专题09 反比例函数——2023年河南省中考数学模拟题分项选编

这是一份专题09 反比例函数——2023年河南省中考数学模拟题分项选编，共43页。试卷主要包含了单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省中考数学模拟题分项选编
专题09 反比例函数

一、单选题
1．（2023·河南开封·统考一模）已知点，，在下列某个函数的图象上，则这个函数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·河南安阳·统考二模）下列函数中，其图象一定不经过第三象限的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2023·河南郑州·统考二模）如图，已知点在反比例函数的图像上，过点作轴，垂足为，连接，将沿翻折，点的对应点恰好落在的图像上，则的值为（　　）
  
A． B． C． D．
4．（2023·河南南阳·统考一模）已知当时，反比例函数的函数值随自变量的增大而减小，则关于x的一元二次方程根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．没有实数根
C．有两个不相等的实数根 D．跟k的取值有关
5．（2023·河南濮阳·统考一模）如图所示，小亮设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：在一根匀质的木杆中点O左侧固定位置B处悬挂重物A，右侧用一个弹簧测力计向下拉，改变弹簧测力计与支点O的距离，观察弹簧测力计的示数的变化情况．实验数据记录如下表：

……
10
15
20
25
30
……

……
45
30
22.5
18
15
……

下列说法不正确的是（　　）
A．弹簧测力计的示数与支点O的距离之间关系的图像如图
B．y与x的函数关系式为
C．当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是37.5
D．随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小
6．（2023·河南新乡·统考一模）小明设计了杠杆平衡实验：如图，取一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，在左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，以保持木杆水平（动力×动力臂=阻力×阻力臂）．改变弹簧测力计与中点O的距离L（单位：），观察并记录弹簧测力计的示数F（单位：N）有什么变化．小明根据实验得到的下列结论中，不正确的是（　　）

A．L与F的函数关系式为 B．当时，
C．当时， D．保持木杆水平，F的最小值为10
7．（2023·河南周口·统考一模）我国传统的计重工具叫秤杆，也称杆秤，杆秤的木杆上面镶有计量的金属秤星，如图，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O将其吊起来，在中点O的左侧，距离中点处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧秤向下拉，使木杆处于水平状态，如果把弹簧秤与中点O的距离L（单位：）记作x，弹簧秤的示数F（单位：）记作y，如表几对数值中不能满足y与x的函数关系式的是（　　）
序号
A
B
C
D

5
10
35
40

49





A． B． C． D．
8．（2023·河南周口·一模）如图1是一个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图2是该台灯的电流与电阻成反比例函数的图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法正确的是（　　）

A．当时， B．I与R的函数关系式是
C．当时， D．当时，I的取值范围是
9．（2023·河南三门峡·统考二模）在显示汽车油箱内油量的装置模拟示意图中，电压一定时，油箱中浮子随油面下降而落下，带动滑杆使滑动变阻器滑片向上移动，从而改变电路中的电流，电流表的示数对应油量体积，把电流表刻度改为相应油量体积数，由此知道油箱里剩余油量．在不考虑其他因素的条件下，油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，电流与也是反比例关系，则与的函数关系是（　　）

A．反比例函数 B．正比例函数 C．二次函数 D．以上答案都不对
10．（2023·河南商丘·统考二模）在对物体做功一定的情况下，力F（N）与此物体在力的方向上移动的距离s（m）成反比例函数关系，其图象如图所示，点在其图象上，则当力达到10N时，物体在力的方向上移动的距离是（　　）

A．2.4m B．1.2m C．1m D．0.5m
11．（2023·河南鹤壁·统考三模）某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种蔬菜．上图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y（℃）随时间x（小时）变化的函数图像，其中BC段是双曲线（k≠0）的一部分，则当x ＝ 16时，大棚内的温度约为（　　）

A．18℃ B．15.5℃ C．13.5℃ D．12℃

二、解答题
12．（2023·河南洛阳·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点（点在点左边），与轴交于点，延长交反比例函数的图象于点．
  
(1)填空：________（填“>”“=”或“<”）；
(2)请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）；
(3)在的平分线上取点，使，连接，当时，求的面积．
13．（2023·河南商丘·统考三模）函数探究课上，小明在刘老师的指导下对一个新函数进行研究，以下是他的研究过程，请补充完整．
(1)绘制函数图
①列表：下表是x与y的几组对应值．

