数学必修 第二册9.2 用样本估计总体复习练习题

9.2 用样本估计总体

【教材课后习题】

1.棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标.在一批棉花中随机抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm），按从小到大排序结果如下：

25  28  33  50  52  58  59  60  61  62

82  86  113  115  140  143  146  170  175  195

202  206  233  236  238  255  260  263  264  265

293  293  294  296  301  302  303  305  305  306

321  323  325  326  328  340  343  346  348  350

352  355  357  357  358  360  370  380  383  385

（1）请你选择合适的组距，作出这个样本的频率分布直方图，分析这批棉花纤维长度分布的特征；

（2）请你估计这批棉花的第5，95百分位数。

2.甲、乙两台机床同时生产一种零件，在10天中，两台机床每天生产的次品数分别为：

甲  0  1  0  2  2  0  3  1  2  4

乙  2  3  1  1  0  2  1  1  0  1

分别计算这两组数据的平均数和标准差，从计算结果看，哪台机床的性能更好？

3.在去年的足球联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4.你认为下列说法中哪一种是正确的，为什么？

（1）平均说来一队比二队防守技术好；

（2）二队比一队技术水平更稳定；

（3）一队有时表现很差，有时表现又非常好；

（4）二队很少不失球.

4.数据，，…，的方差和标准差分别为，，数据，，…，的方差和标准差分别为，.若，，…，成立，a，b为常数，证明：，.

5.数据，，…，的方差，证明：所有的（，2，…，n）都相同.

6.以往的招生统计数据显示，某所大学录取的新生高考总分的中位数基本上稳定在550分.你的一位高中校友在今年的高考中得了520分，你是立即劝阻他报考这所大学，还是先进一步查阅一下这所大学以往招生的其他统计信息？解释一下你的选择.

7.甲、乙两个班级，一次数学考试的分数排序如下：

甲班  51  54  59  60  64  68  68  68  70  71

72  72  74  76  77  78  79  79  80  80

82  85  85  86  86  87  87  87  88  89

90  90  91  96  97  98  98  98  100  100

乙班  61  63  63  66  70  71  71  73  75  75

76  79  79  80  80  80  81  81  82  82

83  83  83  84  84  84  85  85  85  85

85  85  86  87  87  88  90  91  94  98

请你就这次考试成绩，对两个班级的数学学习情况进行评价.

8.有一种鱼的身体吸收汞，一定量身体中汞的含量超过其体重的1.00ppm（即百万分之一）的鱼被人食用后，就会对人体产生危害.在30条鱼的样本中发现的汞含量（单位：ppm）如下：

0.07  0.24  0.95  0.98  1.02  0.98  1.37  1.40  0.39  1.02

1.44  1.58  0.54  1.08  0.61  0.72  1.20  1.14  1.62  1.68

1.85  1.20  0.81  0.82  0.84  1.29  1.26  2.10  0.91  1.31

（1）请用合适的统计图描述上述数据，并分析这30条鱼的汞含量的分布特点；

（2）求出上述样本数据的平均数和标准差；

（3）从实际情况看，许多鱼的汞含量超标的原因是这些鱼在出售之前没有被检测过.你认为每批这种鱼的平均汞含量都比1.00ppm大吗？

（4）在上述样本中，有多少条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内？

9.在一次人才招聘会上，有一家公司的招聘员告诉你，“我们公司的收入水平很高”“去年，在50名员工中，最高年收入达到了200万，员工年收入的平均数是10万”，而你的预期是获得9万元年薪.

（1）你是否能够判断年薪为9万元的员工在这家公司算高收入者？

（2）如果招聘员继续告诉你，“员工年收入的变化范围是从3万到200万”，这个信息是否足以使你作出自己是否受聘的决定？为什么？

（3）如果招聘员继续给你提供了如下信息，员工收入的第一四分位数为4.5万，第三四分位数为9.5万，你又该如何使用这条信息来作出是否受聘的决定？

（4）根据（3）中招聘员提供的信息，你能估计出这家公司员工收入的中位数是多少吗？为什么平均数比估计出的中位数高很多？

10.有20种不同的零食，每100g可食部分包含的能量（单位：kJ）如下：

110  120  123  165  432  190  174  235  428  318

249  280  162  146  210  120  123  120  150  140

（1）以上述20个数据组成总体，求总体平均数与总体标准差.

（2）设计恰当的随机抽样方法，从总体中抽取一个容量为7的样本，求样本的平均数与标准差.

（3）利用上面的抽样方法，再抽取容量为7的样本，计算样本的平均数和标准差.这个样本的平均数和标准差与（2）中的结果一样吗？为什么？

（4）利用（2）中的随机抽样方法，分别从总体中抽取一个容量为10，13，16，19的样本，求样本的平均数与标准差.分析样本容量与样本的平均数和标准差对总体的估计效果之间有什么关系.

11.已知总体划分为3层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：l，，；m，，；n，，.记总的样本平均数为，样本方差为，证明：

(1)；

(2).

