第16讲《阅读理解型问题》第2课时（教案）2023年人教版中考数学一轮复习

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［教学目标］
知识技能
1.经历探究阅读理解型问题的一般题型、一般解题策略的过程，掌握解决阅读理解型问题的基础知识和基本技能；
2.参与阅读理解型问题探究活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决数学活动经验.
数学思考
通过独立思考、合作交流，培养孩子获得新信息、新知识、新方法就，并进行知识迁移，建模应用的能力.
问题解决
1.获得解决问题和分析问题的基本方法；
2.学会与他人合作交流，培养评价与反思的意识.
情感态度
1.通过解决现实情境中问题，增强数学素养，用数学的眼光看世界；
2.养成认真勤奋、独立思考、合作交流，反思质疑等学习习惯.
[教学重点、难点]
重点：阅读理解型问题的基本策略方法.
难点：通过独立思考、合作交流，培养孩子获得新信息、新知识、新方法就，并进行知识迁移，建模应用的能力.
[教学准备]
动画多媒体语言课件.
第二课时
答案：
【中考佳题】
1.D
2.D
3.10
4.30°
5.（1） （2）
（3）满足的条件是：三角形的一边长与该边上的高相等的直角三角形或锐角三角形.
6.
（1）点P在直线y=3x-2上；
（2）点P（2，-1）到直线y=2x-1的距离为
（3）两平行线之间的距离为.
8.（1）点E时四边形ABCD的AB边上的相似点；
（2）作图如下
（3） .

教学路径
方案说明
师：上节课我们学习了阅读试题提供新定义解决新问题及阅读试题提供新公式解决新问题，还有其它的阅读理解型问题，如：这节课要和大家一起探究的阅读解题过程，提炼方法，解决性问题；阅读试题信息，探索发现规律，解决新问题.
初步性问题
探究类型之三 阅读解题过程，提炼方法，解决新问题
例4 请阅读下列材料：
问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍.
解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以；把代入已知方程，得化简，得：；故所求方程为.
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法” ．
请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）．分两个题
（1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为： ；
（2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
答案：
（1）解:设所求方程的根为y，则y=-x所以x=-y．
把x=-y代入已知方程，得y2-y-2=0，
故所求方程为y2-y-2=0.
（2）解：设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0）.
把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（）2+b•+c=0
去分母，得a+by+cy2=0．下一步
若c=0，有ax2+bx=0，即x（ax+b）=0，可得有一个解为x=0，不符合题意，因为题意要求方程ax2+bx+c=0有两个不为0的根．
故c≠0，故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）．
师：说说你对新方法的理解.
生：“换根法”根据已知条件中所提供的新的根与原来根的关系，并将原来根用新根表示出来，带入原来的方程中就可以了.
师：已经抓住了本题的精华，尝试一下用“换根法”来解决下面两个问题吧.
生：根据题目意思：新方程的根分别是已知方程根的相反数，因此我们可以将x换成-x带入原方程即可.
生：要想使方程的根是已知方程的倒数，只需要将方程的根换成它的倒数，计算化成一般表达式即可.
生：我们还可以考虑用根与系数的关系，求出新方程两根的和、两根的乘积，然后确定二次项、一次项系数及常数项的值.进而确定方程表达式.
师：赶快用你们想出来的方法解决本题吧.
生快速解题
汇报交流
生生互评
师：解答完后再说说你对本题的看法.
生：本题的阅读材料提供了利用方程根的代换求新方程的方法，重点在于考查分析、理解和应用能力.
探究类型之四 阅读试题信息，探索发现规律，解决新问题
例5．小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：
问题情境：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F，求证：S四边形ABCD=S△ABF（S表示面积）
答案： 小手AD∥BC ∠DAE=∠F ∠D=∠FCE △ADE和△FCE涂色
∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠D=∠FCE．
∵点E为DC边的中点，∴DE=CE．
∵在△ADE和△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（AAS），∴S△ADE=S△FCE，
下一步 四边形ABCE △ABF涂色
∴S四边形ABCE+S△ADE=S四边形ABCE+S△FCE，即S四边形ABCD=S△ABF.
问题迁移：如图2：在已知锐角∠AOB内有一个定点P．过点P任意作一条直线MN，分别交射线OA、OB于点M、N．小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，△MON的面积存在最小值，请问当直线MN在什么位置时，△MON的面积最小，并说明理由．
答案：描E、F， 过点M作MG∥OB交EF于G，
过点P的另一条直线EF交OA、OB于点E、F，
设PF＜PE，过点M作MG∥OB交EF于G，
如图2，当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小，
下一步 △EOF △MON涂色
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
∵S四边形MOFG＜S△EOF，∴S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小.
实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有一村庄Q发生疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区△MON．若测得∠AOB=66°，
∠POB=30°，OP=4km，试求△MON的面积．（结果精确到0.1km2）
（参考数据：sin66°≈0.91，tan66°≈2.25， ≈1.73）