…















…

…















…
填空：______，______；
②描点：根据表中的数值描点，在如图的平面直角坐标系中描点；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请补充画出函数图像．
  
(2)探究函数性质
观察图像，请写出函数的两条性质：①______；②______．
(3)运用函数图像及性质
①根据函数图像，不等式的解集是______．
②若关于的方程有两个实数解，则的取值范围为______．
14．（2023·河南鹤壁·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，连接．
  
(1)尺规作图：在第一象限作点B，使得；（不写作法，保留作图痕迹，在图上标注清楚点B）
(2)求线段的解析式；
(3)若反比例函数的图象经过点A．点B是否在反比例函数的函数图象上？说明理由．
15．（2023·河南洛阳·统考一模）如图，点、在反比例函数的图像上，轴，轴，垂足分别为，，与相交于点．
  
(1)根据图像直接写出、的大小关系，并通过计算加以验证；
(2)若四边形的面积为，求反比例函数的解析式．
16．（2023·河南焦作·统考二模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，点B，与x轴交于点，点D在第四象限，且，．
  
(1)利用尺规作出点D（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)若，求反比例函数与一次函数的解析式，并直接写出不等式的解．
17．（2023·河南开封·统考一模）如图，，反比例函数的图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)连接，请用无刻度的直尺和圆规作出的角平分线交y轴于点C．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
(3)连接．求证．
18．（2023·河南南阳·统考一模）如图，等边三角形的顶点A在反比例函数的图像上，顶点在轴上，且的面积为．

(1)_________．
(2)①请用无刻度的直尺和圆规作第一象限的夹角平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图）
②将①中的角平分线反向延长得直线，设直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，求点，的坐标．
(3)直接写出不等式的解集．
19．（2023·河南三门峡·统考一模）已知一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，．

(1)求一次函数的解析式，并在图中画出这个一次函数的图像；
(2)根据函数图像，直接写出不等式的解集；
(3)若点是点关于轴的对称点，连接，，求的面积．
20．（2023·河南安阳·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，与y轴交于点C．求：

(1)k，m的值；
(2)直线过原点，交反比例函数于点P，且，的面积．
21．（2023·河南新乡·统考二模）如图，的边在x轴正半轴上，点C的坐标为，反比例函数的图象经过点，D是边的中点．

(1)求反比例函数的解析式及点D的坐标．
(2)尺规作图：过点D作的平行线，交的边于点M，交反比例函数的图象于点P．（保留作图痕迹，不写作法）
(3)在（2）的条件下，连接，求的面积．
22．（2023·河南驻马店·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，C两点．

(1)求反比例函数的解析式及点C的坐标；
(2)点P是线段上一点，过点P向x轴做垂线段，垂足为Q，连接，的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大面积及点P坐标，若不存在，请说明理由．
23．（2023·河南信阳·统考一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像相交于，两点，点的横坐标是．

(1)求的值；
(2)求面积
(3)直接写出当时，自变量的取值范围．
24．（2023·河南周口·统考一模）如图，反比例函数的图象经过点．

(1)求反比例函数的表达式；
(2)已知点，请用无刻度的直尺和圆规作出的平分线（不写作法，保留作图痕迹）；
(3)点C在（2）中所作的角平分线上，且，连接，判断四边形的形状，并说明理由．
25．（2023·河南许昌·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，点在第二象限，点在轴负半轴上，点是的中点且反比例函数的图象经过点．
​
(1)求反比例函数的解析式．
(2)若点D是反比例函数的图象与的交点，求点D的坐标．
(3)在（2）的条件下，直接写出的面积．
26．（2023·河南安阳·统考二模）寓言故事：青年用木柴烧水时，由于木柴不足，水没有烧开，重新找木柴的时间水已变凉，而新找的木柴也不够将水重新烧开，很是气馁．路过的智者提醒他，木柴不够，可以将水倒掉一部分．青年听后，茅塞顿开，把水烧开了．
智者的话蕴含一定道理，根据物理学公式（Q表示寓言故事中水吸收的总热量，c表示水的比热容为常数，m表示水的质量，表示水的温差），得．智者的话可解释为：当木柴质量确定时，提供给水吸收的总热量Q随之确定，为定值，水上升的温度（单位：）与水的质量m（单位：kg）成反比例．
(1)若现有木柴可以将3kg温度为25℃的水加热到75℃，请求出这种情形下的值及关于m的反比例函数的表达式；
(2)在（1）的情形下，现有的木柴可将多少千克温度为25℃的水加热到100℃．
27．（2023·河南驻马店·统考三模）杠杆原理在生活中应用广泛，我国早在春秋时期就有使用，相传商人范蠡观农夫从井中取水受到启发，发明了称，其中就利用了杠杆原理．
杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．如图1：
  
