新教材2023年高中数学第8章立体几何初步8.4空间点直线平面之间的位置关系8.4.2空间点直线平面之间的位置关系素养作业新人教A版必修第二册

第八章　8.4　8.4.2

A组·素养自测

一、选择题

1．如图所示，用符号语言可表示为(　A　)

A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A

B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A

C．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n

D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n

[解析]　两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表示为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A．

2．异面直线是指(　D　)

A．空间中两条不相交的直线

B．分别位于两个不同平面内的两条直线

C．平面内的一条直线与平面外的一条直线

D．不同在任何一个平面内的两条直线

[解析]　对于A，空间两条不相交的直线有两种可能，一是平行(共面)，另一个是异面．∴A应排除．

对于B，分别位于两个平面内的直线，既可能平行也可能相交也可异面，如图，就是相交的情况，∴B应排除．

对于C，如图的a，b可看作是平面α内的一条直线a与平面α外的一条直线b，显然它们是相交直线，

∴C应排除．只有D符合定义．∴应选D．

3．(2022·合肥高一检测)若直线l与平面α平行，直线a⊂α，则l与a位置关系(　D　)

A．平行 B．异面

C．相交 D．没有公共点

[解析]　因为直线l与平面α平行，所以l与平面α没有公共点，又直线a⊂α，所以l与a没有公共点，故C错误，D正确；直线l与直线a没有公共点，则l与a可能平行，也可能异面，故A与B错误．

4．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BD和CD的中点，长方体的各棱中与EF平行的有(　D　)

A．1条　　　 B．2条　　　

C．3条　　　 D．4条

[解析]　如图所示

∵E、F分别为BD、CD的中点，∴EF∥BC，

又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1，同理，EF∥A1D1，EF∥AD．

5．平面α∥平面β，直线a∥α，则(　D　)

A．a∥β B．a在平面β内

C．a与β相交 D．a∥β或a⊂β

[解析]　如图(1)满足a∥α，α∥β，此时a∥β；

如图(2)满足a∥α，α∥β，此时a⊂β，故选D．

二、填空题

6．两个不重合的平面可以把空间分成__三或四__部分．

[解析]　两平面平行时，把空间分成三部分．两平面相交时，把空间分成四部分．

7．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中判断下列位置关系：

(1)AD1所在的直线与平面BCC1的位置关系是__平行__；

(2)平面A1BC1与平面ABCD的位置关系是__相交__．

8．在图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有__(2)(4)__．

[解析]　如题干图(1)中，直线GH∥MN；图(2)中，G，H，N三点共面，但M∉面GHN，因此直线GH与MN异面；图(3)中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；图(4)中，G，M，N共面，但H∉面GMN，所以GH与MN异面，所以图(2)、(4)中GH与MN异面．

三、解答题

9．已知三个平面α、β、γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c⊂β，c∥b．

(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；

(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．

[解析]　(1)c∥α，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又c⊂β，所以c与α无公共点，所以c∥α．

(2)c∥a，因为α∥β，所以α与β没有公共点．又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a⊂α，b⊂β，且a、b⊂γ，所以a、b没有公共点．由于a，b都在平面γ内，因此a∥b．又c∥b，所以c∥a．

10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，试判断下列各对线段所在直线的位置关系．

(1)AB与CC1；

(2)A1B1与DC；

(3)D1E与CF．

[解析]　(1)AB与CC1是异面直线．

(2)A1B1与DC是平行直线．

(3)D1E与CF是相交直线．

B组·素养提升

一、选择题

1．下列说法中正确的是(　B　)

A．若两直线无公共点，则两直线平行

B．若两直线不是异面直线，则必相交或平行

C．过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线

D．和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线

[解析]　对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图的三棱锥A－BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确．

2．直线a在平面γ外，则(　D　)

A．a∥γ B．a与γ至少有一个公共点

C．a∩γ＝A D．a与γ至多有一个公共点

[解析]　直线a在平面γ外，包括两种情况，一种是平行，另一种相交，故选D．

3．(多选题)若平面α∥平面β，则(　AD　)

A．平面α内任一条直线与平面β平行

B．平面α内任一条直线与平面β内任一条直线平行

C．平面α内存在一条直线与平面β不平行

D．平面α内一条直线与平面β内一条直线不可能相交

4．(多选题)如图所示的是一个正方体的平面展开图，如果将它还原为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有(　ABC　)

A．AB与CD B．AB与GH

C．EF与GH D．EF与CD

题图　　　　　　　答图

[解析]　将平面图形还原成正方体后如图所示，其中AB与CD异面，AB与GH异面，EF与GH异面．

二、填空题

5．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内．则下列说法正确的是__①__(填序号)．

①若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；

②若平面α和平面β相交，则直线a和直线b相交．

[解析]　若直线a，b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b．又a⊂α，b⊂β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，则a，b可能相交，也可能异面或平行．

6．已知点A在直线l上，l在平面α外，点B不在直线l上，l在平面β内，下列表示正确的有①③⑥⑧．(填序号)

①A∈l，②A⊂l，③B∉l，④B⊄l，⑤l⊂α，⑥l⊄α，⑦l⊄β，⑧l⊂β．

[解析]　∵点A在直线l上，直线l在平面α外，点B不在直线l上，l在平面β内，

∴A∈l，l⊄α，B∉l，l⊂β．

故正确的为①③⑥⑧．

三、解答题

7．设a，b是异面直线，在a上任取两点A1，A2，在b上任取两点B1，B2，

试证：A1B1与A2B2也是异面直线．

[解析]　假设A1B1与A2B2不是异面直线．则A1B1与A2B2确定一个平面α，所以A1，B1，A2，B2∈α，所以A1A2⊂α，B1B2⊂α，所以a⊂α，b⊂α，所以a，b共面于α，与a，b是异面直线矛盾，所以假设不成立，所以A1B1与A2B2也是异面直线．

8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AA1的中点，画出过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线，并说明理由．

[解析]　如图，取AB的中点F，连接EF、A1B、CF．

∵E是AA1的中点，∴EF∥A1B．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，

∴四边形A1BCD1是平行四边形．

∴A1B∥CD1，∴EF∥CD1．∴E、F、C、D1四点共面．

∵E∈平面ABB1A1，E∈平面D1CE，

F∈平面ABB1A1，F∈平面D1CE，

∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF．

∴过D1、C、E的平面与平面ABB1A1的交线为EF．