第10讲《应用型问题》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

这是一份第10讲《应用型问题》第1课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习，共14页。

第十讲“应用型问题”.（第一课时）
［教学目标］
知识与技能
1.熟练应用方程、不等式求解方案问题；
2.由数据表格能够判断函数类型，理解并熟练掌握一次函数、二次函数图像的变化及特点；
3.能够将实际问题转化为几何图形并求解；
4.熟练掌握统计中个体个数、总体个数、所占百分比及所占扇形圆心角度的求解方法.
数学思考
在阅读材料、理解题意的基础上，把实际问题的本质抽象转化为数学问题，运用所学的知识和方法对数学模型进行分析、运用，进而解决实际问题，最终提升学生的阅读理解能力和应用能力及数学建模能力.
问题解决
1.培养学生的观察、分析、计算能力；
2.培养学生了解生活中一些常识，并能够应用所学知识解决相关问题；
3.培养学生建模能力.
情感态度
让学生积极参与到数学学习活动及实际生活活动中，注意观察生活实例，如乘坐出租车付费问题、家庭水费电费缴纳问题、个税缴纳问题、商场售货利润问题、测量问题等.陪同学生观察、分析、理解、运用，增强他们对数学学习的好奇心与求知欲，并着重培养学生的建模能力.
[教学重点、难点]
教学重点：方程、不等式、函数、勾股、三角函数的应用.
教学难点：应用所学建数学模型.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
教学过程 第一课时
教学路径
教学说明
课堂导入
师：前面我们一起学习了方程、不等式、函数、统计概率以及勾股定理、三角函数等，今天我们应用上面所学的知识解决生活中的一些实际问题.
出示课件

佳题探究
探究类型之一 方程型应用问题
分两页出示
（第一页）
例1.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
（1）求该快递公司投递总件数的月平均增长率；
解析：理解平均增长率的含义 下一步
若月平均增长率为x，则有：
月份
三月
四月
五月
总件数（万件）
10
10(1+x)
10(1+x) (1+x)
答案：解：设该快递公司投递总件数的月平均增长率为x.
根据题意列方程：10(1+x)2=12.1
解方程得：x1=0.1，x2=-2.1（舍）
答：该快递公司投递总件数的月平均增长率为10％.
（第二页）
例1.现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高度发展，据调查，长沙市某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同.
（2）如果平均每人每月最多可投递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年6月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？
解析： = 1 \* GB3 ①根据月平均增长率计算今年6月份的快递投递件数；下一步
= 2 \* GB3 ②计算21名快递投递业务员每月可最多投递件数；下一步
= 3 \* GB3 ③今年6月份的快递投递件数与21名业务员每月最多投递件数进行比较，进而分析问题.
答案：今年6月份的快递投递任务是12.1×(1+10%)=13.31（万件）；
∵平均每人每月最多可投递0.6万件，
∴21名快递投递业务员最多能完成的快递投递任务是：
0.6×21=12.6＜13.31，
∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，下一步
∴需要增加业务员(13.31-12.6)÷0.6=≈2（人）．
答：该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年6月份的快递投递任务，至少需要增加2名业务员．
师：读题，请学生回答对本题的理解.
生：回答第（1）小问，（2）应用平均增长率，计算出今年6月份的投递任务量，在计算21名投递员最多可投递量，并与总投递量比较，就能知道需不需要增加投递员.
师：回答的非常详细了，大家都理解了吗？请同学们各自计算一下.
（该题目难度较低，可请学生讲解，学生讲解后，重点分析第（2）问中
确定能否完成任务的方法，若不能完成，所需增加业务员的人数与所求数字的关系.）公布答案.
探究类型之二 方程与不等式型应用问题
分两页出示
（第一页）
例2.“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益.为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书.经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）.
（1）求每本文学名著和动漫书各多少元？
答案：解：设每本文学名著x元，每本动漫书y元.