某数学兴趣小组利用所学的函数知识对以上原理进行探究：
如图2，小明取一根质地均匀的木杆长，用细绳绑在木杆的中点处将其吊在空中，在中点的左侧距中点处挂一个质量为的物体，在中点右侧用一个弹簧测力计（重力忽略不计）竖直向下拉，使木杆处于水平状态，改变弹簧测力计与中点的距离，观察弹簧测力计的示数的变化，在平面直角坐标系中描出了一系列点，并用平滑的曲线顺次连接，得到如图3所示的函数图象．已知重力与质量之间的关系式为：，为物体的重力（单位：），为物体的质量（单位），．
   
(1)图3中函数的解析式为__________，自变量的取值范围是__________．
(2)若点的位置不变，在不改变点与物体的距离及物体的质量的前提下，要想使木杆平衡，弹簧测力计的示数最小可以是多少？
28．（2023·河南焦作·统考一模）如图，某种品牌的电动车的蓄电池电压为定值，使用电源时，电流是电阻的反比例函数，其图象经过，两点．

(1)求I与R的函数表达式，并说明比例系数的实际意义；
(2)求m的值，并说明m的实际意义；
(3)如果以蓄电池为电源的用电器限制电流不得超过，那么用电器的可变电阻应控制在什么范围内？
29．（2023·河南南阳·统考二模）办公区域的自动饮水机，开机加热时水温每分钟上升，水温到时停止加热，此后水温开始下降．水温（）与开机通电时间成反比例关系．若水温在时接通电源，一段时间内，水温y与通电时间x之间的函数关系如图所示．

(1)水温从加热到，需要 ；
(2)求水温下降过程中，y与x的函数关系式，并写出定义域；
(3)如果上午8点接通电源，那么8：20之前，不低于的时间有多少？

参考答案：
1．B
【分析】分别把点，，代入各个函数进行验证判断即可．
【详解】解：A、当时，，当时，，
∴点，不能同时在函数图象上；
B、当时，，当时，，
当时，，
∴有，，
此时，，符合题意，
∴点，，可同时在函数图象上；
C、当时，，当时，，
∴点，不能同时在函数图象上；
D、当时，，当时，，
当时，，
∵若，则，
∴，不符合题意，
∴点，，不能同时在函数图象上；
故选：B．
【点睛】本题考查了坐标与函数，会运用坐标代入法进行验证是解题的关键．
2．C
【分析】分别根据正比例函数的性质，反比例函数的性质，二次函数的性质，一次函数的性质进行解答．
【详解】解：A．∵开口向上，对称轴是直线，且函数图像过点，
则函数图像过一，二，三，四象限，故本选项不符合题意；
B．∵的系数，
∴函数图像过一，三象限，故本选项不符合题意；
C．在中，，，
则函数过一，二，四象限，故本选项符合题意；
D．∵中，，
∴函数图像过一，三象限，故本选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质．反比例函数的性质．二次函数的图象与性质．一次函数的性质，解题的关键是根据系数的符号判断图象的位置．
3．B
【分析】把点在反比例函数即可求出的长，根据翻折的性质，可求出的坐标，再运用待定系数法即可求解．
【详解】解：∵点在反比例函数的图像上，
∴，即，
∴，
在中，，
∴，即，，
∴，，
∵将沿翻折，
∴，即，，
如图所示，过点作轴于点，
  
