第10讲《应用型问题》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第十讲“应用型问题”.（第二课时）
［教学目标］
知识与技能
1.熟练应用方程、不等式求解方案问题；
2.由数据表格能够判断函数类型，理解并熟练掌握一次函数、二次函数图像的变化及特点；
3.能够将实际问题转化为几何图形并求解；
4.熟练掌握统计中个体个数、总体个数、所占百分比及所占扇形圆心角度的求解方法.
数学思考
在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题，运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运用，进而解决实际问题，最终提升学生的阅读理解能力和应用能力及数学建模能力.
问题解决
1.培养学生的观察、分析、计算能力；
2.培养学生了解生活中一些常识，并能够应用所学知识解决相关问题；
3.培养学生建模能力.
情感态度
让学生积极参与到数学学习活动及实际生活活动中，注意观察生活实例，如乘坐出租车付费问题、家庭水费电费缴纳问题、个税缴纳问题、商场售货利润问题、测量问题等.陪同学生观察、分析、理解、运用，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，并着重培养学生的建模能力.
[教学重点、难点]
教学重点：方程、不等式、函数、勾股、三角函数的应用.
教学难点：应用所学建数学模型.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
第二课时
教学路径
教学说明
师：上节课与大家一起回忆学习了代数型应用型问题，除此之外还有统计概率型应用型问题以及几何型应用型问题，本节课我们就一起来学习统计概率型应用型问题以及几何型应用型问题.
佳题探究
探究类型之四 统计概率型应用问题
例4.某市团委举办“我的中国梦”为主题的知识竞赛，甲、乙两所学校参赛人数相等，比赛结束后，发现学生成绩分别为70分，80分，90分，100分，并根据统计数据绘制了如下不完整的统计图表：

（1）在图 = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①中，“80分”所在扇形的圆心角度数为 54° ；
（2）请你将图 = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②补充完整；
（3）求乙校成绩的平均分；“85分”
（4）经计算知S甲2=135，S乙2=175，请你根据这两个数据，对甲、乙两校成绩作出合理评价.
解析： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①根据统计图可知甲校参赛成绩为70分（或90分）的人数及该人数所占参赛总人数的百分比; 1同种涂颜色图2的70分的条形图与图1中70分的扇形图，2.颜色突出图2中的“6”与图1中“30%”. 下一步
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②甲校参赛总人数：6÷30%=20（人）；
= 3 \* GB3 ③甲校 “80分”所在扇形的圆心角度数为：（3÷20）×360°=54°.
直接在（1）中空中填“54°” 下一步
= 4 \* GB3 ④甲校参赛成绩为100分的人数：20-6-3-6=5（人）；
动画在图2中100上画条形图，条形图长到5处，并按图中画虚线到5（此图不用颜色） 下一步
题目中“甲、乙两所学校参赛人数相等”下面画红色线
= 5 \* GB3 ⑤乙校参赛总人数=甲校参赛总人数=20（人），
乙校参赛成绩为80分的人数：20-7-1-8=4（人）；
在乙校的表格空中添“4” 下一步
= 6 \* GB3 ⑥乙校成绩的平均分：；
在题目（3）后直接写“85” 下一步
标记“S甲2=135，S乙2=175”
= 7 \* GB3 ⑦ 因为S甲2＜S乙2，所以甲校20名学生参赛成绩比较整齐.
师：仔细审题，根据已知图中信息，谁能分别谈下对这4个问题的想法？
生：根据70分占30%可推出80分所占总人数的百分比.
根据70分占30%算出总人数，求出100分的人数，即可补全甲校成绩条形统计图.
由于两校参赛人数一样多，可算出乙校80分的人数，可补全乙校成绩统计表.
要想求出平均分，只要用总分数除以总人数就可以了.
成绩更稳定，说明方差越小，算一下就可以知道谁更稳定了.
师：对 问题的理解较为透彻，快速完成例题的解答.