根据题意列方程组：20x+40y=1520
“20本文学名著和40本动漫书共需1520元”在题中此句下画红线. 下一步
20x-20y=440
“20本文学名著比20本动漫书多440元” 在题中此句下画紫线. 下一步
解方程组得：x=40
y=18
答：每本文学名著和动漫书各为40元和18元.
（第二页）
例2.“全民阅读”深入人心，好读书，读好书，让人终身受益.为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书.经了解，20本文学名著和40本动漫书共需1520元，20本文学名著比20本动漫书多440元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）.
（2）若学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，请求出所有符合条件的购书方案.
答案：解：设购买文学名著m本，则购买动漫书(m+20) 本.
根据题意列不等式组： m+(m+20)≥72
“动漫书和文学名著总数不低于72本”在题中此句下画红线，并在“不低于”上加方框. 下一步
40m+18(m+20)≤2000
“总费用不超过2000元”在题中此句下画紫线.并在“不超过”上加方框.
下一步 解不等式组得： m≥26
m≤
∵m为整数，
∴m取26、27、28 下一步
∴符合条件的购书方案为：
方案一：购买文学名著26本，则购买动漫书46本；
方案二：购买文学名著27本，则购买动漫书47本；
方案三：购买文学名著28本，则购买动漫书48本.
师：刚才我们一起复习了方程类应用型问题，在实际遇到的问题中，很多知识都不是独立进行考核的.例2就是一道方程与不等式的应用型问题，请读题，说说你获得的信息.
生：20本文学名著和40本动漫书共需1520元.
20本文学名著比20本动漫书多440元.
生：根据这两个条件我们都可以列出方程组进行问题的解答了.可以求出文学名著和动漫书的价格。第一个问题就解决了.
师：好，能继续为大家讲解一下第2问吗？
生：已知条件是：学校要求购买动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，让我们求出所有符合条件的购书方案.
生：很据学校要求购买动漫书比文学名著多20本，设出未知数，表示出两种书本数。根据动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，列出不等式组求出未知数的取值范围，就可以确定符合条件的购书方案了.
师：大家有不同的见解吗？
生：没有.
师：大家独自解答下.
汇报交流
师：解决本题要注意什么？
生：本题需要关键是弄清题意，找出题目中的等量关系和不等关系，建立方程组和不等式组模型来解决问题.
总结：
师：此类题目的重点是1.找到题目中的重点语句，例如动漫书比文学名著多20本，动漫书和文学名著总数不低于72本，总费用不超过2000元，（可借用课件）对于确定的语句如“多”“少”等，我们用等式来表示，那对于“不低于”、“不超过”等，我们要用不等式来表示.希望引起同学们重视.
分三页出示
（第一页）
探究类型之三 函数型应用问题
例3.某乒乓球馆使用发动机进行辅助训练，出球口在桌面中线端点A处的正上方，假设每次发出的乒乓球的运动路线固定不变，且落在中线上.在乒乓球运行时，设乒乓球与端点A的水平距离为x（米），与桌面的高度为y（米），运行时间为t（秒），经多次测试后，得到如下部分数据：
t（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
x（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
……
y（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
……
（1）当t为何值时，乒乓球达到最大高度？
答案：依题意可知乒乓球与桌面的高度为y，观察表格得y的最大值，
由表格中的数据，可得t=0.4秒时，高度y=0.45米为最大值.
将表格中的t=0.4与y=0.45这两个框涂色.
答：当t为0.4秒时，乒乓球达到最大高度0.45米.
（第二页）
t（秒）
0
0.16
0.2
0.4
0.6
0.64
0.8
x（米）
0
0.4
0.5
1
1.5
1.6
2
……
y（米）
0.25
0.378
0.4
0.45
0.4
0.378
0.25
……
（2）乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
解析：依题意建立x 与y的函数关系式，乒乓球落在桌面时y=0，此时x的值即为与端点A的水平距离.
