定垂直，所以①不是真命题；②是直线与平面垂直的定义的应用，所以②是真命题；③是直线与平面垂直的性质定理，所以③是真命题；④中，分别在两个平行平面α，β内的直线m，n平行或异面，所以④不是真命题．故选B.3．已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为，那么P到平面ABC的距离为________．解析：如图所示，设PO⊥平面ABC于O，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接OE，OF，OC.∵PO⊥平面ABC，AC⊂平面ABC，∴PO⊥AC.又PO∩PE＝P，∴AC⊥平面POE.又OE⊂平面POE，∴AC⊥OE.同理有BC⊥OF.∴四边形OECF为矩形．∵PC＝PC且PE＝PF，∴Rt△PEC≌Rt△PFC.∴EC＝FC＝＝1.∴四边形OECF是边长为1的正方形．∴OC＝.在Rt△POC中，PO＝＝.答案：4.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的 中点，DE⊥平面BCC1B1.求证：AB＝AC.证明：取BC的中点F，连接EF，AF.则EF∥B1B且EF＝B1B.从而EF∥DA且EF＝DA，所以四边形ADEF为平行四边形，所以AF∥DE.因为DE⊥平面BCC1B1，所以AF⊥平面BCC1B1.所以AF⊥BC，即AF为BC的垂直平分线，故AB＝AC.5.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，AE⊥PD于点E，l⊥平面PCD.求证：l∥AE.证明：因为PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以PA⊥CD.又四边形ABCD是矩形，所以CD⊥AD.因为PA∩AD＝A，PA⊂平面PAD，AD⊂平面PAD，所以CD⊥平面PAD.又AE⊂平面PAD，所以AE⊥CD.因为AE⊥PD，PD∩CD＝D，PD⊂平面PCD，CD⊂平面PCD，所以AE⊥平面PCD.因为l⊥平面PCD，所以l∥AE.层级(三)　素养培优练1．在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件___________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．解析：当BD⊥AC时，又BD⊥AA1，所以BD⊥平面AA1C，从而BD⊥A1C.又B1D1∥BD，所以A1C⊥B1D1.答案：BD⊥AC（答案不唯一）2.如图，直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α)，从点P看地平面上一物体B(不同于A)，直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.求证：平面β必与平面α相交．证明：假设平面α与平面β平行．因为PA⊥平面α，所以PA⊥平面β.因为PB⊥平面β，由线面垂直的性质定理，可得PA∥PB，与已知PA∩PB＝P矛盾，所以平面β必与平面α相交．