第15讲《运动型问题（二）》第3课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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第十五讲“运动型问题（二）”.（第三课时）
［教学目标］
知识与技能
1.动静互化、动中取静；
2.了解动点问题解决关键；
3.熟练掌握图形运动过程中所构成的特殊图形.
数学思考
通过点、线、面运动过程中所构成的特殊图形后寻找相应图形特性，并利用必要的辅助线建立证明关系或方程，使学生加深了解数学学习中几何证明要领及方程思想.
问题解决
1.培养学生化动为静能力；
2.特殊四边形性质应用；
3.培养学生对知识综合运用能力.
情感态度
通过动点运动变化的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用课件中动画，使学生更加直观的理解几何图形的旋转、平移等变化，激发学生学习数学的兴趣.
[教学重点、难点]
教学重点：化动为静.
教学难点：化动为静，特殊几何图形性质应用.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第三课时
中考佳题答案
1. C.
2. 3秒、秒、11秒、13
图1 3秒 图2 秒
图3 11秒 图4 13秒
3.（1）


解：（法一）
过B作BH⊥AD，垂足为H，则BH=OA=a，
∵A(a,0)
∴BH=OA=a，P(a,)
∴S△ABP=BH·AP=×a×=3
（法二）
解：连接OP，由图2易知，△ABP与△AOP同底(AP)，等高(OA=BH)
∴S△ABP= S△AOP，
由反比例函数性质可知S△AOP==3，∴S△ABP=3.
（2）

解：如图1，∵四边形BQNC是菱形，
∴BQ=BC=NQ=CN，
∵AB⊥BQ，C是AQ的中点，
∴BC=CQ=AQ，
∴△BCQ为等边三角形，∠1=∠2=60°，
∴∠4=∠5=∠3=30°，
又∵SBQNC=2eq \r(3)=2S△BCQ=2×BC2，
∴BC=2
在Rt△BAQ中，易求AB=2eq \r(3)，
在Rt△BOA中，易求OA=3，
又∵P点在反比例函数y＝，
∴P点坐标为（3，2）.
4.（1）
解：∵直线y =-2x-1与y轴交于点A，
∴A(0,-1)，
直线y =-2x-1与y=-x交点为B，
联立 y =-2x-1 解得B(-1, 1)，
y=-x
又∵点B关于原点的对称点为点C，
∴C(1,-1)，
设过A(0,-1)、B(-1, 1)、C(1,-1)三点的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c,
代入得 c=-1 解得 a=1
1= a-b+c b=-1
-1= a+b+c c=-1
∴该抛物线的解析式为：y=x2-x-1.
（2）①