∴，
在中，，，
∴，，
∴，，
∵点在反比例函数的图像上，
∴，
∴，
故选：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求反比例函数解析式，翻折的性质，直角三角形的勾股定求边长，图形与坐标等知识是解题的关键．
4．C
【分析】先判定，再证明，判断选择即可．
【详解】解：∵当时，反比例函数的函数值随自变量的增大而减小，
∴，
∵的判别式为：，
∴方程有两个不相等的实数根，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，一元二次方程根的判别式，准确理解反比例函数的性质，灵活运用根的判别式是解题的关键．
5．C
【分析】仔细观察表格，在坐标系中分别描出各点，并平滑曲线连接这些点，即可画出函数图像；观察所画图形，回想常见几种函数的图像特征，即可判断出函数类型，利用待定系数法求出函数关系式；把代入上面所得关系式求解，并根据函数的性质判断弹簧秤与O点的距离不断增大时的弹簧测力计示数变化情况．
【详解】解：由图像猜测y与x之间的函数关系为反比例函数．
所以设
把代入求得
∴
将其余各点代入验证均适合，
∴y与x的函数关系式为，
把代入得，
∴当弹簧测力计的示数为时，弹簧测力计与O点的距离是，
随着弹簧测力计与O点的距离不断增大，弹簧测力计上的示数不断减小．
故选：C．
【点睛】此题考查的是反比例函数的应用，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
6．C
【分析】根据动力×动力臂=阻力×阻力臂，可得出即即可得出结论．
【详解】解：∵动力×动力臂=阻力×阻力臂，


故选项正确，不符合题意．
∴当时，，
故选项正确，不符合题意．
∴当时，，
∴故选项错误，符合题意．
∵一根长质地均匀的木杆，用细绳绑在木杆的中点O处并将其吊起来，
∴右侧最长为，

故选项正确，不符合题意．
故选：
【点睛】本题主要考查了反比例函数与实际问题的综合，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键．
7．C
【分析】观察表格中的数据可知，，由此确定对应的函数关系式，再分别代入四个选项中的数值求解判断即可．
【详解】解：根据题中数据得：，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
∴四个选项中只有C选项中的数值不满足对应的函数关系式，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确观察表格得到对应的函数关系式是解题的关键．
8．D
【分析】由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到结论．
【详解】解：设I与R的函数关系式是，
∵该图象经过点，
∴，
∴，
∴I与R的函数关系式是，故选项B不符合题意；
当时，，当时，
∵反比例函数，I随R的增大而减小，
当时，，当时，，故选项A，C不符合题意；
∵时，，当时，，
∴当时，的取值范围是，故D符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．
9．B
【分析】由油箱中油的体积V与电路中总电阻R总是反比例关系，电流I与R总是反比例关系，可得，即可得到答案．
【详解】由油箱中油的体积与电路中总电阻是反比例关系，设为常数，
由电流与是反比例关系，设为常数，
，
（为常数，
与的函数关系是正比例函数，
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数与正比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数与正比例函数的概念．
10．B
【分析】利用点P的坐标求出F=，当F=10时，即F==10，求出s，即可求解．
【详解】解：设函数的表达式F=，
将点P的坐标代入上式得：3=，解得k=12，
则反比例函数表达式为F=，
当F=10时，即F==10，
解得s=1.2（m），
故选：B．
【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．
11．C
【分析】利用待定系数法求反比例函数解析式后将x=16代入函数解析式求出y的值即可．
【详解】解：∵点B（12，18）在双曲线上，
∴，
解得：k=216．
当x=16时，y==13.5，
所以当x=16时，大棚内的温度约为13.5℃．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，求出反比例函数解析式是解题关键．
12．(1)=
(2)见解析
(3)20

【分析】（1）根据反比例函数的对称性进行求解即可；
（2）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；
（3）如图所示，连接，先求出点A和点C的坐标，进而求出，再证明，即可得到．
【详解】（1）解：由反比例函数的对称性可知，
故答案为：；
（2）解：如图所示，即为所求；
  
（3）解：如图所示，连接，
联立：，解得：，
∵在的左边
∴点坐标为，
在中，当时，，则，
∴
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∵是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
  
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，反比例函数的对称性，平行线的性质与判定，直角三角形斜边上的中线的性质等等，正确作出辅助线是解题关键．
13．(1)①；②见解析；③见解析
(2)①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小
(3)①或；②

【分析】（1）①将，，分别代入函数解析式，即可求解；
②根据题意，在平面直角坐标系中描出各点；
③根据题意画出函数图像即可求解；
（2）根据函数图像，根据增减性，对称性写出两条性质即可求解；
（3）①根据函数图像与的交点，结合函数图像，即可求解；
②根据函数图像即可求解．
【详解】（1）解：①当时，，
当时，，
故答案为：．
②描点，如图所示，
  
