第14讲《运动型问题（一）》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第14讲“运动型问题（一）”.（第二课时）
［教学目标］
知识技能
1.能够对点在运动变化过程中相伴随的数量关系、图形位置关系等进行观察研究，涉及到等腰三角形、相似三角形、三角函数、方程及函数的知识.
2.发展学生探究性学习、数形结合的能力，培养学生分类讨论及建模等数学思想.
3.提高学生对数学知识的综合应用能力.
数学思考
进一步发展学生探究性学习、数形结合的能力，培养学生数学建模思想、方程思想、数形结合思想、分类思想、转化思想等.
问题解决
经历求根公式的探究与发现过程，培养学生自主学习的能力.
情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.通过小组活动，培养学生的合作意识和能力.
[教学重点、难点]
重点：化动为静.
难点：确定运动变化过程中的数量关系、图形位置关系.
[教学准备]
动画多媒体语言课件
第二课时
答案：
1.D
2.1
3.
（1）∵OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，且AB=OC=4，
∵A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，
∴A，B的横坐标分别是2和-2，代入y=+1得，A（2，2），B（-2，2），
∴M（0，2）；
（2）

①过点Q作QH⊥x轴，设垂足为H，则HQ=y，HP=x-t，
由△HQP∽△OMC，得：，即：t=x-2y，
∵Q（x，y）在y=+1上，∴t,
当点P与点C重合时，梯形不存在，此时，t=-4，解得x=1±，
当Q与B或A重合时，四边形为平行四边形，此时，x=±2，
∴x的取值范围是x≠1±，且x≠±2的所有实数；
②分两种情况讨论：
（1）当CM>PQ时，则点P在线段OC上，
∵CM∥PQ，CM=2PQ，
∴点M纵坐标为点Q纵坐标的2倍，即2=2×（+1），解得x=0，∴t=-2.
（2）当CM＜PQ时，则点P在OC的延长线上，
∵CM∥PQ，CM=PQ，
∴点Q纵坐标为点M纵坐标的2倍，即+1=2×2，解得：x=，
当x=时，得t==，
当x=时，得.

（1）
（2）当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变.
（3） ， .
5.
（1）C点坐标为（3，1）；
（2）
（3）在抛物线上存在点Q（-2，1）、P（-1，-1），使四边形ABQP是正方形．

教学路径
师：上节课我们接触到了几种运动型的问题，本节课将继续进行研究.
佳题探究
探究类型之三 利用函数表示图形面积
例4 如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OA = 2，OC = 6，在OC上取点D将△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，将一个足够大的直角三角板的顶点P从D点出发沿线段DA→AB移动，且一直角边始终经过点D，另一直角边所在直线与直线DE、BC分别交于点M、N．分步出示
（1）填空：D点坐标是(__2___，___0___)，E点坐标是(__2___，__2____)；
解析：动画翻折△AOD沿AD翻折，使O点落在AB边上的E点处，
标角∠OAD ∠EAD =45° DE、OD、上写2
答案：出示横线
单独一页
（2）如图1，当点P在线段DA上移动时，是否存在这样的点M，使△CMN为等腰三角形？ 若存在，请求出M点坐标，若不存在，请说明理由．
答案：画图过点M作MF⊥CB于F，连接CM， 四边形AODE涂色
A
P
M
E
D
B
C
x
y
N
O
F
如图，假设存在点M，使△CMN为等腰三角形.
过点M作MF⊥CB于F，连接CM，由折叠知四边形AODE是正方形，下一步
△PMD涂色 四边形MDCF涂色 Rt△MFN涂色 CM 、MN 、 CN涂色
设M点的坐标为(2，m) (0≤m≤4)
∵OA // CB//DE，∴∠PDE=∠PMD =∠MNF =45°，
∵MF⊥CB， ∴四边形MDCF为矩形，∴MF = CD = 6 − OD = 4，CF = MD = m，
∴CM = =，
在Rt△MFN中，∠MFN = 90°，∠MNF = 45°，∴NF = MF = 4，
∴MN =，CN = NF + CF = 4 + m 下一步
①当CM = MN时，即=，∴16 + m2 = 32，∴m = 4，∴M(2，4)；
②当CM = CN时，即= 4 + m，∴16 + m2 = 16 + 8m + m2，∴m = 0，∴M(2，0)；
③当MN = CN时，即= 4 + m，∴m =− 4，∴M(2，− 4)；
∴存在点M(2，4)或(2，0)或(2，− 4)，使△CMN为等腰三角形；
（3）如图2，当点P在线段AB上移动时，设P点坐标为(x，2)，设△CMN的面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式，并求S随x增大而减小时所对应的自变量x的取值范围．
解析： △PBN∽△DEP涂色 描BN
根据题意先证出△PBN∽△DEP，得出BN的值，下一步
求出S与x之间的函数关系式.
答案：关系式：S = x2 − 8x + 16
S = (x − 4)2，当0≤x＜4时，S随x增大而减小。
中考佳题
1. 如图，在直角梯形ABCD中，AB=2，BC=4，AD=6，M是CD的中点，点
P在直角梯形的边上沿A→B→C→M运动，则△APM的面积y与点P经过
的路程x之间的函数关系用图象表示是（ ）
第1题
A
M
C
B
D
P
A．
B．
C．
D．

