中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习04（含答案）

中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习04

1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AE∥CF，且分别交对角线BD于点E，F.

求证：AE＝CF.

2.如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF．

(1)求证D是BC的中点；

(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD是什么四边形，并证明你的结论．

3.已知平行四边形ABCD中，AB＝5，AD＝12，BD＝13．

求证：平行四边形ABCD是矩形.

4.如图，在△ABC中，D.E分别是AB.AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF.

(1)求证：四边形BCFE是菱形；[来%

(2)若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积.

5.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD.

（1）求证：△ADE≌△CBF.

（2）若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论.

6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线与BE的延长线相交于点F，连接CF．

(1)求证：四边形CDAF为平行四边形；

(2)若∠BAC＝90°，AC＝AF，且AE＝2，求线段BF的长．

7.如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，过点F作FG∥CE，且FG＝CE，连结DG，EG，BG，CG.

(1)试判断四边形EGFC的形状；

(2)求证：△DCG≌△BEG；

(3)试求出∠BDG的度数．

8.为判断命题“有三条边相等且一组对角相等的四边形是菱形”的真假，数学课上，老师给出菱形ABCD如图1，并作出了一个四边形ABC′D.具体作图过程如下：

如图2，在菱形ABCD中，

①连接BD，以点B为圆心，以BD的长为半径作圆弧，交CD于点P；

②分别以B.D为圆心，以BC.PC的长为半径作圆弧，两弧交于点C′.

③连接BC′、DC′，得四边形ABC′D.

依据上述作图过程，解决以下问题：

(1)求证：∠A=∠C′；AD=BC′.

(2)根据作图过程和(1)中的结论，说明命题“有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是________命题.(填写“真”或“假”)

9.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°.

得到△ADE，连接BD，CE交于点F.

(1)求证：△ABD≌△ACE；

(2)求∠ACE的度数；

(3)求证：四边形ABFE是菱形.

10.如图1，2，四边表ABCD是正方形，M是AB延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动(点E不与点A，B重合)，另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

⑴如图1，当点E在AB边的中点位置时：

①通过测量DE，EF的长度，猜想DE与EF满足的数量关系是          ；

②连接点E与AD边的中点N，猜想NE与BF满足的数量关系是              ；

③请证明你的上述两猜想。

⑵如图2，当点E在AB边上的任意位置时，请你在AD边上找到一点N，使得NE=BF，

进而猜想此时DE与EF有怎样的数量关系。

0.中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习04（含答案）答案解析

一         、解答题

1.证明：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，AD＝BC，

∴∠ADE＝∠CBF，

∵AE∥CF，

∴∠AEF＝∠CFE，

∴∠AED＝∠CFB，

∴△ADE≌△CBF，

∴AE＝CF.

2.证明：(1)∵AF∥BD，

∴∠AFE＝∠DCE．

∵E是AD的中点，

∴AE＝DE． 

又∵∠AEF＝∠DEC，

∴△AEF≌△DEC(AAS)．

∴DC＝AF． 

又∵AF＝BD，

∴BD＝DC．

∴D是BC的中点．    

(2)四边形AFBD是矩形． 

证明：∵AF＝BD，AF∥BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．  

∵AB＝AC，D是BC的中点，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB＝90°． 

∴四边形AFBD是矩形．

3.解：∵AB＝5，AD＝12，BD＝13．

∴AB2＋AD2＝BD2，

∴∠BAD＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴平行四边形ABCD是矩形.

4. (1)证明：∵D.E分别是AB.AC的中点，

∴DE∥BC且2DE=BC，

又∵BE=2DE，EF=BE，

∴EF=BC，EF∥BC，

∴四边形BCFE是平行四边形，

又∵BE=FE，

∴四边形BCFE是菱形；

(2)解：∵∠BCF=120°，

∴∠EBC=60°，

∴△EBC是等边三角形，

∴菱形的边长为4，高为2，

∴菱形的面积为4×2=8.

5.（1）证明：在平行四边形ABCD中，∠A=∠C，AD=BC，

∵E、F分别为AB、CD的中点，∴AE=CF.

在△AED和△CFB中，AD=BC,∠A=∠C,AE=CF.

∴△AED≌△CFB（SAS）；

（2）解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形.

证明：∵AD⊥BD，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°.

∵E是AB的中点，∴DE=0.5AB=BE.