③连线，如图所示，
  
（2）根据函数图像，可得①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小
故答案为：①对称轴为直线，②当时，随的增大而减小．
（3）①根据函数图像可得不等式的解集是或；
故答案为：或．
②根据函数图像可知，关于的方程有两个实数解，则的取值范围为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数图像的性质，列表描点画函数图像，根据函数图像求不等式的解集，数形结合是解题的关键．
14．(1)见解析
(2)直线的解析式为：
(3)点B不在反比例函数上，理由见解析

【分析】（1）如图1，过点A作圆弧交和的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于的长度为半径作画弧交于点R，连接，为线段的中垂线，以点A为圆心长度为半径作弧交于点B，则；
（2）如图1，过点A作直线轴，交y轴于点N，过B作于点，证明，则，求出点坐标，然后待定系数法求直线的解析式即可；
（3）由题意求得反比例函数解析式为，当时，，进而可得结论．
【详解】（1）解：如图1，过点A作圆弧交和的延长线于点G、H，分别以点G、H为圆心大于的长度为半径作画弧交于点R，连接，以点A为圆心长度为半径作弧交于点B，则；
  
（2）解：如图1，过点A作直线轴，交y轴于点N，过B作于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设直线的表达式为：，
将点B的坐标代入上式得：，解得：，
∴，
∴直线的表达式为：；
（3）解：点B不在反比例函数上，理由如下：
∵反比例函数的图象经过点A，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴点B不在反比例函数上．
【点睛】本题考查了作垂线，全等三角形的判定和性质，一次函数解析式，反比例函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
15．(1)，验证见解析
(2)

【分析】（1）根据图像可得出结果，然后分别计算出、的值，比较大小即可验证；
（2）利用四边形的面积列出关于的方程，解方程即可得出系数的值．
【详解】（1）解：根据图像可知，
点、在反比例函数的图像上，
，，
，
，

（2）解：根据图像可知，，
，
，
反比例函数的解析式为：．
【点睛】本题考查了反比例函数的图形与性质，熟练掌握相关知识是解题关键．
16．(1)见解析
(2)一次函数解析式为；反比例函数解析式为；的解为或．

【分析】（1）先过C作的垂线，再在垂线右下方上取即可；
（2）先构造三垂直模型，结合点C、D坐标，求出点B坐标，再代入函数解析式求解函数解析式，然后联立方程求解出交点，最后由不等式与函数思想结合图像得出不等式的解．
【详解】（1）如图点D为所求：
  
（2）过点D作轴于点E，过点B作轴于点F，
  
，，，
，，
，
在 与中，
，
≌，
，，
，，
，
，
将点、代入一次函数中得：
，
解得：，
一次函数解析式为：，
将点代入反比例函数中得：，
解得，
反比例函数解析式为，
联立，
解得或，
得，
由图像可得时，或．
【点睛】本题考查一次函数与反比例函数综合问题，结合等腰直角三角形三垂直模型，解题时需要逐步计算，再使用不等式与函数思想，数形结合得到不等式的解．
17．(1)
(2)见解析
(3)见解析

【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，再利用待定系数法求解即可；
（2）先以B为圆心，任意长为半径画弧，得到与角的两边的交点，再分别以这两个交点为圆心，大于这两个交点间的距离的一半为半径画弧，得到两弧的交点，过B，与两弧交点画射线即可；
（3）由、、，利用勾股定理证明，再利用等腰三角形的性质可得答案．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，，
∴反比例函数的表达式为
（2）如图：射线即为所求，

（3）∵、、，
∴，
∴，
∵平分，
∴．
【点睛】本题考查的是作角平分线，勾股定理的应用，等腰三角形的性质与判定，利用待定系数法求解反比例函数的解析式，熟练的利用以上知识解题是关键．
18．(1)
(2)①作图见解析；②，
(3)或

【分析】（1）如图，过点作轴于点，由等边三角形的性质可得的面积，再利用反比例函数值的几何意义即可得出结论；
（2）①如图，以点为圆心，作弧交轴、轴于点、，分别以点、为圆心大于为半径作弧，交于点，则射线为第一象限的夹角平分线；
②解由直线和双曲线的两个解析式所构成的方程组，所得的解即为所求的交点坐标；
（3）观察图像即可得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作轴于点，
∵等边三角形的顶点A在反比例函数的图像上，顶点在轴上，且的面积为，
∴是等边三角形的边上的中线，
∴，
∴，
故答案为：；

