【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第二册--6.4.3余弦定理正弦定理 第2课时 正弦定理 课时作业（含解析）

第2课时　正弦定理

必备知识基础练　

1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，A＝，sin B＝，则b＝(　　)

A．    B．C．    D．2

2．在△ABC中，其内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝，A＝30°，B＝15°，则边长a＝(　　)

A．    B．C．    D．

3．在△ABC中，已知a＝4，c＝12，C＝，则A＝(　　)

A．    B．C．或    D．或

4．在△ABC中，若AB＝3，BC＝4，C＝30°，则此三角形解的情况是(　　)

A．有一解    B．有两解C．无解    D．有解但解的个数不确定

5．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B＝30°，b＝，c＝2，则(　　)

A．a＝＋1    B．A＝15°C．C＝45°    D．△ABC为钝角三角形

6．(多选)△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边．根据以下条件解三角形，恰有一解的是(　　)

A．a＝4，b＝3，A＝

B．a＝3，b＝4，A＝

C．a＝3，b＝2，A＝

D．a＝1，b＝2，A＝

7．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边．若A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝________.

8．在△ABC中，A＝30°，b＝，a＝1，则C＝________．

关键能力综合练　

1．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，a＝，b＝2，A＝，则cos B＝(　　)

A．    B．－或C．    D．－或

2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝b sin A，则sin B＝(　　)

A．    B．C．    D．

3．记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若cos C＝，2a＝3c，则sin A＝(　　)

A．    B．C．    D．

4．在△ABC中内角A，B，C的对边分别为a，b，c.且b＝6a，A＋C＝，则sin A＝(　　)

A．    B．C．    D．

5．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若＝，则B＝(　　)

A．　　B．    C．　　D．

6．在△ABC中，已知(a－c cos B)cos A＝a cos B cos C，那么△ABC一定是(　　)

A．等腰或直角三角形    B．等腰三角形

C．直角三角形    D．等边三角形

7．在△ABC中，已知a∶b∶c＝4∶3∶5，则＝________．

8．已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝2b sin (B＋C)，则B＝________．

9．已知△ABC中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a cos C＋c＝b.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝1，b＝，求c的值．

10．在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，(b－c)cos A＝a cos C.

(1)求角A的大小；

(2)若a＝5，cos B＝，求c.

核心素养升级练　

1．已知△ABC为锐角三角形，AC＝2，A＝，则BC的取值范围为(　　)

A．(1，＋∞)    B．(1，2)

C．(1，)    D．(，2)

2．在△ABC中，∠A＝45°，AC＝6，若三角形有两个解，则BC边的取值范围是________．

3．在△ABC中，已知＝，且cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C.

(1)试确定△ABC的形状；

(2)求的取值范围．

第2课时　正弦定理

必备知识基础练

1．答案：A

解析：因为a＝，A＝，sin B＝，由正弦定理＝，即＝，解得b＝.故选A.

2．答案：C

解析：∵C＝180°－30°－15°＝135°，∴sin C＝sin 135°＝，由正弦定理得a＝＝＝.故选C.

3．答案：B

解析：由于a<c，所以A是锐角，由正弦定理得＝，＝，解得sin A＝，所以A＝.故选B.

4．答案：B

解析：∵BC sin C＝4sin 30°＝2，∴BC sin C<AB<BC，

∴△ABC有两解．故选B.

5．答案：D

解析：由正弦定理，＝有sin C＝，因为C∈(0，π)，故C＝45°或C＝135°，故三角形有两种解，故A、B、C均错误，当C＝45°时，A＝180°－45°－30°＝105°，或当C＝135°时，△ABC均为钝角三角形，故D正确，故选D.

6．答案：AC

解析：对于A，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝<，又B<A，只有一解，正确；对于B，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝>，又B>A，有两解，错误；对于C，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝<，又B<A，只有一解，正确；对于D，由正弦定理得＝，即＝，解得sin B＝>1，无解，错误．故选AC.

7．答案：1∶∶2

解析：因为A∶B∶C＝1∶2∶3，且A＋B＋C＝π，所以A＝，B＝，C＝.由正弦定理可得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝∶∶1＝1∶∶2.

8．答案：30°或90°

解析：由正弦定理，得＝，所以sin B＝sin A＝×＝，由0°<B<180°，得B＝60°或120°，当B＝60°时，C＝90°，当B＝120°时，C＝30°.

