专题13 勾股定理——2023年河南省中考数学模拟题分项选编

这是一份专题13 勾股定理——2023年河南省中考数学模拟题分项选编，共34页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年河南省中考数学模拟题分项选编
专题13 勾股定理
一、单选题
1．（2023·河南洛阳·统考二模）如图，在中，，，点D为垂足，若，，则（　　）

A．2 B． C． D．
2．（2023·河南驻马店·统考二模）如图，王林用图1中的一副七巧板拼出如图2所示“鸟”，已知正方形ABCD的边长为4，则图2中E，F两点之间的距离为（　　）

A． B． C． D．
3．（2023·河南商丘·统考一模）如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点O的对应点为点C，将沿x轴正方向平移得到，当经过点B时，点F的坐标为（　　）

A． B． C． D．
4．（2023·河南南阳·统考一模）如图，等腰的斜边在轴的正半轴上，为坐标原点，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，若点的坐标为，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
5．（2023·河南安阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将若干个边长为2个单位长度的等边三角形按如图所示的规律摆放，点P从原点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着等边三角形的边→→→→…的路线运动，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是（　　）

A． B． C． D．
6．（2023·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知点，将顺着x轴无滑动的滚动．第一次滚动到①的位置，点A的对应点记作点；第二次滚动到②的位置，点的对应点记作点；第三次滚动到③的位置，点的对应点记作点；…依次进行下去，发现点，…，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
7．（2023·河南驻马店·校考一模）如图1， 中，∠，，，将放置在平面直角坐标系中，使点与原点重合，点在轴正半轴上．将按如图方式顺时针滚动无滑动，则滚动次后，点的横坐标为(　　)

A． B． C． D．
8．（2023·河南周口·校考一模）如图，正方形的4个顶点都在坐标轴上，，点P从点A出发，沿正方形的边顺时针运动，速度为，点Q从点A出发，沿正方形的边逆时针运动，速度为，记P，Q在正方形边上第一次相遇时的点为，第二次相遇时的点为，第三次相遇时的点为，…，则点的坐标为（　　）

A． B． C． D．
9．（2023·河南新乡·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交BD，BC于M，N两点；再分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线BP交CD于点F；再以B为圆心，BD的长为半径画弧，交射线BP于点E，则EF的长为（　　）

A． B． C． D．
10．（2023·河南南阳·模拟预测）《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （　　）
A．82﹢x2 = (x﹣3)2 B．82﹢(x+3)2= x2
C．82﹢(x﹣3)2= x2 D．x2﹢(x﹣3)2= 82
11．（2023·河南新乡·模拟预测）如图所示，如果将矩形纸沿虚线①对折后，沿虚线②剪开，剪出一个直角三角形，展开后得到一个等腰三角形，则展开后的等腰三角形周长是（　　）

A．12 B．18 C． D．
二、填空题
12．（2023·河南济源·统考二模）如图，已知：直角坐标系中两点，，P为线段上一动点（不与点A、B重合），作点B关于射线的对称点C，则线段的取值范围是______．
  
13．（2023·河南郑州·校考二模）如图，在中，，，，点E是边上一点，且，点F是边上一动点，连接，与关于EF所在的直线对称，连接，当点P恰好在直角直角边的垂直平分线上时，的长为______．

14．（2023·河南开封·统考一模）如图，在中，，，是边上的中线，E是边上一动点，将沿折叠得到，若点F（不与点C重合）落在的角平分线所在直线上，则的长为______．

15．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在中，，，，点D为边的中点，点P为边上任意一点，若将沿折叠得，若点E在的中位线上，则的长度为_____．

16．（2023·河南驻马店·统考一模）如图，在中，，，，点E、F分别是、上的动点，沿所在直线折叠，使点B落在上的点D处，当是以为腰的等腰三角形时，的长为 _____．

17．（2023·河南信阳·统考一模）如图，，点、分别在边、上，且，，点、分别在边、上，则的最小值是 ______ ．

18．（2023·河南商丘·校考一模）如图，中，，，，点为上一个动点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，当点落在内部（不包括边）上时，的取值范围为______．

19．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在中，，观察尺规作图的痕迹，若，则的长是______．

20．（2023·河南南阳·统考一模）如图，在中，．把沿方向平移，得到，连结，则四边形的周长为_____．


三、解答题
21．（2023·河南商丘·统考一模）在综合与实践课上，刘老师展示了一个情境，让同学们进行探究：
情境呈现：
如图1，等腰直角三角形中，，，点P为上一点，过点P作，垂足为Q，连接，点D为的中点，连接，．
特殊分析：

