高中数学人教A版 (2019)必修 第二册10.1 随机事件与概率课时练习

第10章　10.1　10.1.2

A组·素养自测

一、选择题

1．一个射手进行射击，记事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，则在上述事件中，互斥而不对立的事件是(　B　)

A．A1与A2 B．A1与A3

C．A2与A3 D．以上都不对

[解析]　射手进行射击时，事件A1＝“脱靶”，A2＝“中靶”，A3＝“中靶环数大于4”，

事件A1与A2不可能同时发生，并且必有一个发生，即事件A1与A2是互斥且对立，A不是；

事件A1与A3不可能同时发生，但可以同时不发生，即事件A1与A3是互斥不对立，B是；

事件A2与A3可以同时发生，即事件A2与A3不互斥不对立，C不是，显然D不正确．

故选B．

2．从装有3个红球和2个白球的口袋中随机取出3个球，则事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是(　D　)

A．取出2个红球和1个白球

B．取出的3个球全是红球

C．取出的3个球中既有白球也有红球

D．取出的3个球不止一个红球

[解析]　从装有3个红球和1个白球的口袋中随机取出3个球可能的情况有：“3个红球”“1个红球2个白球”“2个红球1个白球”，所以事件“取出1个红球和2个白球”的对立事件是“3个红球或2个红球1个白球”即“3个球不止一个红球”，故选D．

3．下列各组事件中，不是互斥事件的是(　B　)

A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6

B．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分

C．播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒

D．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%

[解析]　A中，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；B中，当平均分等于90分时，两个事件同时发生，故B中两事件不为互斥事件；C中，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；D中，检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件．故选B．

4．(多选题)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是(　ABC　)

A．A∩D≠∅ B．B∩D＝∅

C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D

[解析]　“恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，另一种是两弹都击中，故A∩D≠∅，B∩D＝∅，A∪C＝D，A∪B≠B∪D．

5．(多选题)从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　BD　)

A．至少有1个红球与都是红球

B．至少有2个红球与都是白球

C．至少有1个红球与至少有1个白球

D．恰有1个红球与恰有2个红球

[解析]　A项中，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，所以A项不符合题意；B项中，这两个事件不能同时发生，则它们是互斥事件，若取出的3个球为1红2白，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以B项符合题意；C项中，若取出的3个球是1个红球2个白球时，它们同时发生，则它们不是互斥事件，所以C项不符合题意；D项中，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，所以D项符合题意．

二、填空题

6．给出以下三个命题：

(1)将一枚硬币抛掷两次，记事件A：“二次都出现正面”，事件B：“二次都出现反面”，则事件A与事件B是对立事件；

(2)在命题(1)中，事件A与事件B是互斥事件；

(3)在10件产品中有3件是次品，从中任取3件，记事件A：“所取3件中最多有2件是次品”，事件B：“所取3件中至少有2件是次品”，则事件A与事件B是互斥事件，其中真命题的个数是__1__．

[解析]　命题(1)是假命题，命题(2)是真命题，命题(3)是假命题．对于(1)(2)，因为抛掷两次硬币，除事件A，B外，还有“第一次出现正面，第二次发现反面”和“第一次出现反面，第二次出现正面”两个事件，所以事件A和事件B不是对立事件，但它们不会同时发生，所以是互斥事件；对于(3)，若所取的3件产品中恰有2件次品，则事件A和事件B同时发生，所以事件A和事件B不是互斥事件．

7．某人在打靶中，连续射击2次，事件A：“至少有一次中靶”，事件B：“至多有一次不中靶”，则事件A与事件B的关系是__A＝B__．

[解析]　至少有一次中靶，即有一次中靶或者两次都中靶，与至多有一次不中靶的含义相同，故A＝B．

8．抛掷一枚骰子，根据向上的点数可以定义下列事件，事件A＝{出现3点}，事件B＝{出现3点或6点}，事件C＝{出现的点数是奇数}，事件D＝{出现的点数大于3点}，则C∩D＝__{出现5点}__，A∪B＝__{出现3点或6点}__．