关键能力综合练

1．答案：A

解析：由正弦定理得＝，得sin B＝，则cos B＝±；因为a>b，则A>B，故cos A<cos B，则cos B＝，所以A正确．故选A.

2．答案：A

解析：由题意得，a＝b sin A，∴sin A＝sin B sin A，

∵sin A≠0，∴sin B＝＝，故选A.

3．答案：B

解析：因为cos C＝，则C为锐角，且sin C＝＝，因为2a＝3c，由正弦定理可得sinA＝sin C＝×＝.故选B.

4．答案：D

解析：在△ABC中，因A＋C＝，则B＝，由正弦定理及b＝6a得sin B＝6sin A，所以sin A＝sin ＝.故选D.

5．答案：C

解析：由正弦定理可得＝＝，则sin B＝cos B，tan B＝1，又B∈(0，π)，则B＝.故选C.

6．答案：A

解析：(a－c cos B)cos A＝a cos B cos C，由正弦定理可得：(sin A－sin C cos B)cos A＝sin A cos B cos C，sin A cos A＝cos B(sin C cos A＋sin A cos C)＝cos B sin B，所以sin 2A＝sin 2B，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或A＋B＝.所以△ABC是等腰或直角三角形．故选A.

7．答案：1

解析：因为a∶b∶c＝4∶3∶5，不妨令a＝4t，b＝3t，c＝5t(t>0)，所以＝＝1.

8．答案：

解析：在锐角△ABC中，因为a＝2b sin (B＋C)，所以由正弦定理可得sin A＝2sin B sin (B＋C)＝2sin B sin A，因为sin A>0，所以sin B＝，因为B∈(0，)，所以B＝.

9．解析：(1)由a cos C＋c＝b，

得sin A cos C＋sin C＝sin B.

因为sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，

所以sin C＝cos A sin C.

因为sin C≠0，所以cos A＝.

因为0<A<π，所以A＝.

(2)由正弦定理，得sin B＝＝.

因为0<B<π，所以B＝或.

①当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝2；

②当B＝时，由A＝，得C＝，所以c＝a＝1.

综上可得c＝1或2.

10．解析：(1)因为(b－c)cos A＝a cos C，

由正弦定理可得(sin B－sin C)cos A＝sin A cos C，

即sin B cos A＝sin A cos C＋sin C cos A，

因为A＋B＋C＝π，所以sin B＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋sin C cos A，

所以sin B cos A＝sin B.

因为0<B<π，所以sin B≠0，所以cos A＝，又0<A<π，

所以A＝.

(2)因为cos B＝，0<B<π，所以sin B＝＝，

则sinC＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B＝×＋×＝.

因为＝，所以c＝＝＝3.

核心素养升级练

1．答案：C

解析：因为△ABC为锐角三角形，所以，解得<B<，所以<sin B<1.在△ABC中，由正弦定理，得＝，即BC＝＝＝，由<sin B<1，得1<<，即1<BC<.所以BC的取值范围为(1，).故选C.

2．答案：(3，6)

解析：根据题意，∠A＝45°，AC＝6，由正弦定理得：＝，则BC＝，sin B＝1时，三角形只有一个解，故0<sin B<1，则AC sin A<BC，又∠A＝45°，若BC≥AC，三角形有一个解，故三角形有两个解的条件为AC sin A<BC<AC，解得3<BC<6.

3．解析：(1)在△ABC中，设其外接圆半径为R，根据正弦定理得sin A＝，

sin B＝，sin C＝，代入＝，得＝，

所以b2－a2＝ab.　①

因为cos (A－B)＋cos C＝1－cos 2C，

所以cos (A－B)－cos (A＋B)＝2sin2C，

所以sinA sin B＝sin2C.

由正弦定理，得·＝，所以ab＝c2.　②

把②代入①得，b2－a2＝c2，即a2＋c2＝b2.

所以△ABC是直角三角形．

(2)由(1)知B＝，所以A＋C＝，

所以C＝－A.

所以sinC＝sin (－A)＝cos A.

根据正弦定理，得＝＝sin A＋cos A＝sin (A＋).

因为ac<ab＝c2，所以a<c，所以0<A<，

所以<A＋<，所以<sin (A＋)<1，

所以1<sin (A＋)<，

即的取值范围是(1，).