【同步练习】高中数学人教A版(2019)必修第二册--6.4.3余弦定理正弦定理 第1课时 余弦定理 课时作业（含解析）

第1课时　余弦定理

必备知识基础练　

1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a＝3，c＝8，B＝，则b＝(　　)

A．6　　 　B．7　　　C．　　　D．

2．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝，c＝2，cos A＝，则b＝(　　)

A．    B．1    C．2    D．3

3．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是(　　)

A．锐角三角形    B．直角三角形

C．钝角三角形    D．无法判断

4．若△ABC的三边长分别为3、6、7，则该三角形最大角的余弦值为(　　)

A．－    B．    C．    D．

5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b2＋c2＝a2＋bc，则角A的大小为(　　)

A．    B．C．    D．

6．△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b cos A，则△ABC一定是(　　)

A．等腰三角形    B．等边三角形

C．直角三角形    D．等腰直角三角形

7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若a＝3，b＝5，c＝7，则A＋B＝________．

8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝6，a＝2c，B＝，则△ABC的周长为________．

关键能力综合练　

1．已知a、b、c分别为△ABC的内角A、B、C所对的边，若满足(a＋b－c)·(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)

A．60°    B．90°

C．120°    D．150°

2．已知△ABC的周长为11，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝3，cos A＝，则b＝(　　)

A．3    B．3或5C．4或5    D．4

3．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝2，M是BC的中点，AM＝2，则AC＝(　　)

A．2    B．4

C．3    D．4

4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b2＝ac＝5且cos B＝，则a＋c的值为(　　)

A．3    B．

C．2    D．

5．在△ABC中，cos ＝，AB＝1，BC＝4，则AC＝(　　)

A．    B．5C．6    D．2

6．已知△ABC中，B＝60°，D是BC边上的一点，AD＝5，AC＝7，DC＝3，则AB＝(　　)

A．5    B．5C．5    D．3

7．已知△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足ac cos B＝a2－b2＋bc，则A＝________．

8．在△ABC中，已知B＝120°，b＝，a＋c＝4，则a＝________．

9．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知A＝，b2－a2＝c2.求tan C的值．

10.如图所示，在平面四边形ABCD中，AB＝，BC＝3，AC＝5，CD＝2，∠BCD＝135°.

(1)求sin ∠ACB；

(2)求AD的长．

核心素养升级练　

1.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”．可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设DF＝2FA，若AB＝2，则DF的长为(　　)

A．2    B．

C．3    D．4

2．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝6，b＝2，要使△ABC为钝角三角形，则c的大小可取________(取整数值，答案不唯一).

3．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且m＝(a＋b，c－a)，n＝(a－b，c)，且m⊥n.

(1)求角B；

(2)若b＝4，求△ABC周长的最大值．

第1课时　余弦定理

必备知识基础练

1．答案：B

解析：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B，即b2＝32＋82－2×3×8×＝49，所以b＝7，故选B.

2．答案：C

解析：由余弦定理得()2＝b2＋22－2b×2×，即b2－b－2＝0，解得b＝2，或b＝－1(舍去).故选C.

3．答案：C

解析：在△ABC中，由余弦定理以及AB＝5，BC＝6，AC＝8可知：cos B＝＝＝－<0，故∠B为钝角，因此△ABC是钝角三角形，故选C.

4．答案：A

解析：因为大边对大角，所以边长为7的边所对的角为最大角，设为θ，则cos θ＝＝－.故选A.

5．答案：B

解析：∵b2＋c2＝a2＋bc，∴由余弦定理的推论，可得cos A＝＝，又∵A∈(0，π)，∴A＝，故选B.

6．答案：C

解析：由余弦定理有c＝b×，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC一定是直角三角形．故选C.

7．答案：

解析：由题设cos C＝＝＝－，而0<C<π，所以C＝，故A＋B＝π－C＝.

8．答案：6＋6

解析：由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B，所以62＝4c2＋c2－2·2c·c·cos ，c＝2，则a＝4，三角形周长为a＋b＋c＝6＋6.