答案：作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1， Rt△OPP1涂色
如图3，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，垂足分别为P1，M1，
在Rt△OPP1中，∵∠POB=30°，∴PP1=OP=2，OP1=2．
下一步 小手 MM1 、PP1 同色 M1P1 P1N同色
由问题迁移的结论知道，当PM=PN时，△MON的面积最小，
∴MM1=2PP1=4，M1P1=P1N．
下一步 △OMM1涂色 小手OM1
在Rt△OMM1中，tan∠AOB=，2.25=，∴OM1=，
∴M1P1=P1N=2-，∴ON=OP1+P1N=2+2-=4-．
下一步 小手ON MM1 △MON涂色
∴S△MON=ON•MM1=（4-）×4=≈10.3km2．

师：阅读试题信息，说说对于S四边形ABCD=S△ABF（S表示面积），你是证明想的.
生：根据已知条件，我们可以证明△ADE和△FCE全等，它们面积相等，再加上公共的部分，可得出结论.
生：这里面用的是转化的思想，根据三角形全等，将四边形的面积转化为三角形的面积.
师：这个作为一般模型、基本的数学思想，在我们数学问题的解决中起到非常重要的作用.能否运用这个方法来解决新的问题，就对我们的能力要求比较高了.请看问题迁移.
生：我们猜想当直线旋转到点P是MN的中点时S△MON最小.
生：过点M作MG∥OB交EF于G，
由问题情境可以得出当P是MN的中点时S四边形MOFG=S△MON．
由于S四边形MOFG＜S△EOF，因此S△MON＜S△EOF，
∴当点P是MN的中点时S△MON最小；
师：说理部分，看来理解的很到位了，在实际应用中又会有什么样的问题呢？请看实际应用.小组互相讨论，说说本题的解题思路.
汇报交流：本小题好像和Q没有什么直接的关系.
汇报交流：根据问题迁移只要P是MN的中点，那么△MON的面积最小.
汇报交流：要想求出面积必须要用到题目中的已知条件：∠AOB=66°，∠POB=30°，OP=4km，这样需要我们构造直角三角形，作PP1⊥OB，MM1⊥OB，这样可以根据sin66°≈0.91，tan66°≈2.25，算出相关线段的长度，这样就可以算出△MON的面积了.
师：根据大家讨论的方法，快速解决本题.
生：独立解答
学生板演
生生互评
5、师：和你的小伙伴说说你是如何解决本题的？
生生互动
6、师：经过本题的学习，有何感受？
生：此类问题首先要注意认真阅读相关信息，通过归纳探索，发现问题的本质规律．其次这类问题往往具有递进关系，后面的问题往往会用到前面的结论．
中考佳题
1.若两个扇形满足弧长的比等于它们的半径的比，则称这两个扇形相似.如图，如果扇形AOB与扇形A1O1B1是相似扇形，且半径OA:O1A1=k（k为不等于0的常数）.那么下面四个结论： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①∠AOB=∠A1O1B1； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②△AOB∽△A1O1B1； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③=k； = 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④扇形AOB与扇形A1O1B1的面积之比为k2.成立的个数为（ ）
A. 1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析：根据扇形相似的定义，由弧长公式可以得到①②③正确；
由扇形面积公式可得到④正确.
2．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max｛a，b}表示a、b中的较大值，如：Max｛2，4}=4，按照这个规定，方程Max｛x，-x}=的解为（ ）
A. B. C.或 D.或-1
解析：根据x与-x的大小关系，取x与-x中的最大值化简所求方程，
求出解即可.
3．定义运算“*”，规定x*y＝ax2＋by，其中a、b为常数，且1*2＝5，
