第11讲《几何综合》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

这是一份第11讲《几何综合》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习，共7页。

第十一讲“几何综合”.（第二课时）
［教学目标］
知识与技能
1.熟练掌握特殊三角形、特殊四边形性质；
2.了解一般线段之间关系的证明方式及辅助线的添加；
3.能熟练应用全等、相似证明、计算线段关系与长度.
数学思考
通过图形性质的应用与证明等学习，让学生从理解到掌握几何证明中一般辅助线的添加，了解当前中考几何证明、计算题目类型及几何部分所考察的知识点内容.
问题解决
1.培养学生的证明推理能力；
2.教授学生辅助线添加方法；
2.培养学生对知识综合运用能力.
情感态度
通过猜测、证明相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用课件中动画，使学生更加直观的理解几何图形的旋转、平移等变化，激发学生学习数学的兴趣.
[教学重点、难点]
教学重点：几何证明、辅助线添加.
教学难点：几何证明、辅助线添加.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第二课时
教学路径
教学说明
上节课我们一起主要学习了在几何图形中全等的证明与应用，接下来我们在一同研究几何图形中另一重要解题证明手段—相似，大家把书翻到109页，请一位同学来读一下例2.
分三页出示
第一页
例2.(1)问题
如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°.
求证：AD·BC=AP·BP.

解析：证明Rt△PAD∽Rt△CBP，即可得证AD·BC=AP·BP.
涂色Rt△PAD与Rt△CBP
答案：证明：∵∠DPC=∠A=∠B=90°，下一步
标记如后图的四个角（注意颜色区别）
∴∠1+∠2=∠2+∠3，
∴∠1=∠3，下一步
涂色Rt△PAD与Rt△CBP.
∴Rt△PAD∽Rt△CBP，
∴，即AD·BC=AP·BP.
第二页
(2)探究
如图，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由.

解析：（1）中结论依然成立，证明△PAD∽△CBP，即可得证AD·BC=AP·BP.
涂色△PAD与△CBP
答案：（1）中结论依然成立，理由如下：下一步
出示后图中表示三个角的三个红点
证明：∵∠DPC=∠A=∠B=θ，下一步
标记如后图的四个角（注意颜色区别）
∴∠1+∠2=180°-∠A；
∠2+∠3=180°-∠DPC，
∴∠1=∠3，下一步 涂色△PAD与△CBP.
∴△PAD∽△CBP，
∴，即AD·BC=AP·BP.
第三页
(3)应用
请利用(1)(2)获得的经验解决问题：
如图，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5.点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出发，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A.设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，求t的值.

图1 图2
解析：由题中“以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切”可知：DC的长必与△ABD中AB边的高相等，进而利用(1)(2)获得的经验解得此时t的值.
出示箭头图1、图2，△ABD—作DE⊥AB（垂直符号）--以D为圆心，以DC为半径画圆弧—交BD于一点，即为C.
答案：解：过D点作DE⊥AB，垂足为E，
∵以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切，
∴DE=DC，
又∵AB=6，AD=BD=5，
∴△ABD为等腰三角形，
∴DE=4=DC，BC=1下一步
出示图1图2中所有剩余的部分（完整图1，2），接着涂色△PAD与△CBP
利用(1)(2)中所得的方法，易证△PAD∽△CBP，
∴即
得，解得PB=5或PB=1，下一步
又∵P以每秒1个单位长度的速度运动，
∴t1=1s（如图1）或 t2=5s，（如图2）
此时以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切.
师：指定学生回答第（1）（2）问.
师：（教师总结（1）（2）问）在两组图形中通过互余、互补（三角形内角和180°）得到对应角相等，利用“有两组对应角分别相等的三角形相似”
师：分析第（3）问，重点分析“DC的长必与△ABD中AB边的高相等”，（如果学生思路不清，借助课件图形解决）
分三页出示
第一页
例5.已知矩形ABCD的一边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图，已知折痕与边BC交于点O，连接AP、OP、OA．
①求证：△OCP ∽△PDA；
②若△OCP与△PDA的面积比为1:4，求边AB的长.