解：∵四边形PBQC为菱形，
∴对角线PQ垂直平分BC，
∵直线BC为y=-x，且O为线段BC中点
∴直线PQ为y=x，
由P为抛物线上一点，则直线PQ与抛物线的交点即为P
联立 y=x
y=x2-x-1
解得：P1(1+,1+)或P2 (1-,1-)
∴四边形PBQC为菱形时，点P的坐标为(1+,1+)或(1-,1-)
②
当t=0时，四边形PBQC面积最大，理由如下：
解：∵P点横坐标为t，且-1＜t＜1，
又∵（1）中已求得B点与C点的横坐标分别为-1与1，
∴点P在直线BC下方的抛物线上运动，
∵P与Q关于原点对称，
∴SPBQC=2S△PBC，
∴只需求解点P横坐标为t满足S△PBC的值最大即可，
∵线段BC的长为定值
∴当底边BC上的高最大时，S△PBC的值最大.
方法如下：作BC的平行线l，与抛物线相切，切点即为所求点P.
设l直线解析式y=-x+m，
∵l与抛物线y=x2-x-1相切，
∴ y=-x+m
y=x2-x-1，
x2-m-1=0
=b2-4ac=0-4×1×(-m-1)=0
解得m=-1
∴直线l与抛物线交点P(0,-1)，
此时S△PBC的值最大，
即点P的横坐标为t=0时，四边形PBQC面积最大.
教学路径
教学说明
佳题补充
分四页出示
第一页
(选学）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，
∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
（1）△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______；
图1
图2
图3
解析：在题目中标记“黄色段”；出示标记如图1，
= 1 \* GB3 ①（图1）EF=2x-x= x；下一步
出示图2，标记长度
= 2 \* GB3 ②（图2）过D作DK⊥BC，垂足为K，
由BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°可知在Rt△DKC中有KC=3，DK=，
下一步 出示图3
当x＝2时，BE=2，BF=4，
∴EF=2，
作GH⊥BC，由△EFG为等边三角形
∴H为EF的中点，EH=3=AD，且GH=，
又∵DK=，
∴D与G两点重合.
答案：在空中填“x”、“D点”
第二页
(选学）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，
∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
（2）若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求
①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式；
解析：出示上题中图2
由(1)得，当x＝2时(图2)，D与G两点恰好重合，从而当0＜x≤2时(图1)△EFG与梯形ABCD重叠部分即为△EFG；
答案：解：由(1)得，当x＝2时(图2)，D与G两点恰好重合，从而当0＜x≤2时(图1)，△EFG与梯形ABCD重叠部分即为△EFG；下一步
作GH⊥EF，垂直符号
解：等边△EFG边长EF=x，高GH=，
∴y=S△EFG=EF·GH=x×=x2，
当0＜x≤2时，△EFG与梯形ABCD重叠部分面积：y=x2.
第三页
②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
解析：点击解析后出示下图，1第一个图，跟着箭头出示下图图1，箭头出示下图图2；2.涂色图1中EFNM；3.涂色涂2中△EMC；
当2＜x≤6时，△EFG与梯形ABCD重叠部分的形状发生变化，如图所示，图2中重叠部分为四边形EFNM，图4（或图3）中重合部分为△MEC，进而分两种情况求解y与x之间的函数关系式.
答案：解：当x＝3时，BF=6，此时F与C重合（如图3），
∴当2＜x＜3时，△EFG与梯形ABCD重叠部分为四边形EFNM，(如图2)
当3≤x≤6时，△EFG与梯形ABCD重叠部分为△MEC，
(如图3、图4)
∴当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式求解如下：下一步
在上面图2中标记，∠1，∠2，∠3，∠G，M处垂直符号
如图2，当2＜x＜3时，由题易知，∠1=∠2=∠3=30°，∠G=60°，
∴∠GMN=90°，CF=FN=6-2x，GN=3x-6
在Rt△GMN中，易求GM=(3x-6), MN=(3x-6), 下一步
y=SEFNM= S△EFG- S△GMN=x2-(3x-6)2=x2+x-.
下一步
在图3、图4中标记∠EMC垂直符号.
如图4，当3≤x≤6时，由题易知，∠C=30°，∠CME=90°，CE=6-x，
在Rt△CME中，易求ME=(6-x), CP=(6-x), 下一步
y=S△CPE =(6-x)2=x2-x+.下一步
综上所述，当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式为：
x2+x- (2＜x＜3)
y=
x2-x+ (3≤x≤6)
第四页
（3）探求(2)中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
答案：
当0＜x≤2时，y=x2，x=2时y最大=，下一步
当2＜x＜3时，y=x2+x-，x=时y最大=，下一步
当3≤x≤6时，y=x2-x+ ，x=3时y最大=，下一步
综上所述，在2＜x＜3时，当x=时y最大=.
分五页出示
第一页
（选做）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=OD=3，OP=2，OA=AB=1，让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为(0°≤≤60°).
发现：
（1）当=0°，即初始位置时，点P 直线AB上.(填“在”或“不在”)
求当是多少时，OQ经过点B？

图2 图3
解析：1.延长AB，交OQ于带你H，如图2（保留此图），2.标记60°，与∠1
= 1 \* GB3 ①延长AB，交OQ于点H，若OH=OP=2，则P在直线AB上，
若OH≠OP，则P不在直线AB上， 下一步
在空中填上“在”
在Rt△AOH中∠O=60°，∠1=30°，OA=1，易得OH=2=OP，所以当=0°，即初始位置时，点P在直线AB上； 下一步
1.线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向旋转，当OQ过点B时停止；2.标记标记60°，与∠2，.
= 2 \* GB3 ②当OQ经过点B时，在Rt△AOB中，AO=AB，∠2=∠AOB=45°，所以
=60°-45°=15°.
第二页
（2）在OQ旋转过程中，简要说明是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；