（2）①如上图所示，第一象限的夹角平分线射线即为所作；
②∵直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，
∴，
解得：，，
∴点的坐标为，点的坐标为；
（3）∵直线与双曲线在第一，三象限交点分别为点，，
∴即的解集为：或．
【点睛】本题考查尺规作图，反比例函数的比例系数的几何意义，直线与反比例 函数的交点坐标，利用图像解不等式．掌握反比例函数的比例系数的几何意义是解题的关键．
19．(1)该一次函数解析式为，图见解析
(2)或
(3)15

【分析】（1）首先确定点坐标，再利用待定系数求得一次函数解析式即可；
（2）结合（1）中函数图像，即可获得答案；
（3）根据对称求出点的坐标，再利用点的坐标求出的高和底，即可求出面积．
【详解】（1）解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于点，
∴，，
解得，，
∴，，
将点，代入一次函数，
可得，解得
∴该一次函数解析式为；
一次函数图像如下图所示：

（2）结合（1）中函数图像，
可得或；
（3）∵点是点关于轴的对称点，，
∴点的坐标为，如下图，

∴，边上的高为5，
∴．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与反比例函数综合问题、关于坐标轴对称点等知识，理解题意，熟练掌握相关知识是解题关键．
20．(1)，
(2)2

【分析】（1）先把B坐标代入一次函数解析式求出k和一次函数解析式，再把A坐标代入一次函数解析式求出A坐标，最后把A坐标代入反比例函数解析式求出m的值即可；
（2）如图所示，连接，先求出点C的坐标，再根据平行线的性质得到，由此求解即可．
【详解】（1）解：把代入一次函数中得，
∴，
∴一次函数解析式为，
把代入一次函数中得：，解得，
∴，
把代入反比例函数中得，解得
（2）解：如图所示，连接，
由（1）得直线的解析式为，
在中，令，则，
∴，
∴，
∵，
∴．

【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，一次函数与几何综合，正确求出对应的函数解析式是解题的关键．
21．(1)，
(2)见解析
(3)3

【分析】（1）待定系数法求出反比例函数解析式，平行四边形的性质求出点的坐标，中点坐标公式，求出点的坐标；
（2）作线段的垂直平分线交于点M，作直线，直线即为所求，且交反比例函数图象于点．
（3）先求出的坐标，利用进行求解即可．
【详解】（1）解：把点代入得．
∴反比例函数的解析式为．
∵的边在x轴正半轴上，点C的坐标为，
∴，轴．
又∵，
∴．
∵D是边的中点，
∴．
（2）解：作线段的垂直平分线交于点M，作直线，直线即为所求，且交反比例函数图象于点，如图所示：

∵的边在x轴正半轴上，为的中点，
∴，，
∴四边形为平行四边形，
∴．
（3）∵点，点为的中点，
∴点，
∴点的纵坐标为2，
把代入，得．
∴点．
∴．
∴．
【点睛】本题考查反比例函数的图象与性质，用待定系数法确定反比例函数的解析式，平行四边形的性质，尺规作图，三角形的面积公式．熟练掌握相关知识点并灵活运用，是解题的关键．
22．(1)，点C的坐标为
(2)面积存在最大值，最大值为2，点P坐标为

【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式和一次函数解析式，再联立求出点C的坐标即可；
（2）由点P是线段上一点，可设点P坐标为，且，得到，根据二次函数的性质得到时，面积最大，且最大值为2，再求出点P的坐标即可．
【详解】（1）解：反比例函数经过点，
，
反比例函数解析式为，
一次函数的图像过点，
，
∴一次函数解析式为，
联立方程组得，
解得，，
点C的坐标为；
（2）存在最大值，理由如下：
点P是线段上一点，
设点P坐标为，且，
，，
，
且
时，面积最大，且最大值为2，
当时，，
此时点P坐标为．