第2题
2.如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y=x2﹣2x+2上运动．过点A作AC⊥x轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为 ．
解析：先利用配方法得到抛物线顶点坐标，再根据矩形的性质得BD=AC，
由于AC的长等于点A的纵坐标，所以当点A在抛物线的顶点时，点A到x轴的距离最小为1.
3.在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =+1，点C的坐标为
(–4，0)，平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上.
（1）写出点M的坐标；
（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
4.如图，等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，P是AC边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．分步出
（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；
（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由；
（3）在整个运动过程中，设AP为x，BD为y，求y关于x的函数关系式，并求出当△BDQ为等腰三角形时BD的值．
解析：△PCQ涂色 AP写x PC边写4-x
（1）设AP为x，根据已知求出PC=4-x，CQ=4+x，再根据∠BQD=30°，
得出CQ=PC，再把相应的值代入即可求出x的值；下一步
（2）
作QF⊥AB，交直线AB的延长线于点F，根据PE⊥AB于E，得出∠DFQ=∠AEP=90°，再根据点P，Q做匀速运动且速度相同，△ABC是等腰直角三角形，证出PE=QF，在△PDE和△QDF中，根据AAS得出△PDE≌△QDF，得出DE=DF，DE=AB，再根据AC=BC=4，求出AB和DE的值，从而得出当点P，Q运动时，线段DE的长度不会改变．
下一步
（3）根据AP=x，BD=y，得出AE=x，再根据AB=AE+DE+BD，得出（0＜x＜4），当△BDQ为等腰三角形时，得出x=y，求出x的值即可．
5.如图，在平面直角坐标系中，将一个正方形ABCD放在第一象限斜靠在两坐标轴上，且 点A（0，2）、点B（1，0），抛物线y=ax2-ax-2经过点C．
分步出
（1）求点C的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）在抛物线上是否存在点P与点Q（点C、D除外）使四边形ABPQ为
正方形？若存在求出点P、Q两点坐标，若不存在说明理由．
解析：作CE⊥x轴于点E，Rt△AOB≌Rt△CEA涂色
（1）作CE⊥x轴于点E，根据四边形ABCD为正方形，得到Rt△AOB≌Rt△CEB，因此OA=BE=2，OB=CE=1，据此可求出C点坐标；
下一步
（2）然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式．
下一步
（3）
以AB为边在AB的左侧作正方形ABPQ，过Q作QE⊥OA于E，PG⊥x轴于G，可证△QEA≌△BGP≌△BAO,据此可求出P，Q的坐标，然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出P、Q是否在抛物线上．
选学
如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，OA= cm，OC=8cm，现有两动点P、Q分别从O、C同时出发，P在线段OA上沿OA方向以每秒cm的速度匀速运动，Q在线段CO上沿CO方向以每秒1cm的速度匀速运动、设运动时间为t秒．
（1）用t的式子表示△OPQ的面积S；
（2）求证：四边形OPBQ的面积是一个定值，并求出这个定值；
单独出
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时，抛物线经过B、P两点，过线段BP上一动点M作y轴的平行线交抛物线于N，当线段MN的长取最大值时，求直线MN把四边形OPBQ分成两部分的面积之比．
解析：
（1）根据P、Q的运动速度，可用t表示出CQ、OP的长，进而根据OC的长求出OQ的表达式，即可由三角形的面积公式得到S、t的函数关系式.
下一步
（2）四边形OPBQ的面积，可由矩形OABC、△QBC、△ABP的面积差求得，进而可得到所求的定值.
（3）画图
若△OPQ与△PAB和△QPB相似，那么△QPB必为直角三角形，且∠QPB=90°；由于∠BQP≠∠OPQ，所以这三个相似三角形的对应关系是△OPQ∽△PBQ∽△ABP，根据相似三角形得到的比例线段求出t的值，进而可确定点P的坐标，求出抛物线和直线BP的解析式；
下一步 四边形OPBQ 五边形OPMHQ 涂色
可设M点的横坐标为m，根据直线BP和抛物线的解析式，求出M、N的纵坐标，进而可得到关于MN的长与m的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值及对应的M点坐标；设BQ与直线MN的交点为H，根据M点的坐标和直线BQ的解析式即可求出H点的坐标，也就能得到MH的长，以MH为底，B、M横坐标差的绝对值为高，可求出△BHM的面积，进而可根据四边形OPBQ的面积求出五边形OPMHQ的面积，由此可求出它们的比例关系式．
答案：
(1) ∵CQ＝t，OP=t，CO=8 ∴OQ=8－t
∴

