新教材2023年高中数学第5章三角函数5.6函数y＝Asinωx+φ素养作业新人教A版必修第一册

第五章　5.6

A　组·素养自测

一、选择题

1．用“五点法”作函数y＝cos在一个周期内的图象时，第四个关键点的坐标是(　A　)

A．　 B．

C． D．

[解析]　令4x－＝，得x＝.∴该点坐标为.

2．将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到的图象的函数解析式是(　C　)

A．y＝sin 　　 B．y＝sin x－

C．y＝sin  D．y＝sin x＋

[解析]　函数y＝sin x的图象向左平移个单位，得到y＝sin 的图象．

3．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则A，ω的值分别为(　A　)

A．2，2 B．2，1

C．4，2 D．2，4

[解析]　由函数的图象可得A＝2，T＝－＝π，

∴ω＝＝2，故选A．

4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象关于直线x＝对称，且f＝0，则ω的最小值为(　A　)

A．2 B．4　

C．6 D．8

[解析]　函数f(x)的周期T≤4＝π，

则≤π，解得ω≥2，故ω的最小值为2.

5．已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　D　)

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2

[解析]　C1：y＝cos x＝sin.

即y＝sin

y＝sin

＝sin 2

y＝sin 2＝sin 2.

6．将函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标保持不变，再将所得图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)的图象，则y＝f(x)的一个对称中心是(　B　)

A． B．

C． D．

[解析]　函数y＝sin的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍得到图象的解析式为：y＝sin，再向右平移个单位得到图象的解析式y＝sin＝sin 2x，当x＝时，y＝sin π＝0，所以是函数y＝sin 2x的一个对称中心．故选B．

二、填空题

7．简谐振动s＝3sin，在t＝时的位移s＝．初相φ＝．

[解析]　当t＝时，s＝3sin＝3×＝.

8．把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将图象向右平移个单位，所得函数的解析式为y＝－cos__2x．

[解析]　把函数y＝sin图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，可得y＝sin的图象；再将图象向右平移个单位，可得y＝sin＝sin＝－cos 2x的图象．

9．(2021·全国高考甲卷文科)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f＝－．

[解析]　由题意可得：T＝－＝，∴T＝π，ω＝＝2，

当x＝时，ωx＋φ＝2×＋φ＝2kπ，

∴φ＝2kπ－π(k∈Z)，

令k＝1可得：φ＝－，据此有：f(x)＝2cos，f＝2cos＝2cos＝－.故答案为：－.

三、解答题

10．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一个周期内的图象如图，求该函数的一个解析式．

[解析]　方法一(最值点法)：由图象知函数的最大值为，最小值为－，又A>0，

∴A＝.由图象知＝－＝，∴T＝π＝，∴ω＝2.

又＝，

∴图象上的最高点为，

∴＝sin，

即sin＝1，可取φ＝－，

故函数的一个解析式为y＝sin.

方法二(五点对应法)：由图象知A＝，又图象过点，，根据五点作图法原理(以上两点可判断为五点作图法中的第一点与第三点)得

解得

故函数的一个解析式为y＝sin.

11．已知函数y＝3sin.

(1)用“五点法”画函数的图象；

(2)说出此图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到的．

[解析]　(1)列表：

描点：在坐标系中描出下列各点，，，，.

连线：将所得五点用光滑的曲线连接起来，得到所求函数的图象，如图所示．

这样就得到了函数y＝3sin在一个周期内的图象，再将这部分图象向左或向右平移4kπ(k∈Z)个单位长度，得函数y＝3sin的图象．

(2)①把y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，得到y＝sin的图象；

②把y＝sin图象上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝sin的图象；

③将y＝sin的图象上所有的点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y＝3sin的图象．

B　组·素养提升

一、选择题

1．(2021·全国高考乙卷理科)把函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f(x)＝(　B　)

A．sin B．sin

C．sin D．sin

[解析]　解法一：函数y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f(2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f的图象，

根据已知得到了函数y＝sin的图象，

所以f＝sin，

令t＝2，则x＝＋，x－＝＋，

所以f(t)＝sin，所以f(x)＝sin.

解法二：由已知的函数y＝sin逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到y＝sin＝sin的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y＝sin的图象，

即为y＝f(x)的图象，所以f(x)＝sin.