【点睛】此题考查了反比例函数和一次函数交点问题、待定系数法、二次函数的最值问题等知识，数形结合和准确计算是解题的关键．
23．(1)
(2)4
(3)或

【分析】（1）把点的横坐标代入求得，从而可求出k的值；
（2）设与x轴交于点E，求出点E的坐标，根据求解即可；
（3）根据直线的图象在反比例函数的图象上方，结合交点坐标即可得出结论．
【详解】（1）∵点的横坐标是，
∴当时，，
点的坐标是，
∵点是反比例函数的图像的一点，
．
（2）∵，
反比例函数的关系式为，
两函数解析式联立方程组得，
解得或
∴两个函数图象交点坐标为点，．
设直线与轴的交点为点，

当时，，解得，，
∴点，
．
（3）根据图象得，点，．
当时，自变量的取值范围为或
【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点的知识，解答时，注意数形结合思想的正确运用．
24．(1)反比例函数的表达式为；
(2)见解析
(3)四边形是菱形，理由见解析

【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据尺规作图－角平分线的作法即可作出图形；
（3）求得的长，得到，由角平分线的定义和平行线的性质求得，得到，根据对边平行且相等的四边形判断是平行四边形，据此即可得到四边形是菱形．
【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）解：如图，射线即为所求作，
；
（3）解：四边形是菱形，理由如下：
∵，，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，由，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形．
【点睛】本题考查了坐标与图形，尺规作角平分线、等腰三角形的等角对等边、平行四边形的判定、菱形的判定，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
25．(1)
(2)
(3)6

【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）根据题意求得，把代入反比例函数的解析式即可求得点的坐标；
（3）根据反比例函数系数的几何意义求得，然后利用求得即可．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点，
，
反比例函数的解析式为；
（2）点为斜边的中点，，
点坐标为，
把代入得，，
点的坐标为；
（3）连接，
点坐标为，
，
，
，
，
．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，求得的坐标是解题的关键．
26．(1)150，
(2)2千克

【详解】（1）解：由题意，得，
∴，
∴，
∴，
即关于m的反比例函数的表达式为：．
（2）解：把代入，得
，
∴(千克)，
答：现有的木柴可将2千克温度为25℃的水加热到100℃．
【点睛】本题考查反比例函数的应用，熟练掌握用待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
27．(1)，
(2)弹簧测力计的示数最小可以是

【分析】（1）根据图象设函数解析式，将图中点的坐标代入即可求解，根据题意点是木杆的中点，木杆全长，即可求得自变量的取值范围；
（2）根据函数图象的增减性，可知当时，取得最小值，代入函数解析式求解即可．
【详解】（1）根据图象设函数解析式为
∵图象过点
代入求得
∴函数的解析式为：
∵点是木杆的中点，木杆全长
∴可知弹簧测力计到中点的距离最长为
∴
故答案为：，．
（2）由（1），可知．
∵
∴当时，随的增大而减小．
又∵
∴当时，取得最小值，最小值为．
∴弹簧测力计的示数最小可以是．
【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数图象的性质等，解题的关键是根据题意求得自变量的取值范围．
28．(1)，见解析
(2)3，m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为
(3)该电路的可变电阻控制在不低于

【分析】（1）根据题意设，然后将代入求解记录；
（2）将代入求解即可；
（3）将代入求出R的值，然后结合图象求解即可．
【详解】（1）由于电流是电阻的反比例函数，
设，
∵图象过点，
∴，
∴I与R的函数表达式为；
（2）将代入得，，
∴解得，
∴m的实际意义为：当电阻R为，电流大小为；
（3）∵，
∴当时，，
∴当时，．
∴该电路的限制电流不能超过，那么该电路的可变电阻控制在不低于．
【点睛】此题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出函数表达式．
29．(1)4
(2)
(3)2分钟

【分析】（1）根据开机加热时水温每分钟上升即可求出水温从加热到所需时间；
（2）根据反比例函数过点可求出解析式；
（3）分别计算出水温达到前和达到后再降到所需时间即可．
【详解】（1）解：开机加热时水温每分钟上升，
水温从加热到，所需时间为，
故答案为：4；
（2）由题可得，在反比例函数图象上，
设反比例函数解析式为，
代入点可得，，
，
当时，，
水温下降过程中，与的函数关系式是；
（3）当时，设，将代入函数解析式，可得：
，解得：，
∴当时，，
当时，，解得，
当时，，解得，
水温不低于的时间为（分钟），
答：不低于的时间有2分钟．
【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的应用，读懂函数图像，获取信息是解决本题的关键．