中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习03（含答案）

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中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习031.如图所示，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.      2.如图，在▱ABCD中，DE⊥AB，BF⊥CD，垂足分别为E，F．(1)求证：△ADE≌△CBF；(2)求证：四边形BFDE为矩形．      3.如图，已知在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF，DF∥BE.求证：四边形ABCD为平行四边形.      4.如图所示，在▱ABCD中，E为AD的中点，△CBE是等边三角形.求证：▱ABCD是矩形.      5.如图，已知在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F.求证：四边形AFCE是菱形.      6.如图，延长平行四边形ABCD的边DC到点E，使CE＝DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．(1)求证：BF＝CF；(2)若AB＝2，AD＝4，且∠AFC＝2∠D，求平行四边形ABCD的面积．      7.如图，在▱ABCD中，E是AD上一点，连接BE，F为BE中点，且AF＝BF，(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)过点F作FG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若BE＝BC，S△BFG＝5，CD＝4，求CG．       8.如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．(1)求证：△AEF≌△BEC；(2)判断四边形BCFD是何特殊四边形，并说出理由；(3)如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，若BC＝1，求AH的长．       9.如图所示,在菱形ABCD中,AB=2,∠DAB=60°,点E是AD边的中点,点M是AB边上一动点(不与点A重合),延长ME交射线CD于点N,连接MD,AN.(1)求证:四边形AMDN是平行四边形;(2)①当AM为何值时,四边形AMDN是矩形?②当AM为何值时,四边形AMDN是菱形? 10.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15，sin∠A=，点D是BC的中点，点P是AB上一动点(不与点B重合)，延长PD至E，使DE=PD，连接EB、EC.(1)求证；四边形PBEC是平行四边形；(2)填空：①当AP的值为　   　时，四边形PBEC是矩形；②当AP的值为　   　时，四边形PBEC是菱形.    
0.中考数学三轮冲刺《四边形》解答题冲刺练习03（含答案）答案解析  一         、解答题1.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠ABE＝∠CDF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB＝∠CFD＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴BE＝DF. 2.证明：(1)∵DE⊥AB，BF⊥CD，∴∠AED＝∠CFB＝90°，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∠A＝∠C，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF(AAS)；(2)∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD∥AB，∴∠CDE＋∠DEB＝180°，∵∠DEB＝90°，∴∠CDE＝90°，∴∠CDE＝∠DEB＝∠BFD＝90°，则四边形BFDE为矩形． 3.证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC，∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，∴∠AEB＝∠DFC，在△AEB和△CFD中，∴△AEB≌△CFD(ASA)，∴AB＝CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形. 4.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB＝DC，∴∠D＋∠A＝180°，∵E是AD边的中点，∴AE＝DE，∵△CBE是等边三角形，∴BE＝CE，在△ABE和△DCE中，AB＝DC；AE＝DE；BE＝CE，∴△ABE≌△DCE(SSS)，∴∠A＝∠D，∵∠D＋∠A＝90°，∴∠D＝∠A＝90°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴▱ABCD是矩形. 5.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，EF垂直平分AC，∴OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°，AE∥CF.∴∠EAO＝∠FCO.∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∴四边形AFCE是平行四边形.又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形. 6.证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，BC＝AD，∵CE＝DC，∴AB＝EC，AB∥EC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BF＝CF；(2)解：∵由(1)知，四边形ABEC是平行四边形，∴FA＝FE，FB＝FC．∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＝∠D．又∵∠AFC＝2∠D，∴∠AFC＝2∠ABC．∵∠AFC＝∠ABC＋∠BAF，∴∠ABC＝∠BAF，∴FA＝FB，∴FA＝FE＝FB＝FC，∴AE＝BC，∴四边形ABEC是矩形，∴∠BAC＝90°，∵BC＝AD＝4，∴AC＝2，∴平行四边形ABCD的面积＝AB•AC＝2×2＝4． 7.证明：(1)∵F为BE中点，AF＝BF，∴AF＝BF＝EF，∴∠BAF＝∠ABF，∠FAE＝∠AEF，在△ABE中，∠BAF＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°，∴∠BAF＋∠FAE＝90°，又四边形ABCD为平行四边形，∴四边形ABCD为矩形.(2)解：连接EG，过点E作EH⊥BC，垂足为H，∵F为BE的中点，FG⊥BE，∴BG＝GE，∵S△BFG＝5，CD＝4，∴S△BGE＝10＝0.5BGEH，∴BG＝GE＝5，在Rt△EGH中，GH＝3，在Rt△BEH中，BE＝4＝BC，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣5． 8.证明：(1)①在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°．在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°．∵E为AB的中点，∴AE＝BE．又∵∠AEF＝∠BEC，∴△AEF≌△BEC．(2)在△ABC中，∠ACB＝90°，E为AB的中点，∴CE＝AB，BE＝AB．∴CE＝AE，∴∠EAC＝∠ECA＝30°，∴∠BCE＝∠EBC＝60°．又∵△AEF≌△BEC，∴∠AFE＝∠BCE＝60°．又∵∠D＝60°，∴∠AFE＝∠D＝60°．∴FC∥BD．又∵∠BAD＝∠ABC＝60°，∴AD∥BC，即FD∥BC．∴四边形BCFD是平行四边形(3)解：∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2．∴AD＝AB＝2．设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝22﹣12＝3，在Rt△ACH中，AH2＋AC2＝HC2，即x2＋3＝(2﹣x)2，解得x＝，即AH＝． 9. (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴ND∥AM,∴∠NDE=∠MAE,∠DNE=∠AME.又∵点E是AD边的中点,∴DE=AE,∴△NDE≌△MAE,∴ND=MA,∴四边形AMDN是平行四边形.(2)①当AM=1时,四边形AMDN是矩形.理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2.当AM=1=AD时,可得∠ADM=30°.∵∠DAM=60°,∴∠AMD=90°,∴平行四边形AMDN是矩形.②当AM=2时,四边形AMDN是菱形.理由如下:∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD=2.∵AM=2,∴AM=AD=2,又∠DAM=60°,∴△AMD是等边三角形,∴AM=DM,∴平行四边形AMDN是菱形.10.解：∵点D是BC的中点，∴BD=CD，∵DE=PD，∴四边形PBEC是平行四边形； (2)①当∠APC=90°时，四边形PBEC是矩形，∵AC=15.sin∠A=，∴PC=12，由勾股定理得AP=9，∴当AP的值为9时，四边形PBEC是矩形；②∵在△ABC中，∠ACB=90°，AC=15.sin∠A=，所以设BC=4x，AB=5x，则(4x)2+152=(5x)2，解得：x=5，∴AB=5x=25，当PC=PB时，四边形PBEC是菱形，此时点P为AB的重点，所以AP=12.5，∴当AP的值为12.5时，四边形PBEC是菱形.