故选B．

2．函数f(x)＝Asin(2x＋φ)的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是(　B　)

A．点 B．点

C．点 D．点

[解析]　由函数图象知A＝2，由图象过点(0，)，可得2sin φ＝，即sin φ＝.

由于|φ|<，得φ＝，即f(x)＝2sin.

由2x＋＝kπ，k∈Z可解得x＝－，k∈Z.

故f(x)的图象的对称中心点，k∈Z.

当k＝0时，f(x)的图象的一个对称中心是点.

3．(多选题)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，将函数f(x)图象向左平移个单位长度后所得的函数图象过点P(0，1)，则函数f(x)＝sin(2x＋φ)(　BD　)

A．在区间上单调递减

B．在区间上单调递增

C．在区间上单调递减

D．在区间上单调递增

[解析]　将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin，函数f(x)的图象过点P(0，1)，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z；所以φ＝－＋2kπ，k∈Z；因为－π<φ<0，所以φ＝－；所以函数f(x)＝sin，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z；解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z；所以f(x)在，上单调递增．

4．(多选题)(2021·山东济南高一月考)将函数f(x)＝sin 2x的图象向左平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，则(　AD　)

A．g(x)在上的最小值为－

B．g(x)在上的最小值为－1

C．g(x)在上的最大值为

D．g(x)在上的最大值为1

[解析]　f(x)左移个单位，得到函数g(x)＝sin 2，即g(x)＝sin，当0≤x≤时，≤2x＋≤，故－≤sin≤1，当2x＋＝，x＝时g(x)max＝1，当2x＋＝，x＝时g(x)min＝－.故选AD．

二、填空题

5．将函数y＝cos 2x的图象向左平移个单位，所得图象对应的解析式为y＝cos．

6.已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝－．

[解析]　由函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)是奇函数，可得φ＝，则f(x)＝Acos＝－Asin ωx(A>0，ω>0)．由△EFG是边长为2的等边三角形，可得A＝，周期T＝4＝，ω＝，则f(x)＝－sinx，∴f(1)＝－.

7．设函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为π，且其图象关于直线x＝对称，则在下面四个结论：①图象关于点对称；②图象关于点对称；③在上是增函数；④在上是增函数中，所有正确结论的编号为②④．

[解析]　∵T＝π，∴ω＝2.又2×＋φ＝kπ＋，∵φ＝kπ＋.∵φ∈，∴φ＝，∴y＝sin.由图象及性质可知②④正确．

三、解答题

8．已知函数f(x)＝sin ＋.

(1)求f(x)的振幅、最小正周期及单调增区间；

(2)求f(x)的图象的对称轴方程和对称中心；

(3)求f(x)的最小值及取得最小值时的x的取值集合．

[解析]　(1)函数f(x)的振幅为，最小正周期T＝＝π.

由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

(2)令2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，

所以对称轴方程为x＝＋(k∈Z)；

令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

所以对称中心为(k∈Z)．

(3)当sin＝－1，

即2x＋＝－＋2kπ(k∈Z)，

所以x＝－＋kπ(k∈Z)时，f(x)的最小值为，此时x的取值集合是.

9．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与y轴的交点为(0，1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0，2)和(x0＋2π，－2)．

(1)求f(x)的解析式及x0的值；

(2)求f(x)的单调增区间；

(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．

[解析]　(1)由题意作出f(x)的简图如图．

由图象知A＝2，由＝2π，得T＝4π，

∴4π＝，即ω＝，

∴f(x)＝2sin，

∴f(0)＝2sin φ＝1，

又∵|φ|<，∴φ＝，

∴f(x)＝2sin.

∵f(x0)＝2sin＝2，

∴x0＋＝＋2kπ，k∈Z.

∴x0＝4kπ＋，k∈Z，

又(x0，2)是y轴右侧的第一个最高点，

∴x0＝.

(2)由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，

得－＋4kπ≤x≤＋4kπ，k∈Z，

∴f(x)的单调增区间为(k∈Z)．

(3)∵－π≤x≤π，∴－≤x＋≤，

∴－≤sin≤1，∴－≤f(x)≤2，

故f(x)的值域为[－，2]．