2*1＝6，则2*3＝_________.
解析：利用题中的新定义列出方程组，求出方程组的解得到a、b的值，
再进行求解.
当三角形中一个内角α是另一个内角β的2倍时，我们称此三角形为“特
征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的“特征角”为100°，那么这个“特征三角形”的最小内角的度数为 ____．
解析：根据一个内角α是另一个内角β的2倍，得出β的度数，
进而求出最小内角即可.
5．如图①，将一张直角三角形纸片ABC折叠，使点A与点C重合，这时DE为折痕，△CBE为等腰三角形，再继续将纸片沿△CBE的对称轴EF折叠，这时得到了两个完全重合的矩形（其中一个是原三角形的内接矩形，另一个是拼合成的无缝隙、无重叠的矩形），我们称这样的两个矩形为“叠加矩形”．请完成下列问题：
（1）如图②，正方形网格中的△ABC能折叠成“叠加矩形”吗？如能，请在图②中画出折痕；
（2）如图③，在正方形网格中，以给定的BC为一边，画出一个斜△ABC，使其顶点A在格点上，且△ABC折成的“叠加矩形”为正方形；
（3）如果一个三角形所折成的“叠加矩形” 为正方形，那么它必须满足的条件是 ．
解析：
（1）应先在三角形的格点中找一个矩形，折叠即可；下一步
（3）根据正方形的边长应等于底边及底边上的高的一半可得所求三角形的底边与高相等.
6．如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足，则称点P′是关于⊙O的“反演点”，如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA=60°，OA=8，若点A′、B′分别是点A、B关于⊙O的反演点，求A′B′的长.
解析：设OA交⊙O于C，连接BC， △OBC涂色
设OA交⊙O于C，根据新定义计算出OA′、OB′的长度，可判断A′为OC中点，点B与点B′重合，再证明△OBC为等边三角形，在直角三角形中利用正弦的定义求A′B′的长度.
7.已知点和直线，则点到直线的距离可用公式计算.
例如：求点P(-2,1)到直线的距离.
解：因为直线可变形为x-y+1=0，其中k=1,b=1,
所以点P(-2,1)到直线y=x+1的距离为：
===.
根据以上材料，求：
(1)点P(1,1)到直线y=3x-2的距离，并说明点P与直线的位置关系；
(2)点P(2,-1)到直线y=2x-1的距离；
(3)已知直线y=-x+1与y=-x+3平行，求这两条直线的距离.
解析：
（1）根据条件的P的坐标和点到直线的距离公式可以直接求出结论；下一步
直接将点P的坐标带入公式进行求解；下一步
在直线y=-x+1上任意取一点，求出点P的坐标，然后带入到直线的距
离公式就可以求出结论.
8.如图1，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点.
解决问题：分三问
(1)如图1，∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
(2)如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A、B、C、D四点均在正方形网格(网格中每个小正方形的边长为1)的格点(即每个小正方形的顶点)上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E；
拓展探究：
(3)如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处.若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系.

解析：
（1）△ADE与△BEC涂色
要证明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点，只要证明有一组三角形相似就行，很容易证明△ADE与△BEC相似，所以问题得解.
根据两个直角三角形相似得到强相似点的两种情况.
因为点E是梯形ABCM的AB边上的一个强相似点，所以就有相似三角
形出现，根据相似三角形的对应线段成比例，可判断出AB与BC的数量关系.