高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.3 二次函数与一元二次方程、不等式同步训练题

一元二次不等式及其解法

1．存在实数x，使得不等式x2－ax＋1<0成立，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－2，2]

B．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

C．(－2，2)

D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)

2．(2020届湖南衡阳第八中学高三上学期月考)设x∈R，则“x2＋x－2>0”是“1<x<5”的(　　)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

3．不等式≤3的解集是(　　)

A.　　　           　B.

C.                   D.

4．若集合A＝{x|ax2－ax＋1<0}为空集，则实数a的取值范围是(　　)

A．{a|0<a<4}       B．{a|0≤a<4}

C．{a|0<a≤4}       D．{a|0≤a≤4}

5．(2020届安徽江淮十校高三上学期第一次联考)已知集合A＝{y|y＝x＋，x≠0}，集合B＝{x|x2－4≤0}，若A∩B＝P，则集合P的子集个数为(　　)

A．2　　 　　B．4　　　 　C．8　　 　　D．16

6．(2020届湖北荆门两校高三9月月考)若对任意x∈[1，5]，存在实数a，使2x≤x2＋ax＋b≤6x(a∈R，b>0)恒成立，则实数b的最大值为(　　)

A．9     B．10     C．11     D．12

7．若不等式x2＋ax＋2≥0对一切x∈(0，]成立，则a的最小值为(　　)

A．－      B．－2     C．－     D．－3

8．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份增长x%，八月份销售额比七月份增长x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．

9．若0<a<1，则不等式(a－x)(x－)>0的解集是________．

10．当m∈[－1，1]时，不等式2x2＋mx－3＜0恒成立，则实数x的取值范围是________．

11．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.

(1)若该不等式的解集为(－4，2)，求a，b的值；

(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．

12．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税，为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M征收的税率为p%(即每百元征收p元)时，每年的销售量减少10p万件．

(1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元，求p的取值范围．

(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定p值？

(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定p的值？

参考答案

1．D

解析：由题意得Δ＝a2－4>0，解得a＜－2或a＞2，所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．故选D.

2．B

解析：解不等式x2＋x－2>0，得x<－2或x>1.∵{x|1<x<5}是{x|x<－2或x>1}的真子集，因此，“x2＋x－2>0”是“1<x<5”的必要不充分条件．故选B.

3．A

解析：移项，得－3≤0.通分，得≤0，即≥0，此式子等价于不等式(2x－1)x≥0对应方程的两根为0和，根据一元二次不等式的解法，可得x≤0或x≥.又因为x≠0，所以原不等式的解集为. 故选A.

4．D

解析：由题意知，当a＝0时，满足条件；当a≠0时，由得0<a≤4，所以0≤a≤4.故选D.

5．B

解析：当x>0时，y＝x＋≥2＝2；当x<0时，y＝x＋＝－≤－2＝－2.所以集合A＝{y|y≤－2或y≥2}．集合B＝{x|x2－4≤0}＝{x|－2≤x≤2}，∴P＝A∩B＝{－2,2}，即集合P有两个元素，因此，集合P的子集个数为22＝4.故选B.

6．A

解析：由x∈[1,5]时，2x≤x2＋ax＋b≤6x恒成立，可得－x2＋2x≤ax＋b≤－x2＋6x，令f(x)＝－x2＋2x(1≤x≤5)，g(x)＝－x2＋6x(1≤x≤5), 可得f(x)，g(x)图象如图所示．要使b最大，则y＝ax＋b图象必过A(1,5)，且与y＝f(x)图象相切于点B，则此时b＝5－a，即直线方程为y＝ax＋5－a，联立得 x2＋(a－2)x＋5－a＝0，∴Δ＝(a－2)2－4(5－a)＝0，解得a2＝16. 由图象可知a<0，∴a＝－4，∴bmax  ＝5－(－4)＝9.故选A.

7．A

解析：不等式x2＋ax＋2≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥－x－对于一切x∈(0，]成立．设y＝－x－，x∈(0，] .∵y′＝－1＋＞0，∴y＝－x－在(0，]上是增函数，∴y＝－x－≤－－＝－，∴a≥－，∴a的最小值为－.故选A.

8．20

解析：根据题意，可得3 860＋500＋2[500×(1＋x%)＋500×(1＋x%)2]≥7 000.整理化简，可得(1＋x%)2＋(1＋x%)－≥0，即(1＋x%)－(1＋x%)＋≥0，解得(1＋x%)－≥0，从而x≥20，即x的最小值为20.

9.　解析：原不等式可变为(x－a)<0，由0<a<1，得a<，∴a<x<.

10．(－1,1)　解析：变换主元，构造函数f(m)＝xm＋2x2－3.∵m∈[－1,1]时，不等式2x2＋mx－3＜0恒成立，∴即∴x∈(－1,1)．

11．解：(1)根据题意得

解得a＝－2，b＝8.

(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，

即[x－(a＋1)](x＋1)<0.

当a＋1＝－1，即a＝－2时，原不等式的解集为∅；

当a＋1<－1，即a<－2时，原不等式的解集为(a＋1，－1)；

当a＋1>－1，即a>－2时，原不等式的解集为(－1，a＋1)．

12．解：税率为p%时，销量为(80－10p)万件，设f(p)为税率为p%时M每年的销售额，即f(p)＝80(80－10p)，税金为80(80－10p)·p%，其中0＜p＜8.

(1)由

解得2≤p≤6.

(2)因为f(p)＝80(80－10p)(2≤p≤6)为减函数，

所以当p＝2时，销售金额最大，为f(2)＝4 800(万元)．

(3)因为0＜p＜8，g(p)＝80(80－10p)·p%＝－8(p－4)2＋128，

所以当p＝4时，国家每年税收金额最高，为128万元．