解析：解析：按后图标记1. OQ旋转，在开始位置旋转到OD边上的形状，开始与最后的图形都保留下来.2.标记P的运动轨迹
= 1 \* GB3 ①确定在OQ旋转过程中，P点所运行的轨迹为以O为圆心，半径长为2，圆心角为60°的圆弧；下一步
如图，1.取点P1；2.连接AP1、OP1
= 2 \* GB3 ②在该圆弧上任取一点P1，连接AP1、OP1，在△AOP1中，根据“两边之差小于第三边”求得P，A间的距离最小值及此时的.
答案：解：如图所示，OQ旋转过程中，P点所运行的轨迹为以O为圆心，半径长为2，圆心角为60°的圆弧， 下一步
在该圆弧上任取一点P1，连接AP1，则点P，A间的距离即为AP1， 下一步
连接OP1，在△AOP1中有AP1≥OP1-OA，
∴AP1≥2-1=1，
当P1在OD上时取得“等号”，即=60°时，P，A间的距离最小，PA的最小值为1.
第三页
（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求及S阴影.

解析：点解析后在图上标记后图中的∠1，PH.
在Rt△OHP中，利用边的关系求得∠1的度数，从而得到的值；下一步
连接KR
S阴影= S扇形RQK+S△PRK .
答案：过P作PH⊥OD，垂足为H，在Rt△OHP中PH=1，PO=2，
∴∠1=30°，
∴=60°-30°=30°，下一步
设半圆K与BC交点为R，连接RK，易知∠RPK=30°，∠RKQ=60°
∴S△PRK=，S扇形RQK=，
∴S阴影=+.
综上所述，当点P恰好落在BC边上时，=30°及S阴影=+.
第四页
拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x(x>0)，用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围.

= 1 \* ROMAN I = 2 \* ROMAN II = 3 \* ROMAN III
解析：按上面的图示依次运动出示（OQ直线与圆K整体运动出示）
观察图形旋转情况，图 = 1 \* ROMAN I表示BM=0时的情况、图 = 2 \* ROMAN II表示运动过程中、图 = 3 \* ROMAN III表示BM取得最大值，可借助图 = 2 \* ROMAN II利用△OAN∽△MBN得到BM、BN之间的关系.
答案：图 = 2 \* ROMAN II中涂色△OAN与△MBN
解：图 = 2 \* ROMAN II：由题知AO=AB=1，∠A=∠B=90°，∠ANO=∠BNM，
∴△OAN∽△MBN
∴,即，
整理得BN=.下一步
1.在图 = 3 \* ROMAN III中作辅助线，作QE⊥AD，交AD于点E；2.涂色△OQE
图 = 3 \* ROMAN III：当Q落在BC上时，即M与Q重合，x取得最大值，作QE⊥AD，垂足为E，在△OQE中，BM=x=BQ=AE===.
∴x的取值范围0＜x≤.
第五页
探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sin的值.
解析：半圆K与矩形ABCD的边相切，有三种情况，一为半圆K与BC相切(图 = 1 \* ROMAN I)，二为半圆K与AD相切(图 = 2 \* ROMAN II)，三为半圆K与CD相切点击解析出示下面三个图形

= 1 \* ROMAN I = 2 \* ROMAN II = 3 \* ROMAN III
答案：解：当半圆K与BC相切时，如图 = 1 \* ROMAN I，
作KG⊥OG，连接KT,并延长交AD于S，交OG延长线于O',（参照下图）
涂色Rt△OSK

T为切点，从而KT⊥BC，KT⊥AD，在Rt△OSK中易得OK=，KS=，OS=2.
下一步
涂色Rt△OSO'
由∠O'=30°，在Rt△OSO'中SO'=，KO'=-，
下一步
涂色Rt△O'KG
在Rt△O'KG中KG=-，
下一步
涂色Rt△OKG
在Rt△OKG中sin===.下一步
当半圆K与AD相切，如图 = 2 \* ROMAN II，按下图中添加全部辅助线.
同理图 = 1 \* ROMAN I中方法，可求得sin=，
下一步
当半圆K与CD相切时，=60°，此时sin=，
终上所述，当半圆K与矩形ABCD的边相切时，sin的值为或或.