(1)将绕点A顺时针旋转，当点P落在上时，如图2，探究与 的数量关系；
小明同学的分析如下：
分别过点Q，C作，，垂足分别为M，N．∵和都是等腰直角三角形，，，
∴，，．
∵点D是的中点，
∴．
∴．
∴ ．
∴．
∴．
∴．
填空：
①小明判断的依据是______（填序号）；
A．   B．  C．   D．   E．
②请判断的度数为______；
一般研讨：
(2)若将绕点A在平面内顺时针旋转，如图3，与的数量关系是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变化，请证明；
拓展延伸：
(3)若，，在绕点A旋转的过程中，当时，请直接写出线段的长．
22．（2023·河南焦作·统考一模）如图，在中，，点是边上一点，，于点，交于点，若，，求CF的长．

23．（2023·河南信阳·统考一模）某数学学习小组利用卷尺和自制的测角仪测量魁星阁顶端距离地面的高度，如图所示，他们在地面一条水平步道上架设测角仪，先在点处测得魁星阁顶端的仰角是26°，朝魁星阁方向走20米到达处，在处测得魁星阁顶端的仰角是45°．若测角仪和的高度均为米，求魁星阁顶端距离地面的高度（图中的值）．（参考数据：，，，，结果精确到米）

24．（2023·河南焦作·统考一模）如图①所示，，，是上一点，，是上一点，，，，求四边形的面积．

仔细阅读下面的解法，解决问题：
【解法一】：如图②，
，，



由勾股定理得



过作，由勾股定理得

是上一点，，

解得


【解法二】：如图①，
，，



由勾股定理得





发现问题：请将你发现的问题表达出来．
分析问题：根据你提出的问题，分析是什么原因造成的？
解决问题：根据你的分析，怎样修改？请将修改后的问题，给出正确的解法．




参考答案
1．B
【分析】根据勾股定理可得的长，再由，即可求解．
【详解】解：在中，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故选：B
【点睛】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
2．A
【分析】过作于，由七巧板和正方形的性质可知，，，再利用勾股定理可得答案．
【详解】解：如图，过作于，

由七巧板和正方形的性质可知：，，
在中，由勾股定理得，，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，七巧板，勾股定理，等腰直角三角形的性质等知识，构造直角三角形利用勾股定理是解题的关键．
3．A
【分析】连接，过C点作于点M，根据平移有：，根据翻转可知：，即证明，则有，即，在中，，即可求出，即，根据对称有：，即有，可得，根据， ，可得，即，则有，根据平移可知：点C向右平移得到点F，即可求解．
【详解】连接，过C点作于点M，如图，

根据平移有：，
∴，
根据翻转，可知：，，，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，，
∴，，，，
∵在中，，
∴，
∴，即，
根据对称，点O的对应点为点C，有：，
∴，
∵，
∴，即，
∵，
∴在中，，
在中，，
∴，
∴解得：，即，
∴，
∵，
∴根据平移可知：点C向右平移得到点F，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查了三角形的翻转与平移，勾股定理，图形与坐标等知识，掌握翻转与平移的性质是解答本题的关键．
4．C
【分析】连接，过点B作，根据是等腰直角三角形得到即可求解．
【详解】解：连接，过点B作，如图所示，

由题意得：是的角平分线，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵是等腰直角三角形，点的坐标为，
∴，，
∴，
由题意得：，
∴，
∴点D的坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和角平分线的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
5．C
【分析】通过观察可得，每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，点的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…”的路线运动，1秒钟走一段，P运动每6秒循环一次，点P运动n秒的横坐标规律：1，2，3，4，5，6，…，n，点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…，确定循环的点即可．
【详解】解：过点作轴于B，