【定点变式训练】

12.某校为了对初三学生的体重进行摸底调查，随机抽取了50名学生的体重（kg），将所得数据整理后，画出了频率分布直方图.如图所示，体重在内适合跑步训练，体重在内适合跳远训练，体重在内适合投掷相关方面训练，估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为(   )

A.4:3:1 B.5:3:1 C.5:3:2 D.3:2:1

13.某校进行了一次创新作文大赛，共有100名同学参赛，经过评判，这100名参赛者的得分都在之间，其得分的频率分布直方图如图，则下列结论错误的是(   )

A.得分在之间的共有40人

B.从这100名参赛者中随机选取1人，其得分在的概率为0.5

C.估计得分的众数为55

D.这100名参赛者得分的中位数为65

14.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高.现随机抽取10位某市居民进行街头调查，得到他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的80%分位数是(   )

A.7.5 B.8 C.8.5 D.9

15.某校高一年级开设了校本课程，现从甲、乙两班各随机抽取了5名学生校本课程的学分，统计如表，，分别表示甲，乙两班抽取的5名学生学分的标准差，则(   )

A. B. C. D.，的大小不能确定

16.200辆汽车通过某一段公路时的时速的频率分布直方图如图所示，则时速的众数、中位数的估计值为(   )

A.62，62.5 B.65，62 C.65，62.5 D.62.5，62.5

17.某工厂对一批新产品的长度（单位：mm）进行检测，如图是检测结果的频率分布直方图，据此估计这批产品的中位数与平均数分别为(   )

A.20，22.5 B.22.5，25 C.22.5，22.75 D.22.75，22.75

18.某市举行“中学生诗词大赛”，某校有1000名学生参加了比赛，从中抽取100名学生，统计他们的成绩（单位：分），并进行适当的分组（每组为左闭右开的区间），得到的频率分布直方图如图所示，则估计该校学生成绩的分位数为______.
 

19.已知一组数据按从小到大排列为-1，0，4，x，6，15，且这组数据的中位数是5，那么这组数据的众数是________，平均数是________.

20.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为__________.

21.为了了解学生参加体育活动的情况，学校对学生进行随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少？”，共有4个选项：A.1.5小时以上；B.1~1.5小时；C.0.5~1小时；D.0.5小时以下.图（1），（2）是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息，解答下列问题.

（1）本次一共调查了多少名学生.
（2）在图（1）中将B对应的部分补充完整.
（3）若该校有3000名学生，请估计全校约有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？

22.为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间(单位：h).试验的观测结果如下：

服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

0.6 1.2 2.7 1.5 2.8 1.8 2.2 2.3 3.2 3.5

2.5 2.6 1.2 2.71.5 2.9 3.0 3.1 2.3 2.4

服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：

3.2 1.7 1.9 0.8 0.9 2.4 1.2 2.6 1.3 1.4

1.6 0.5 1.8 0.6 2.1 1.1 2.5 1.2 2.7 0.5

(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？

(2)根据两组数据，分别计算第10百分位数，并据此判断哪种药的疗效更好？

23.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分(90分及以上为认知程度高)，现从参赛者中抽取了x人，按年龄分成5组(第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：)，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.

(1)求x.

(2)求抽取的x人的年龄的中位数(结果保留整数).

(3)从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记1~5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中1~5组的成绩分别为93，98，94，95，90.

①分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差.

②以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.

答案以及解析

1.答案：（1）频率分布直方图见解析.特征：这批棉花中混进了一些次品

（2）第5，95百分位数分别约为41.5，375

解析：（1）频率分布直方图如图.由图分析发现这批棉花的纤维长度不是特别均匀，有部分棉花的纤维长度比较短，所以，这批棉花中混进了一些次品.

（2）由，，可知样本数据的第5，95百分位数为第3项与第4项，第57项与第58项数据的平均数，分别为41.5，375.据此可估计这批棉花的第5，95百分位数分别约为41.5，375.

2.答案：乙机床

解析：甲机床的平均数，标准差；

乙机床的平均数，标准差.

比较发现乙机床的平均数较小而且标准差也较小，说明乙机床生产的次品数比甲机未生产的次品数少，而且更为稳定，所以乙机床的性能较好.

3.答案：（1）对.从平均数的角度考虑.

（2）对.从标准差的角度考虑.

（3）对.从平均数和标准差的角度考虑.

（4）对.从平均数和标准差的角度考虑.

解析：

4.答案：见解析

解析：设数据，，…，的平均数为，数据，，…，的乎均数为，则.

，

.

.

5.答案：见解析

解析：设，，…，的平均数为，

则.

，，

，

，，…，，，

所有的（，2，…，n）都相同.

6.答案：应该查阅一下这所大学的其他招生信息，例如平均数信息、最低录取分数线信息等，尽管该校友的分数位于中位数之下，但中位数本身并不能提供更多的录取分数的信息.

解析：

7.答案：甲班平均分为80.5，乙班平均分为80.5，平均水平相当.甲班的中位数为81，乙班中位数为82.5，大致相当，但甲班90及以上的占25%，乙班90及以上的占10%，因而甲班优秀生较多.