[解析]　因为事件C＝{出现1点或3点或5点}，事件D＝{出现4点或5点或6点}，所以C∩D＝{出现5点}，A∪B＝{出现3点或6点}．

三、解答题

9．从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．

(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；

(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；

(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．

[解析]　(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．

(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．

(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：

从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件．

10．一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球(标号为1和2)，2个绿球(标号为3和4)，从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R1＝“第一次摸到红球”，R2＝“第二次摸到红球”，R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．

(1)事件R与R1，R与G，M与N之间各有什么关系？

(2)事件R与事件G的并事件与事件M有什么关系？事件R1与事件R2的交事件与事件R有什么关系？

[解析]　(1)因为R⊆R1，所以事件R1包含事件R；

因为R∩G＝∅，所以事件R与事件G互斥；

因为M∪N＝Ω，M∩N＝∅，所以事件M与事件N互为对立事件．

(2)因为R∪G＝M，所以事件M是事件R与事件G的并事件；

因为R1∩R2＝R，所以事件R是事件R1与事件R2的交事件．

B组·素养提升

一、选择题

1．某人射击一次，设事件A为“击中环数小于4”，事件B为“击中环数大于4”，事件C为“击中环数不小于4”，事件D为“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是(　D　)

A．A与B为对立事件 B．B与C为互斥事件

C．C与D为对立事件 D．B与D为互斥事件

[解析]　“击中环数大于4”与“击中环数大于0且小于4”不能同时发生，所以为互斥事件．

2．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　B　)

A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件

C．与一定互斥 D．与一定不互斥

[解析]　利用集合Venn图可知B正确．

3．设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为(　B　)

A．H＋E＋F B．H＋E＋F

C．HE＋HF＋EF D．＋＋

[解析]　“恰有一个发生”是指三个事件中只有一个发生，同时另外两个不发生，故选B．

4.2021年某省新高考将实行“3＋1＋2”模式，即语文、数学、外语，必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．已知某同学已选了物理，记事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B(　A　)

A．是互斥事件，不是对立事件

B．是对立事件，不是互斥事件

C．既是互斥事件，也是对立事件

D．既不是互斥事件也不是对立事件

[解析]　事件A：“他选择政治和地理”，事件B：“他选择化学和地理”，则事件A与事件B不能同时发生，但能同时不发生，故事件A和B是互斥事件，但不是对立事件，故A正确．

二、填空题

5．掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是__A，B__，是对立事件的是__A，B__．

[解析]　A，B既是互斥事件，也是对立事件．

6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系：

(1)B__⊆__H；(2)D__⊆__J；(3)E__⊆__I；

(4)A__＝__G．

[解析]　当事件B发生时，H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I，而事件A与G相等，即A＝G．

三、解答题

7．设A，B，C代表随机事件，记它们的对立事件分别为，，，试用这些事件表示下列事件．

(1)A与B发生，C不发生；

(2)A，B，C恰好有两个发生；

(3)A，B，C至少有两个发生．

[解析]　(1)事件A与B同时发生，C不发生，则A，B，同时发生，故所求事件为AB．

(2)A，B，C恰好有两个发生，分为三种情况：A，B发生，C不发生；A，C发生，B不发生；B，C发生，A不发生．分别求解每种情况，然后求和．故所求事件可以表示为AB＋AC＋BC．

(3)A，B，C至少有两个发生，较第(2)问多一种情况，即A，B，C同时发生，因此所求事件可以表示为AB＋AC＋BC＋ABC．

8．在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．

(1)说明以上4个事件的关系；

(2)求两两运算的结果．

[解析]　在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6．

(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．

(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅．

B∩C＝A3＝{出现点数3}，

B∩D＝A4＝{出现点数4}．C∩D＝∅

A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，

A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，

A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．

B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．

B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．

C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}．