∵图中是边长为2个单位长度的等边三角形，
∴，
∴，
∴，，
同理，，
，，
，
…
∴中每6个点的纵坐标规律：，0，，0，，0，
点从原点出发，以每秒个单位长度的速度沿着等边三角形的边“…” 的路线运动，1秒钟走一段，
∴P运动每6秒循环一次，
∴点P的纵坐标规律：，0，，0，，0，…，
点P的横坐标规律： 1，2，3，4，5，6，…，，
∵，
∴点的纵坐标为，
∴点的横坐标为，
∴点的坐标，
故选C．
【点睛】本题考查点的坐标变化规律，平面直角坐标系中点的特点及等边三角形的性质，勾股定理，确定点的坐标规律是解题的关键．
6．A
【分析】先求出，再利用勾股定理求出，观察图形可得，每滚动3次，图形的形状与初始位置相同，，即一个循环走12个单位长度，据此求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴在中，由勾股定理得，
观察图形可得，每滚动3次，图形的形状与初始位置相同，
∴，
∴的横坐标为：，
∵，
∴，
∴，
∴的坐标为．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，正确理解题意找到规律是解题的关键．
7．C
【分析】根据三角形滚动规律得出每次一循环，由已知可得三角形周长为，进而可得滚动次后，点的横坐标．
【详解】解：∵∠ACB=90°，AC=1，BC=2，
∴
的周长为，
根据题意可得，每滚动次，点的横坐标增加，
，
滚动次后，点的横坐标增加了)，
滚动次后，点的横坐标为，
故选：C．
【点睛】本题考查了勾股定理，坐标规律，找到规律是解题的关键．
8．B
【分析】根据的长可计算正方形的周长，设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，根据题意列方程，即可求出经过8秒第一次相遇，求出相遇点坐标，进一步求出各相遇点坐标，直到找出三次相遇一循环，再用的余数即可求出第100次相遇点的位置可作判断．
【详解】解：正方形的周长为，
设经过秒，第一次相遇，则点走的路程为，点走的路程为，
根据题意得，
解得，
当时，、第一次相遇，此时相遇点，在第三象限；
当时，、第二次相遇，此时相遇点，在第二象限，
当时，、第三次相遇，此时相遇点在点处，
三次相遇一循环，
，
在第三象限处，其坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系上点坐标的规律，通过计算找出每一循环的相遇次数是解决本题的关键．
9．C
【分析】过点F作于Q．由勾股定理可求出．根据题意可判定BE为的平分线，又可得出，从而可得出，，进而可求出．设，则，在Rt中，根据勾股定理可列出关于x的等式，求出x，即得出FC的长，再利用勾股定理可求出BF的长，从而可求出EF的长．
【详解】如图，过点F作于Q．
∵AB＝8，BC＝6，
∴．
根据题意可知BE为的平分线，，
∴，．
∴．
设，则．
∵在Rt中，，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴．
故选：C．

【点睛】本题考查作图—角平分线，角平分线的性质和勾股定理．根据题意判断出BE为的平分线是解题关键．
10．C
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x-3）2+82=x2，
故选C．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.
11．D
【分析】按照图的示意对折，裁剪后得到的是直角三角形，虚线①为矩形的对称轴，依据对称轴的性质虚线①平分矩形的长，即可得到沿虚线②裁下的直角三角形的短直角边为10÷2﹣4=1，虚线②为斜边，据勾股定理可得虚线②为，据等腰三角形底边的高平分底边的性质可以得到，展开后的等腰三角形的底边为2，故得到等腰三角形的周长．
【详解】根据题意，三角形的底边为2（10÷2﹣4）=2，腰的平方为32+12=10，
∴等腰三角形的腰为；
∴等腰三角形的周长为：．
故选D．
12．
【分析】连接，如图，由B关于射线的对称点为C可得，得出，又P为线段上一动点（不与点A、B重合），可得，于是可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
连接，如图，
∵B关于射线的对称点为C，
∴，
∵，
∴的最小值为3（当A、O、C共线时取得最小值）；
又∵P为线段上一动点（不与点A、B重合），
∴，
∴线段的取值范围是；
故答案为：．
  
【点睛】本题考查了坐标与图形、勾股定理、对称的性质等知识，求得的最小值是解题的关键．
13．或
【分析】分两种情况①当P落在边的垂直平分线上时；②当P落在边的垂直平分线上时；由折叠的性质和勾股定理即可得出答案．
【详解】解：①当点在的垂直平分线上时，过点作于点如图1，

则
由折叠得，，
又
；
在中，
；
②当点落在边的垂直平分线上，且点在线段上时，过点作于点，如图2

则
在中，，


故答案为：或
【点睛】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质等知识；熟练掌握翻折变换的性质和勾股定理是解题的关键．
14．或
【分析】分类讨论：①当点在的角平分线上时，利用折叠的性质以及中线的性质得出，再结合中位线的性质得到是的中点，最后利用含角的直角三角形的性质计算各边的长度即可；②当点在的角平分线上时，连接，利用角平分线以及折叠的性质证明，再得到四边形是菱形，结合中线的性质以及的长计算边的长度即可．
【详解】解：如图1，当点在的角平分线上时，连接
，
，
，
由折叠可知，
，
是中线，

，
，
，
，
∴是的中点，
∵，
，

，
∵是的中点，

∴，
在中，，

，
；
如图2，当点在的角平分线上时，连接
由折叠知，，





，
，
，
，
，
；
综上所述：的长为或或，
故答案为：或．

【点睛】本题主要考查折叠的性质以及三角形全等，熟练运用含角的直角三角形的性质求各边的长度是解决本题的关键．
15．或3．
【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点E只能落和上，分别画出图形，进行分析，利用折叠的性质和勾股定理解答即可．
【详解】解：在中，，，，

①如图，设边中点为M，连接，
，，

当E在上时，
由折叠可知，，，，
，
在中，


即：
解得：
②如图，设边的中点为N，连接，

当E点落在上时，
，，

由折叠可知，
，
四边形是正方形

③如图，设、中点分别为M、N，作射线，

，
点D到的距离为
由折叠可知，

故E点不可能落在上,
综上所述，
故答案为：或3．
【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题），熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键．
16．或
【分析】分两种情况讨论：①当时，此时点C、点F重合，可得；②当时，此时点D、点C重合，可得，即可求出答案．
【详解】解：当是以为腰的三角形时，分两种情况：
①当时，如图1，