生快速解答本题
汇报交流
生生互评
师：说说你对解决本题的看法。
生：本题主要考查的是统计图和统计表的应用，解决这类问题： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①要能从多个方面去收集数据信息，特别注意统计图表之间的相互补充和利用； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②通过对数据的整理，能从统计学的角度出发去描述、分析，并作出合理的推断和预测.
师：对于此类统计问题一般解题思路是：求解总量，之后求解个量，在求解所占百分比或所占圆心角等等，下面一起看下例5.
分两页出示
（第一页）
例5.如图所示，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
(1)过点A作MN的垂线，垂足为点H．如果汽车沿着从M到N的方向在MN上行驶，当汽车到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼，那么此时汽车与点H的距离为多少米？
解析：点击解析后顺序标记1.先标记题目中“9米以内会受到噪音的影响”；2.在标记“到达点P处时，噪音开始影响这一排的居民楼”.3.连接AP，在AP下标记“39米”及 根据题意知，AP=39.
答案：标记1.AH边上标记15米.2.涂色直角△APH.
解：由题意知AP=39
在Rt△APH中，PH===36（米），
答：此时汽车与点H的距离为36米.
（第二页）
例5.如图所示，MN表示一段笔直的高架道路，线段AB表示高架道路旁的一排居民楼．已知点A到MN的距离为15米，BA的延长线与MN相交于点D，且∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．
(2)降低噪音的一种方法是在高架道路旁安装隔音板．当汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？(精确到1米) (参考数据：≈1.7)
图2
解析：点击解析后顺序标记1.QC=39米，2.标记“隔板的长度”.最后出示
由题意知PQ的长度即为安装隔音板的长度，PQ=PH+DQ-DH.
答案：由题意，隔音板位置应从P到Q.
∵∠BDN＝30°，
∴在Rt△ADH中易求DH=（米），
在Rt△CDQ中易求DQ=78（米），下一步
∵PQ=PH+DQ-DH，
∴PQ=36+78-≈88.5≈89（米），
∴高架道路旁安装的隔音板至少需要89米长.
师：这是一道说明类型的应用型问题，有哪些已知条件？在图上标出来.
生：点A到MN的距离为15米，∠BDN＝30°，假设汽车在高速道路上行驶时，周围39米以内会受到噪音的影响．图中有两个含有特殊角度的直角三角形.
师：对于已知条件的分析，已经十分熟练了，噪音开始影响这一排的居民楼，此时汽车与点H的距离为多少米？
生：要想求PH的长度，我们可以把它放入直角三角形中，利用勾股定理进行求解，而此时已经知道AP=39，AH=15，利用基本勾股数可以直接得出结果.
师：思路清晰，相关知识掌握十分透彻，汽车行驶到点Q时，它与这一排居民楼的距离QC为39米，那么对于这一排居民楼，高架道路旁安装的隔音板至少需要多少米长？
生：首先我们可以判定隔音板的长度应该就是PQ的长度，在Rt△CDQ中，可根据特殊三角形求出DQ的长度，再求出DH的长度，便可利用容斥原理求出PQ的长度了也就是隔音板的长度.
师：根据大家的分析，快速完成本题的解答。
生：独立解答
小结
师：对于几何型应用问题，解决这类问题的关键是在理解题意的基础上，
生：这题是几何型应用问题，解决这类问题的关键是在理解题意的基础上，对问题相关几何知识来解决.几何求值问题，当未知量不能直接求出时，一般需设出未知数，继而建立方程（组），用方程（组）的方法去求结果.
通过本次课的学习，你有哪些收获？
生：…………
中考佳题
6.如图所示，在一面与地面垂直的围墙的同一侧有一根高10米的旗杆AB和一个高度未知的电线杆CD，它们都与地面垂直.为了测得电线杆的高度，一个小组的同学进行了如下测量：某一时刻，在太阳光的照射下，旗杆落在围墙上的影子EF的长度为2米，落在地面上的影子BF的长为10米；而电线杆落在围墙上的影子GH的长度为3米，落在地面上的影子DH的长为5米.依据这些数据，该小组的同学计算出了电线杆的高度.（虽题目出示图1）

图1 图2
（1）该小组的同学在这里利用的是____________投影的有关知识进行计算的；
（2）试计算出电线杆的高度，并写出计算的过程.