解析：①两组角分别相等的三角形分别相似；
②根据“面积比等于相似比的平方”可得到边AB的长.
答案1：①证明：1.如后图标记四个直角符号；2涂色下△AOP为△AOB.
∵ABCD是矩形且△AOP为△AOB翻折而成，
∴∠ABO=∠APO=∠OCP=∠PDA=90°下一步
顺序标记角1、2、3、4；之后最后涂色△OCP 、△PDA；
∴∠1+∠2=∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
同理可得∠2=∠4，
∴△OCP ∽△PDA.
答案2：②解：∵△OCP与△PDA的面积比为1:4，涂色△OCP 、△PDA
∴△OCP与△PDA的相似比为1:2，下一步 标记CP、DA
∴即，
∴CP=4，下一步
标记1.在AB和AP边上标记x，PD上标记(x-4)；2.涂色Rt△PDA.
设AB的长为x，则AP= x，PD=(x-4)，
在Rt△PDA中有：x2=(x-4)2+82，
解得x=10，即边AB的长为10.
第二页
例5.已知矩形ABCD的一边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（2）若图中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数；

解析：证明DP=AP即可. 标记AP与DP（按图中颜色即可）
答案：解：标记CP(与AP、DP颜色一致)，之后在CP、DP上打两杠，标记AB
∵ABCD是矩形，
∴AB=AP=CD，
又∵P是CD边的中点，
∴DP=CP=AP，下一步
涂色Rt△PDA，标记∠DAP，并写30°
∴在Rt△PDA中，sin∠PAD=,
∴∠PAD=30°，下一步
标记∠1和∠OAB
又∵△AOP为△AOB翻折而成，
∴∠OAB=∠1，
∴∠OAB=(90°-30°)= 30°.
第三页
例5.已知矩形ABCD的一边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（3）如图，在 (1)的条件下，擦去折痕AO、线段OP，连接BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．

解析：过M作MQ∥AN，交PB于点Q，通过证明△MQP为等腰三角形、
△MQF≌△NBF，可得EF长度不变.
1.过M作MQ∥AN，交PB于点Q；2.涂△MQP淡淡的颜色(颜色不要影响下一步的动画)；3.涂△MQF与△NBF淡淡的颜色.
答案：解：EF长度不变，理由如下：下一步
顺序标记1. ∠2、∠3、∠1；2.标记MP后闪烁两下△MQP；3.颜色标记PQ，在PE与EQ上画一杠
过M作MQ∥AN，交PB于点Q，
∴∠2=∠3，
又∵AB=AP，
∴∠1=∠2，
∴△MQP为等腰三角形，
∵ME⊥BP，
∴PE=EQ，下一步
顺序标记1.标记BN；2.顺序标记∠5、∠4、∠7、∠6；3. 闪烁两下△MQF和△NBF；4. 颜色标记BQ，在QF与BF上画两杠
又∵BN=PM=MQ，
在△MQF和△NBF中，
∠5=∠4
∠7=∠6
BN= MQ
∴△MQF≌△NBF，
∴QF=BF 下一步
∴EF= EQ+ QF=PB，
故当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变；下一步
由(1)知，BC=8，CP=4.
∴在Rt△BCP中可得BP=，
∴EF=.
师：通过例2，我们更好的了解了相似的证明方式与应用，通过相似比可以得到我们需要的边长或边之间的关系，在图形的相似中，对于“面积比等于相似比的平方”这个性质的应用也是非常重要的，下面请大家一起看一下例5.（或请同学读题）
师：请同学直接回答（1）（2）问.
师：分析第（3）问，（教师根据课件中解析，提示学生应用全等证明）在相似的应用中，我们也往往需要构造全等三角形，进行边的转化，下面同学们自己看下练习题中的3和5，
中考佳题
3.如图所示，△ABC中，AE交BC于点D，∠C=∠E，AD:DE=3：5，AE=8，BD=4，则DC的长等于（ ）
A. B. C. D .

解析: △DBE∽△DAC，即可求得DC的长
1.标记角；2.涂色△DBE与△DAC
答案：直接在括号中填“A”
5.如图所示，AB=4，射线BM和AB互相垂直，点D是AB上的一个动点，点E在射线BM上，BE=DB，作EF⊥DE并截取EF=DE，连结AF并延长交射线BM于点C．设BE=x，BC=y，则y 与x的函数解析式是（ ）
A． B． C． D．

解析：过点F作FN⊥BM，垂足为N，易证△DBE≌△ENF，得到BE=NF=x
DB=EN=2x，NC=(y-3x)；
1. 过点F作FN⊥BM，垂足为N；2.涂色△DBE与△ENF；3.如图标记各边长
下一步
通过△CNF∽△CBA，得：即化简得.
涂色△CNF与△CBA
答案：直接在括号中填“A”