动画1.表示图1“乒乓球”在0.25处发出，路线为抛物线，落在球案N处，2.之后箭头指向出示图2，动画表示在0.25点出发的抛物线，交x轴于点N，3最后在ON线段下画大括号，表示所求
图1 图2
答案：解：以点A为原点，以桌面中线为x轴，乒乓球水平运动方向为正方向，建立平面直角坐标系，由表格中x、y的数据，可画出y 关于x的图像，根据图像的形状，可判断y 是x的二次函数，依据二次函数图像性质及表格数据可设：
y=a(x-1)2+0.45涂色表格中(1,0.45)；涂色表格中(0,0.25) 下一步
将（0,0.25）代入，可得a=
∴y=(x-1)2+0.45
当y=0时，x1=2.5，x2=-0.5（舍），
即乒乓球与端点A的水平距离是2.5米.
（第三页）
（3）乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足y=a(x-3)2+k.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①用含a的代数式表示k；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值.
解析： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①乒乓球在出球口A发出，运动路线如图所示；
动画1.球A出发（黄色抛物线曲线）落在点N，2.之后球弹起运动路线抛物线（红色路线）并在红色抛物线边上写“y=a(x-3)2+k”；3.箭头后表示直角坐标系先黄色抛物线落点N，在红色抛物线，颜色表示点N与点N的数2.5.
下一步
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②球沿直线扣杀到点A的路线(BA)与唯一的击球点(M)如图所示.
动画1.箭头指直角坐标系，先表示球网B，在上面写坐标“（1.4,0.14）”之后连接BA；2.交红抛物线于点M，之后出示“交点M为唯一击球点”；3.红色抛物线标记 y=a(x-3)2a
答案1： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①解：乒乓球落在桌面上弹起后，函数y=a(x-3)2+k.过点N(2.5,0)
代入y=a(x-3)2+k，
得0= a(2.5-3)2+k，
化简整理，得k=a.
答案2： = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②解：由题意知扣杀路线为直线BA，并交抛物线y=a(x-3)2+k于点M，则点M为唯一的击球点. 下一步
由图易求直线BA解析式为y=x，
y=x
联立 y=a(x-3)2a 得x= a(x-3)2a，
整理得20ax2-(120a+2) x+175a=0，下一步
∵直线BA与抛物线y=a(x-3)2+k只有一个交点M，
∴=(120a+2)2-4×20a×175a=0，
解方程，得：a1= ，a2=.下一步
当a1= 时，求得x=，不符合题意，舍去；
当a2=时，求得x=，符合题意.
答：当a=时，能恰好将球扣杀到点A.
师：代数中，我们主要学习的内容是数与式、方程不等式、函数，正常应用型问题中函数部分所占的比值比较大，具体会以怎样的形式来考查呢？请看例3.认真审题，说说你的发现？
生：从表格中，我们可以发现发球时的高度距桌面0.25米；当t=0.4秒时，到达最高距离，0.45米，
师：很多同学能够从表格中获得有价值的信息，乒乓球落在桌面时，与端点A的水平距离是多少？
生：求出y与x的函数表达式，令y=0，求出x的值就可以了.
师：很好，大家快速的求解一下函数解析式与端点A的水平距离.
生：独自求解.
师：公布答案.
师：在球运动的过程中还有相关的数学问题，乒乓球落在桌面上弹起后，y与x满足.
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①用含a的代数式表示k；
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②球网高度为0.14米，球桌长（1.4×2）米.若球弹起后，恰好有唯一的击球点，可以将球沿直线扣杀到点A，求a的值.
小组讨论
汇报交流：将乒乓球落在桌面上的对应点为：（，0）带入y与x的函数关系式，便可得出a与k的关系.
先找出扣杀路线所在直线的函数表达式，让其和①中的表达式相等，得出含有参数a的关于x的一元二次方程.
令△=0，求出a的值，再带入求出x的值，判断x是否符合题意.进而确定符合题意的a的值.
师：根据大家讨论出的思路，直接进行本题的解答.
生：独立解答
汇报交流
生生互评
师：再和你的同桌说说本题的解题思路.
同桌互说.
师：解决本题的关键是什么?
生：本题利用图表中数据得出函数解析式是解题关键，通过建立函数模型来解决.