解析：点解析时在（1）空中直接填“平行” 下一步
利用三角形相似及三角函数知识求解.
答案：（2）解：连接AE，延长AE交BF的延长线于点M，连接CG，延长CG交DH的延长线于点N，
连接AE，延长AE交BF的延长线于点M，连接CG，延长CG交DH的延长线于点N，（如图2） 下一步
涂淡淡颜色Rt△ABM（淡黄） 与Rt△EFM（淡褐色）
∵AB∥EF，
∴Rt△ABM ∽Rt△EFM，
∴即，
解得MF=，
∴tan∠EMF=,下一步
（点击这个下一步时，上面的两个三角形颜色取消），同时涂色Rt△GHN
由平行投影的知识点可得∠EMF=∠GNH,
∴在Rt△GHN中有tan∠GNH==，
解得HN=，下一步 涂色Rt△CDN.
在Rt△CDN中有tan∠CND==,
解得CD=7，
答：电线杆的高度为7米.
分两页出示
第一页
7.为响应国家的“节能减排”政策，某厂家开发了一种新型的电动车，如图，它的大灯A射出的光线AB、AC与地面MN的夹角分别为22°和31°，AT⊥MN，垂足为T，大灯照亮地面的宽度BC的长为m.
（1）求BT的长（不考虑其它因素）；
（参考数据：sin22°≈,tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）
解析：在Rt△ATB与Rt△ATC中,利用三角函数可求得BT的长.
答案：解：在Rt△ATB中tan∠ABT= ------ = 1 \* GB3 ①
在Rt△ATC中tan∠ACT=------ = 2 \* GB3 ②
联立 = 1 \* GB3 ① = 2 \* GB3 ②得2BT=5AT=3(BT-BC)，解得BT=.
第二页
（2）一般正常人从发现危险到做出刹车动作的反应时间是0.2s，从发现危险到电动车完全停下所行驶的距离叫做最小安全距离.某人以20km/h的速度驾驶该车，从作出刹车动作到电动车停止的刹车距离是m，请判断该车大灯的设计是否满足最小安全距离的要求（大灯与前轮前端间水平距离忽略不计），并说明理由.
（参考数据：sin22°≈,tan22°≈，sin31°≈，tan31°≈）
解析：判断该车大灯的设计是否满足最小安全距离，只需计算发现危险到做出刹车动作的反应时间内电动车所行驶的距离与作出刹车动作到电动车停止的刹车距离之和d与电动车大灯所能照到的最远距离h进行比较，
若d＞h，该车大灯的设计不满足最小安全距离；
若d≤h，该车大灯的设计满足最小安全距离.
答案：解：该电动车速度V=20km/h= m/s，
发现危险到做出刹车动作的反应时间0.2s内该电动车所行驶的距离为0.2×=m，下一步
作出刹车动作到电动车停止的刹车距离为m，
∴d=+=m，
又∵h= BT=m，下一步
∵＞即d＞h，
∴该车大灯的设计不满足最小安全距离.
8.如图所示，是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E，水位正常时测得OE:CD=5：24.
（1）求CD的长；
（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

答案：（1）解：∵OE⊥CD 且OE:CD=5：24，
∴OE:ED=5：12，可设OE=5x，ED=12 x，
在Rt△OED中，(5x)2+(12x)2=132 ,解得x=1
∴ED=12 m，
∴CD=24 m. 涂色Rt△OED
答案：（2）解：延长OE交半⊙O于点F，则OF=13m延长OE交⊙O于点F由（1）得OE=5m，则EF=8m，
∵CD∥AB，且水面要以每小时4m的速度上升，
∴桥洞会刚刚被灌满的时间为(8÷4)=2(小时).