∵，
∴，
∴，
∴，
∵，且是由沿直线翻折得到，
根据翻折性质可得：，
∴点C、点F重合，
∵，，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∵点C、点F重合，
∴，
∴；
②当时，如图2，
    
∵，
∴，
∵，且是由沿直线翻折得到，
根据翻折性质可得：，
∴点D、点C重合，
∴，
∵，，
∴，
∴在中，由勾股定理得：
，
∴；
故答案为：或．
【点睛】本题考查了动点问题求线段长度，涉及到直角三角形的性质和勾股定理、折叠的性质和等腰三角形的性质和判定，运用分类讨论思想是解题关键．
17．
【分析】如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，，由，可得即为的最小值，由对称可知，，，，，则，在中，由勾股定理得，，计算求解即可．
【详解】解：如图，作关于的对称点，作关于的对称点，连接，，，，，

∴，，，当共线时取等号，
∴即为的最小值，
∴由对称可知，，，，，
∴，
在中，由勾股定理得，，
∴的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称的最短路线问题，勾股定理等知识．正确作出辅助线，找出的最小值即的长是解题的关键．
18．
【分析】先过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，再作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，此时点落在边上，求出，结合点落在内部（不包括边）上，即可得到的取值范围．
【详解】解：过点作，垂足为，以为轴折叠得到，点的对应点为点，则点落在边上，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∵在中，，
∴，
作的角平分线，交于点，以为轴折叠得到，点的对应点为点，则点落在边上，

∵由折叠可知：，
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点落在内部（不包括边），
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了轴对称中的折叠问题、含角的直角三角形的性质、勾股定理等，熟知折叠前后两个三角形全等是解答本题的关键．
19．
【分析】由已知条件可得，由作图知于点E，再根据勾股定理求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
由作图知于点E，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查作图—基本作图，解题的关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的尺规作图及等腰三角形的性质、勾股定理．
20．
【分析】通过勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，分别计算出四边形的四条边长，再计算出周长即可．
【详解】解：∵，
∴AB=2BC=4，
∴AC=，
∵把沿方向平移，得到，
∴，， ，
∴四边形的周长为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查勾股定理，平移的特性，特殊角的三角函数，能够熟练掌握勾股定理是解决本题的关键．
21．(1)①B；②
(2)不变，证明见解析
(3)或

【分析】（1）①由证即可得出结论；②由即可得出结论
（2）分别过点Q，C作，，垂足分别为M，N,连接, ，证得即可得出结论；
（3）分两种情况，当点P在的下方时，当点P在上方时，画出图，即可求解．
【详解】（1）①有题意可得：∵，，
∴
∴判断的依据是：
故选：B
②由①得：
∴
∵
∴
∴
故答案为：
（2）不变化，
证明：如图1，分别过点Q，C作，，垂足分别为M，N,连接,

由等腰直角三角形的性质可得，点M，N分别为的中点，
∵点D为的中点，
∴为的中位线，
∴， ，
又∵， ，
∴，
∵为的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵ ，
∴，即
∴，
∴
（3）的长为2或2．
当点P在的下方时，如图2，过点C作于N，连接，过点C作，交ND的延长线于H，

∵是等腰直角三角形， ，，
∴，，
∵点D是中点，
∴， ，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
由（2）可得： ；
当点P在上方时，如图3，过点C作于N，连接，过点C作，交的延长线于H，

同理可得：，
∴
∴
∴，，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的长为2或2．
【点睛】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、平行线的判定、三角形中位线定理等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
22．
【分析】过点作于点，过点作于点，证明，在，中，勾股定理得出，进而得出，根据为等腰直角三角形，勾股定理即可求解．
【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点，

，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，证明是解题的关键．
23．魁星阁顶端距离地面的高度约为米
【分析】解直角三角形求出即可解决问题．
【详解】解：由题意知，米，米，设米，在中，
米，，
米，
米，
在中，
，
，
即，
解得米，
米，
故魁星阁顶端距离地面的高度约为米．
【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24．发现问题：解法过程没有问题，但答案不同；分析问题：题干中给了多余的错误条件：“”；解决问题：去掉条件，正确的解法为解法二
【分析】根据当时，在中，，，则，可知题干中给了多余的错误条件：，去掉这个错误条件即可求解．
【详解】解：发现问题：解法过程没有问题，但答案不同；
分析问题：题干中给了多余的错误条件：，
当时，在中，，，则，
，与为锐角矛盾；
解决问题：删除，正确的解法为解法二．
【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理是解题的关键．