小结：在求解图表问题时，首先要理解图表中所标注的物理量，根据数量变化特点，确定函数类型，进而求解.下面大家看下练习题：1到5题和第9题.
（教师下去看看学生们前3个例题作的情况，如果有不会的学生，可以单独的解释下）
中考佳题
1.挑游戏棒是一种好玩的游戏，游戏规则：当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走. 如图中，按照这一规则，第1次应拿走 = 9 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑨号棒，第2次应拿走 = 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤号棒，……，则第6次应拿走（ ）
A. = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②号棒 B. = 7 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑦号棒 C. = 8 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑧号棒 D. = 10 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑩号棒
解析：“当一根棒条没有被其它棒条压着时，就可以把它往上拿走”下面画线
先画线在出示下面的红字.
第1次拿 = 9 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑨号棒， 颜色 = 9 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑨号棒，之后拿掉 注意两个拿时要间隔一个2秒的时间
第2次拿 = 5 \* GB3 ⑤号棒， 颜色 = 5 \* GB3 ⑤号棒，之后拿掉， 下一步
第3次拿 = 6 \* GB3 ⑥号棒， 颜色 = 6 \* GB3 ⑥号棒，之后拿掉 注意两个拿时要间隔一个2秒的时间
第4次拿 = 2 \* GB3 ②号棒， 颜色 = 2 \* GB3 ②号棒，之后拿掉 下一步
第5次拿 = 8 \* GB3 ⑧号棒， 颜色 = 8 \* GB3 ⑧号棒，之后拿掉 注意两个拿时要间隔一个2秒的时间
第6次拿 = 10 \* GB3 ⑩号棒， 颜色 = 10 \* GB3 ⑩号棒，之后拿掉
答案：在括号中直接填“D”
2.如图是某地2月18日到23日PM2.5浓度和空气质量指数AQI的统计图(当AQI不大于100时称空气质量为“优良”)，由图可得下列说法：①18日的PM2.5浓度最低；②这6天中PM2.5浓度的中位数是112µg/cm2；③这6天中有4天空气质量为“优良”；④空气质量指数AQI与PM2.5浓度有关，其中正确的说法是( )
图(1) 图(2)
A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④
解析：①如图(1),18日的PM2.5浓度为25，为这6天中最低；
在题中①上打“√” 下一步
②如图(1),这6天中PM2.5浓度的中位数是(67+92)÷2=79.5µg/cm2；
在题中②上打“×” 下一步
③如图(2),18日、19日、20日、23日这4天AQI都不大于100，从而这4天空气质量为“优良”.
在题中③上打“√” 下一步
④观察图(1)与图(2)，不难发现PM2.5浓度变化时，AQI也随之变化.
在题中④上打“√”
答案：在括号中直接填“C”
3.如图所示，小贤为了体验四边形的不稳定性，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架ABCD，B与D两点之间用一根橡皮筋拉直固定，然后向右扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是( )

图1 图2
A.四边形ABCD由矩形变为平行四边形 B.BD的长度增大
C.四边形ABCD的面积不变 D.四边形ABCD的周长不变
解析：点击“解析”时先动画出示ABCD向右扭动框架，扭动成如图2，之后在出①.
上面两个图都保留
①矩形框架ABCD向右扭动时各内角变化但各边长度不变，即AB=CD，AD=BC，故四边形ABCD周长不变，但由矩形变为平行四边形；
出示①时在图2表示AB与CD上打两杠， AD与BC打一杠
在答案“A和D”上打“√” 下一步
②扭动前后边长不变，但∠BAD增大，故 BD的长度增大；
标记两个图中的∠BAD，在答案“B”上打“√” 下一步
③扭动前该面积为AB×BC，扭动后该面积为AH×BC，AH＜AB，故扭动前面积大于扭动后面积；
在图2中作AH⊥BC于H，标记垂直符号，之后在答案“C”上打“×”
答案：在括号中直接填“C”
4.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：
会员年卡类型
办卡费用（元）
每次游泳收费（元）
A类
50
25
B类
200
20
C类
400
15
例如，购买A类会员卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元，若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45~55次之间，则最省钱的方式为（ ）
A．购买A类会员年卡 B．购买B类会员年卡
C．购买C类会员年卡 D．不购买会员年卡
解析：设游泳x次时，所需总费用为y元，根据题意得四种不同类型消费y与x之间的函数关系式：下一步
普通类：y=30x；A类：y=25x+50；
动画1.出示下图中坐标系，2.接着出示红色直线并在写“普通类：y=30x”，3.在出示蓝色直线并在写“A类：y=25x+50”. 下一步
B类：y=20x+200；C类：y=15x+400.