关键能力综合练

1．答案：C

解析：由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则a2＋b2－c2＝－ab，所以cos C＝＝－，则cos C＝－，又C∈(0，π)，所以C＝120°.故选C.

2．答案：B

解析：依题意，c＝8－b，在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A得：b2＋(8－b)2－2b(8－b)×＝9，整理得b2－8b＋15＝0，解得b＝3或b＝5.故选B.

3．答案：A

解析：在△ABM中，由余弦定理可知：AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos 60°⇒12＝4＋BM2－2BM⇒BM＝4，或BM＝－2舍去，因为M是BC的中点，所以BC＝8，在△ABC中，由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos 60°＝4＋64－2×2×8×＝52，即AC＝2，故选A.

4．答案：D

解析：由cos B＝＝＝－＝，所以(a＋c)2＝21，则a＋c＝.故选D.

5．答案：B

解析：由cos ＝，可得cos A＝2cos2－1＝－，又由AB＝1，BC＝4，根据余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cosA，即(4)2＝1＋AC2＋AC，解得AC＝5或AC＝－(舍去).故选B.

6．答案：C

解析：

如图所示，△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos ∠ADC＝＝＝－，因为0°<∠ADC<180°，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝180°－∠ADC＝60°；在△ABD中，AD＝5，∠B＝60°，∠ADB＝60°，所以△ABD为等边三角形，所以AB＝5.故选C.

7．答案：

解析：因为ac cos B＝a2－b2＋bc，所以ac·＝a2－b2＋bc，则a2＝b2＋c2－bc，又因为a2＝b2＋c2－2bc cos A，所以cos A＝，又A∈(0，π)，所以A＝.

8．答案：3或1

解析：在△ABC中，B＝120°，b＝，a＋c＝4，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝(a＋c)2－ac，所以13＝16－ac，得ac＝3.由，得或，所以a＝3或1.

9．解析：由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，

联立，得

所以cos C＝＝＝＝，

所以sin C＝，即tan C＝＝2.

10．解析：(1)在△ABC中，由余弦定理可得cos ∠ACB＝＝＝，∴sin ∠ACB＝＝.

(2)∵∠ACD＝135°－∠ACB，

∴cos∠ACD＝cos (135°－∠ACB)＝cos 135°cos ∠ACB＋sin 135°sin ∠ACB＝－×＋×＝－，

在△ACD中，由余弦定理可得AD2＝AC2＋CD2－2AC·CD cos ∠ACD，

即AD2＝52＋(2)2－20×(－)＝37，

∴AD＝.

核心素养升级练

1．答案：D

解析：由题可知：在△DEF中，∠EDA＝，则∠ADB＝，不妨设DF＝2k，由DF＝2AF知，AF＝k，则AD＝3k，又因为△AFC与△BDA全等，所以DB＝AF＝k，由余弦定理可知：cos ∠ADB＝＝＝－，解得AB2＝13k2，而AB＝2，所以k＝2，所以DF＝4.故选D.

2．答案：5(填7也对，答案不唯一)

解析：首先由a，b，c构成三角形有4＝a－b<c<a＋b＝8，若c为钝角所对边，有c2>a2＋b2＝40，c>，若a为钝角所对边，有36＝a2>b2＋c2＝4＋c2，c<，由b<a，b不可能为钝角所对边，综上，c的取值范围是(4，)∪(，8)，由题意，c取整数值，故c的大小可取5或7.

3．解析：(1)因为m⊥n，所以m·n＝(a＋b，c－a)·(a－b，c)＝a2－b2＋c2－ac＝0，

所以2ac cos B＝ac，∴cos B＝，

∵B∈(0，π)，∴B＝.

(2)由题意得16＝a2＋c2－2ac×＝a2＋c2－ac＝(a＋c)2－3ac，

所以[(a＋c)2－16]＝ac，

所以[(a＋c)2－16]≤，

所以a＋c≤8.(当且仅当a＝c＝4等号成立).

所以a＋c的最大值为8.

所以△ABC周长的最大值为12.