高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第二章 一元二次函数、方程和不等式2.2 基本不等式课后测评

基本不等式

一、选择题

1．若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)

A．3＋2　　　　　　B．3＋

C．2＋2     D．3

2．(多选题)下列不等式的证明过程错误的是(　　)

A．若a，b∈R，则＋≥2＝2

B．若a<0，则a＋≥－2＝－4

C．若a，b∈(0，＋∞)，则lg a＋lg b≥2

D．若a∈R，则2a＋2－a≥2＝2

3．有一批材料可以建成80 m的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的小矩形(如图所示)，且围墙厚度不计，则围成的矩形的最大面积为(　　)

A．200 m2   B．360 m2              C．400 m2   D．480 m2

4．(2020届四川仁寿一中等西南四八校高三9月份联考)若x>0，y>0，x＋2y＝1，则的最大值为(　　)

A.     B.   C.     D.

5．已知a>0，b>0，若不等式＋≥恒成立，则n的最大值等于(　　)

A．10   B．9   C．8   D．7

6．设正数x，y满足x>y，x＋2y＝3，则＋的最小值为(　　)

A.     B．3    C.    D.

二、填空题

7．设a＞0，若对于任意x＞0，都有－≤2x，则a的取值范围是________．

8．(2020届河北张家口高三上学期入学摸底联合考试)设x>0，y>0，且(x－)2＝，则当x＋取最小值时，x2＋＝________．

9．已知实数x>0，y>0，且满足xy＋x＋2y＝4，则x＋2y的最小值为________．

10．已知a，b∈R，且a>b>0，a＋b＝1，则a2＋2b2的最小值为________，＋的最小值为________．

11．在平面直角坐标系xOy中，定义两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的折线距离为d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|，已知点O(0，0)，C(x，y)，d(O，C)＝1，则的最小值为________．

参考答案

1．A

解析：因为2m＋n＝1，则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当＝，即n＝m时等号成立，所以＋的最小值为3＋2.故选A.

2．ABC

解析：选项A中当<0时不等式不成立，故错误．选项B中因为a<0，故错误．选项C中若0<a<1,0<b<1，则lg a<0，lg b<0，故错误．选项D中的不等式成立，故正确．故选ABC.

3．C

解析：设每个小矩形长为x米，宽为y米，则有4x＋3y＝80(0＜x＜20)，围成的矩形的面积S＝3xy＝≤()2＝400，当且仅当4x＝3y＝40时，等号成立，即围成的矩形的最大面积为400 m2.故选C.

4．C

解析：x＋2y＝1⇒y＝，＝.设3x＋1＝t⇒x＝(1<t<4)，原式＝＝－≤－2＝，当＝⇒t＝2，即x＝，y＝时有最大值为.故选C.

5．B

解析：a>0，b>0，由＋≥，得＋·(2a＋b)≥n.又＋·(2a＋b)＝4＋＋＋1＝5＋＋≥5＋2＝9，故n≤9.故选B.

6．A

解析：因为x＋2y＝3，所以2x＋4y＝6，所以(x－y)＋(x＋5y)＝6，所以＋＝(＋)×6＝(＋ )[(x－y)＋(x＋5y)]＝(10＋＋)≥(10＋2)＝，当且仅当x＝2，y＝时取最小值．故选A.

7.[，＋∞)

解析：对于任意x＞0，都有－≤2x，得到≤ .因为＋2x≥2，所以≤2，解得a≥.故a的取值范围为[，＋∞).

8．12

解析：∵x>0，y>0，∴当x＋取最小值时，2取得最小值．∵2＝x2＋＋，又2＝，∴x2＋＝＋，∴2＝＋≥2＝16，∴x＋≥4，当且仅当＝，即x＝2y时取等号，∴当x＋取最小值时，x＝2y，x2＋＋＝16，∴x2＋＋＝16，∴x2＋＝16－4＝12.

9．4－4

解析：∵x>0，y>0，∴xy＝x·(2y)≤()2.∵xy＋x＋2y＝4，∴xy＝4－(x＋2y)≤()2，令t＝x＋2y，则＋t≥4，解得t≥4－4，当且仅当x＝2y，即时，等号成立，则x＋2y的最小值为4－4.

10.　9

解析：因为a＋b＝1，所以a＝1－b.又因为a>b>0，所以0<b<.所以a2＋2b2＝(1－b)2＋2b2＝3b2－2b＋1＝3(b－)2＋，当b＝时，a2＋2b2取得最小值.因为＋＝＋，1－2b>0，所以＋＝＋(1－2b＋2b)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当b＝时，等号成立．故＋的最小值为9.

11.

解析：d(O，C)＝|x|＋|y|＝1，首先证明：≥，两边平方得到x2＋y2≥2＝，变形为x2＋y2≥2|xy|，显然此不等式成立，故根据不等式的性质得到≥＝.

12．解：(1)由题意f(x)＝

即f(x)＝

当x<－3时，－4≥x＋1，可得x≤－5，即x≤－5.

当－3≤x≤1时，2x＋2≥x＋1，可得x≥－1，即－1≤x≤1.

当x>1时，4≥x＋1，可得x≤3，即1<x≤3.

综上，不等式f(x)≥x＋1的解集为(－∞，－5]∪[－1,3].

(2)由(1)可得函数f(x)的最大值M＝4，且ab＋a＋b＋1＝4，

即3－(a＋b)＝ab≤2，当且仅当a＝b时“＝”成立，

可得(a＋b＋2)2≥16，即a＋b≥2，因此a＋b的最小值为2.