解析：

8.答案：（1）用频率分布表如下：

作出统计图（图略），这30条鱼的汞含量有约73%在内.

（2）样本平均数，样本标准差.

（3）不一定.因为我们不知道其他各批鱼的汞含量分布是否都和这批鱼相同.即使其他各批鱼的汞含量分布与这批鱼相同，上面的数据也只能为这个分布作出估计，不能保证每批鱼的平均汞含量都大于1.00ppm.

（4）有28条鱼的汞含量在以平均数为中心、2倍标准差的范围内.

解析：

9.答案：（1）不能.因为平均收入和最高收入相差太大，说明高收入的员工占极少数.现在已经知道至少有一个人的年收入为200万元，那么其49他员工的年收入之和为（万元），每人平均收入约6.12万元.

如果再有几个收入特别高的.那么初进公司的员工的收入将会更低。

（2）不能，要看中位数是多少.

（3）能，可以确定有75%的员工年收入在4.5万元以上，其中25%的员工年收入在95万元以上.

（4）收入的中位数大约是7万元，因为受年收入200万元这个极端值的影响，所以平均数比中位数高很多.

解析；

10.答案：（1）总体平均数为199.75，总体标准差为95.26.

（2）可以使用抓阄法进行抽样.样本平均数和标准差的计算结果和抽取到的样本有关.

（3）由样本的随机性，知（2）和（3）的计算结果不相同的概率相当大，而相同的概率很小.

（4）随着样本容量的增加，分别用样本平均数和样本标准差估计总体平均数和总体标准差的效果会越来越好（即精度会越来越高）.但是由于样本的随机性，也有极个别（小概率）的例外情况.

解析：

11.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）.

（2）

.

由，可得

.

同理，.

因此，

.

12.答案：B

解析：体重在内的频率为，体重在内的频率为，体重在内的频率为，

，

可估计该校初三学生适合参加跑步、跳远、投掷三项训练的集训人数之比为5:3:1.故选B.

13.答案：D

解析：根据频率和为1，计算，解得，得分在的频率是0.40，估计得分在的有(人)，A正确；

得分在的频率为0.5，可得这100名参赛者中随机选取一人，得分在的概率为0.5，B正确；

根据频率分布直方图知，最高的小矩形对应的底边中点为，即估计得分众数为55，C正确；

中位数的估计值为，解得，故D错，故选D.

14.答案：C

解析：数据3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，共10个，且，所以80%分位数是8.5.故选C.

15.答案：B

解析：根据表中数据，计算甲班5名学生学分的平均数为

，

乙班5名学生学分的平均数为

，

甲班5名学生学分的方差为

，

乙班5名学生学分的方差为

，

，即.故选B.

16.答案：C

解析：最高的矩形为第三个矩形，时速的众数的估计值为65.

前两个矩形的面积为，

，，

中位数的估计值为.故选C.

17.答案：C

解析：根据频率分布直方图，得平均数为.

，，

中位数应在20~25内.

设中位数为x，则，解得，

这批产品的中位数是22.5.故选C.

18.答案：122

解析：根据频率分布直方图可知，成绩在130分以下的学生所占比例为，成绩在110分以下的学生所占比例为，因此分位数一定位于内，由，故可估计该校学生成绩的分位数为122.

19.答案：6；5

解析：因为中位数为5，所以.

即.

所以该组数据的众数为6，平均数为.

20.答案：

解析：因为，

所以

，所以.

21.答案：（1）本次一共调查了200名学生
（2）见解析
（3）150名
解析：（1）从题图可知，选A的共60人，占总人数的百分比为30%，所以总人数为（人），即本次一共调查了200名学生.
（2）被调查的学生中，选B的有（人），补充完整的条形统计图如图所示.

（3）（人），估计全校约有150名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5时以下.

22.答案：(1)A药的疗效更好

(2)A药的疗效更好

解析：(1)设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为，

由观测结果可得，

.

由以上计算结果可得，因此可看出A药的疗效更好.

(2)因为，所以第10百分位数为数据从小到大排列后，第2项与第3项的平均数，所以A药的第10百分位数为1.2，B药的第10百分位数为，

由此可看出A药的疗效更好.

23.答案：(1)

(2)中位数为32

(3)①五个年龄组平均数为94，方差为6；

五个职业组平均数94，方差为6.8

②见解析

解析：(1)根据频率分布直方图得第一组频率为，所以，所以.

(2)设中位数为a，则，解得.所以中位数为32.

(3)①5个年龄组的平均数为，

方差为，

5个职业组的平均数为，

方差为.

②评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好.

感想：“一带一路”是指“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.

它将充分依靠中国与有关国家既有的双多边机制，借助既有的、行之有效的区域合作平台.“一带一路”战略目标是要建立一个政治互信、经济融合、文化包容的利益共同体、命运共同体和责任共同体，是包括亚欧大陆在内的世界各国，构建一个互惠互利的利益、命运和责任共同体.