由题意可知EB∥DF且EB=DF，∴四边形BFDE是平行四边形.

∴四边形BFDE是菱形.

6.解：(1)∵E是AD的中点，

∴AE＝ED，

∵AF∥BC，

∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，

∴△AFE≌△DBE，

∴AF＝BD，

∵AD是BC边中线，

∴CD＝BD，

∴AF＝CD，

∴四边形CDAF是平行四边形，

(2)如图过F点作FG⊥AB交BA的延长线于点G．

∵∠CAB＝90°，AD是BC边中线，

∴AD＝CD

又∵AC＝AF，AF＝CD，

∴AC＝AD＝CD，

∴△ACD是等边三角形，

∴∠ACB＝60°，

∴∠ABC＝30°，

又∵AF∥BC，

∴∠ABC＝∠FAG＝30°

∵AE＝2，

∴AD＝AC＝AF＝4，

∴在Rt△FAG和Rt△CAB中，

FG＝2，AG＝2，AB＝4，

∴GB＝AG＋BG＝6

∴在Rt△FBG中，BF＝4．

7.解：(1)∵FG∥CE且FG＝CE，

∴四边形EGFC是平行四边形．

(2)证明：∵在平行四边形ABCD中，∠ABC＝120°，AF平分∠BAD，AD∥BC，

∴∠BAE＝∠DAE＝∠AEB＝30°，

∴AB＝BE，∠CEF＝30°.

又∵∠DCB＝180°－120°＝60°，

∴∠CFE＝30°.

∴∠CEF＝∠CFE.

∴CF＝CE.

∵四边形EGFC是平行四边形，

∴CF∥EG，CF＝EG.

∴∠CEG＝∠DCB＝60°，CE＝EG.

∴△CEG是等边三角形，∠BEG＝120°.

∴CG＝EG，∠ECG＝60°.

∴∠DCG＝120°，

∴∠DCG＝∠BEG.

又∵DC＝AB＝BE，

∴△DCG≌△BEG.

(3)解：∵△DCG≌△BEG，

∴DG＝BG，∠CGD＝∠EGB，

∴∠BGD＝∠EGB＋∠DGE＝∠CGD＋∠EGD＝∠EGC＝60°，

∴△BDG是等边三角形，

∴∠BDG＝60°

8.证明：连接BP，如图所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AD=BC，∠A=∠BCD，

根据题意得：BC=B′C，BD=BP，DC′=PC，

∴AD=BC′，

在△BPC和△BDC′中，

，

∴△BPC≌△BDC′(SSS)，

∴∠BCD=∠C′，

∴∠A=∠C′；

(2)由(1)可知四边形ABC′D中，AB=AD=BC′，∠A=∠C，

但四边形ABC′D不存在，易证A.D.C′共线，

所以有三条边相等且有一组对顶角相等的四边形是菱形”是真命题.

故答案为：真.

9.证明：(1)∵△ABC绕点A按逆时针方向旋转100°，

∴∠BAC＝∠DAE＝40°，

∴∠BAD＝∠CAE＝100°，

又∵AB＝AC，

∴AB＝AC＝AD＝AE，

在△ABD与△ACE中

∴△ABD≌△ACE(SAS).

(2)解：∵∠CAE＝100°，AC＝AE，

∴∠ACE＝40°；

(3)证明：∵∠BAD＝∠CAE＝100°AB＝AC＝AD＝AE，

∴∠ABD＝∠ADB＝∠ACE＝∠AEC＝40°.

∵∠BAE＝∠BAD+∠DAE＝140°，

∴∠BFE＝360°﹣∠BAE﹣∠ABD﹣∠AEC＝140°，

∴∠BAE＝∠BFE，

∴四边形ABFE是平行四边形，

∵AB＝AE，

∴平行四边形ABFE是菱形.

10.解：⑴①DE=EF；②NE=BF。

③证明：∵四边形ABCD是正方形，N，E分别为AD，AB的中点，

∴DN=EB

∵BF平分∠CBM，AN=AE，∴∠DNE=∠EBF=90°+45°=135°

∵∠NDE+∠DEA=90°，∠BEF+∠DEA=90°，∴∠NDE=∠BEF

∴△DNE≌△EBF

∴ DE=EF，NE=BF

⑵在DA边上截取DN=EB(或截取AN=AE)，连结NE，点N就使得NE=BF成立(图略)

此时，DE=EF.