＝ ,
∴四边形OPBQ的面积为一个定值，且等于.
（3）当△OPQ与△PAB和△QPB相似时, △QPB必须是一个直角三角形，依题意只能是∠QPB＝90°又∵BQ与AO不平行，
∴∠QPO不可能等于∠PQB，∠APB不可能等于∠PBQ
∴根据相似三角形的对应关系只能是△OPQ∽△PBQ∽△ABP
∴解得：t＝4
经检验：t＝4是方程的解且符合题意（从边长关系和速度）
此时P（，0）
∵B（，8）且抛物线经过B、P两点，
∴抛物线是，直线BP是：
设
∵M在BP上运动 ∴
∵交于P、B两点且抛物线的顶点是P
∴当时，
∴
∴当时，MN有最大值是2
∴设MN与BQ交于H点则
∴
∴，
∴当MN取最大值时两部分面积之比是3：29．
选作
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射线AB上的一个动点，以点P为圆心，PA为半径的⊙P与射线AC的另一个交点为D，直线PD交直线BC于点E．分4题出
（1）若点D是AC的中点，则⊙P的半径为 ；
（2）若AP=2，求CE的长；
（3）当以BE为直径的圆和⊙P外切时，求⊙P的半径；
（4）设线段BE的中点为Q，射线PQ与⊙P相交于点I，点P在运动的过
程中，能否使点D、C、I、P构成一个平行四边形？若能，请求出AP
的长；若不能，请说明理由．
解析：过点P作PF⊥y轴于点F
（1）
过点P作PF⊥y轴于点F，由锐角三角函数的定义得出 ，再根据垂径定理得出AF的长，根据勾股定理即可得出结论.
（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，在Rt△ABC中，根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论.
（3）
设BE的中点为Q，连接PQ，AP=x，根据等腰三角形三线合一的性质得出PQ⊥BE，根据平行线分线段成比例定理得出 ，
再由切线的性质可得出PQ=BQ+AP，由此可得出结论.
（4）根据点P在线段AB上，点E在线段BC延长线上；
点P在线段AB上，点E在线段BC上；
点P在线段AB的延长线上, 点E在线段BC的延长线上三种情况进行分类讨论．
答案：
（1）；
（2）∵AP=DP，∴∠PAD=∠PDA．
∵∠PDA=∠CDE，∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，．
∴PB=PE． Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5．
∵AP=2，∴PB=PE=3，DE=1 ，∴，CE=．
（3）如图1，设BE的中点为Q，连接PQ，AP=x
∵PB=PE，∴PQ⊥BE，又∵∠ACB=90°，∴PQ∥AC，
∴，∴，
∴，．
当以BE为直径的圆和⊙P外切时， ．
解得，即AP的长为．
（4）如果点P在线段AB上，点E在线段BC延长线上时（如图1），由（2）知，△ABC∽△DEC，∴,∴，DC=（5-2x）,当DC=PI时，点D、C、 I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，（5-2x）= x，x=． 如果点P在线段AB上，点E在线段BC上时（如图2），DC=（2x -5）, 当DC=PI时，点D、C、 I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=，∵＞5，与点P在线段AB上矛盾，∴x=舍去． 如果点P在线段AB的延长线上（如图3），点E在线段BC的延长线上时， DC=（2x -5）, 当DC=PI时，点D、C、 I、P构成一个平行四边形，由DC=PI得，（2x -5）= x，x=．
综上，AP=或AP=．