动画1.出示黄色直线并在写“B类：y=20x+200”，2.在出示蓝色直线并在写
“C类：y=15x+400”. 下一步
易求M(10,300)， N(30,800)， P(40,1000)
在坐标系中如图标记3点坐标并画虚线 下一步
由图像可知， = 1 \* GB3 ①0≤x≤10时普通类消费合算；如图颜色加粗OM线段
= 2 \* GB3 ②10≤x≤30时A类会员年卡消费合算；如图颜色加粗MN线段
= 3 \* GB3 ③30≤x≤40时B类会员年卡消费合算；如图颜色加粗NP线段
= 4 \* GB3 ④40≤x时C类会员年卡消费合算. 如图颜色加粗P后线段
这 = 1 \* GB3 ①-- = 4 \* GB3 ④出示动画时，每一个中间间隔2秒钟.
答案：直接在括号中填“C”
5.一个寻宝游戏的寻宝通道如图1所示，通道由在同一平面内的AB，BC，CA，OA，OB，OC组成.为记录寻宝者的进行路线，在BC的中点M处放置了一台定位仪器，设寻宝者行进的时间为x，寻宝者与定位仪器之间的距离为y，若寻宝者匀速行进，且表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则寻宝者的行进路线可能为（ ）
A．A→O→B B．B→A→C C．B→O→C D．C→B→O
解析： = 1 \* GB3 ①行进路线为A→O时，图像应为逐渐递减的线段，故A错误；
在A上打× 下一步
= 2 \* GB3 ②行进路线B→A→C时，在行进至A处时，图像对应最高点，故B错误；在B上打× 下一步
= 3 \* GB3 ③行进路线C→B时，在行进至M处时，y=0，故D错误.
在D上打×，同时在C上打√
答案：直接在括号中填“C”
分两页出示
（第一页）
9.某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
① 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
② 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳x次时，所需总费用为y元.
图1
（1）分别写出选择银卡、普通票消费时，y与x之间的函数关系式；
（2）在同一个坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点A、B、C的坐标；
解析：（1）两种卡消费时，y与x之间为一次函数关系；下一步
（2）确定三种消费方式对应的函数图像；
先出示（2），在如图1示，在各直线边上标记“y=10x+150”与“y=20x”直线也改变颜色
答案1：解：银卡消费：y=10x+150，
普通票消费：y=20x.
答案2：解：如图知，令10x+150=0得A(0，150),
联立 y=10x+150 解得：B(15，300)，
y=20x
联立 y=10x+150 解得：C(45，600)，
y=600
（第二页）
9.某游泳馆普通票价20元/张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡：
① 金卡售价600元/张，每次凭卡不再收费；
② 银卡售价150元/张，每次凭卡另收10元.
暑期普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑期使用，不限次数. 设游泳x次时，所需总费用为y元.
（3）请根据函数图象，直接写出选择哪种消费方式更合算.
图1
答案：（3）根据函数图像得：标记图1中所有红色字和线 下一步
= 1 \* GB3 ①当0≤x≤15时普通票消费合算；
如图1颜色标记OB线段 下一步
= 2 \* GB3 ②当15≤x≤45时银卡消费合算；
如图1颜色标记BC线段 下一步
= 3 \* GB3 ③当45＜x时金卡消费合算.如图1颜色标记C后的直线.
（半节课结束）
例1与例2难度较低，可一起分析两个例题后，留时间给学生自行书写.