数学人教A版 (2019)第十章 概率10.2 事件的相互独立性课时练习

10.2 事件的相互独立性

【教材课后习题】

1.掷两枚质地均匀的骰子，设“第一枚出现奇数点”，“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(   )

A.互斥 B.互为对立 C.相互独立 D.相等

2.假设，，且A与B相互独立，则_______，_______.

3.若，，证明：事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立.

4.甲、乙两人独立地破译份密码，已知各人能破译的概率分别是，，求：

（1）两人都成功破译的概率；

（2）密码被成功破译的概率.

5.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为.构造适当的事件A，B，C，使成立，但不满足A，B，两两独立.

6.分析如下三个随机试验及指定的随机事件，并解答下面的问题.

：抛掷两枚质地均匀的硬币；事件“两枚都正面朝上”.

：向一个目标射击两次，每次命中目标的概率为0.6；事件“命中两次目标”.

：从包含2个红球、3个黄球的袋子中依次任意摸出两球；事件“两次都摸到红球”.

（1）用适当的符号表示试验的可能结果，分别写出各试验的样本空间；

（2）指出这三个试验的共同特征和区别；

（3）分别求A，B，C的概率.

【定点变式训练】

7.某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加.假设李老师和张老师各自分别将活动通知的信息独立且随机地发给4位同学，且所发信息都能收到.则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为(   )

A. B. C. D.

8.某校组织《最强大脑》PK赛，最终A，B两队进入决赛，两队各由3名选手组成，每局两队各派一名选手PK，除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，负者得0分.假设每局比赛A队选手获胜的概率均为，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为(   )

A. B. C. D.

9.一个旅行团到漳州旅游，有百花村与云洞岩两个景点可选择，该旅行团选择去哪个景点相互独立.若旅行团选择两个景点都去的概率是，只去百花村不去云洞岩与只去云洞岩不去百花村的概率相等，则旅行团选择去百花村的概率是(   )

A. B. C. D.

10.某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为(   )

A.0.23 B.0.2 C.0.16 D.0.1

11.如图所示，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为(   )

A. B. C. D.

12.甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作抛骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜，得到所有12张游戏牌，并结束游戏.比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是(   )

A.甲得9张，乙得3张 B.甲得6张，乙得6张

C.甲得8张，乙得4张 D.甲得10张，乙得2张

13.设某批电子手表的正品率为，次品率为，现对该批电子手表进行检测，每次抽取一个电子手表，假设每次检测相互独立，则第3次首次检测到次品的概率为___________.

14.事件A，B，C是互相独立的事件，若，，，则_______________.

15.已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和.假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________.

16.第五届移动互联网创新大赛，于2019年3月到10月期间举行，为了选出优秀选手，某高校先在计算机科学系选出一名种子选手甲，再从全校征集出3位志愿者分别与甲进行一场技术对抗赛，根据以往经验，甲与这三位志愿者进行比赛一场获胜的概率分别为，且各场输赢互不影响.

求甲恰好获胜两场的概率.

17.小王某天乘火车从重庆到上海去办事，若当天从重庆到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响.求：

(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率.

(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率.

答案以及解析

1.答案：C

解析：因为A，B中有相同的样本点，如，故选项A、B错误；因为A中含有B中没有的样本点，如，故选项D错误；

因为，，，所以，故选项C.正确.

2.答案：0.56；0.94

解析：，..

3.答案：见解析

解析：若事件A，B相互独立，则，所以，即A，B不互斥.若事件A，B互斥，则，因为，所以，即A，B不独立.所以事件A，B相互独立与A，B互斥不能同时成立.

4.答案：（1）

（2）

解析：设“甲能破译密码”，“能破译密码”，则A，B相互独立.

由题意知，.

（1）；

（2）.

5.答案：A与B，A与C，B与C都不相互独立

解析：设，，，则，，

，，所以，，，.所以，但，，，即A与B，A与C，B与C都不相互独立.

6.答案：（1）的空间可表示为；

的样本空间可表示为；

的样本空间可表示为

（2）三个试验的共同特征：完成一次试验都要观察两个指标，即样本点中包含两个要素，并且每个要素都只有两种可能结果.所以它们的样本点都可以用有序数对来表示，并且具有相同的表达形式.

三个试验的区别：中的样本点具有等可能性，，中的样本点不是等可能的.

（3）；；

解析：（1）中用有序数对，m，表示样本点，其中0表示“反面朝上”，1表示“正面朝上”.其样本空间可表示为.

中用有序数对，，表示样本点，其中0表示“末命中”，1表示“命中”.其样本空间可表示为.

中用有序数对，x，表示样本点，其中0表示“摸到红球”，1表示“摸到黄球”.其样本空间可表示为.

（3）；；.

7.答案：C

解析：设“甲同学收到李老师的信息”为事件A，“收到张老师的信息”为事件B，A，B相互独立，，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为.故选C.

8.答案：C

解析：比赛结束时A队的得分高于B队的得分包含三种情况：

①A全胜；②第一局A胜，第二局B胜，第三局A胜；③第一局B胜，第二局A胜，第三局A胜.

所以比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率

.

故选C.

9.答案：A

解析：用事件A表示“旅行团选择去百花村”，事件B表示“旅行团选择去云洞岩”，A，B相互独立，则，.设，，则解得或（舍去），故旅行团选择去百花村的概率是.故选A.

10.答案：A

解析：A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2，0.4，0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立.若A射击1次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，概率为0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为或者第1次没有击中机尾且第2次击中了机尾，概率为，因此若A至多射击2次，则他能击落敌机的概率为.故选A.

11.答案：D

解析：由题意，灯泡不亮包括4个开关都断开；甲、丙、丁都断开，乙闭合；乙、丙、丁都断开，甲闭合，这三种情况是互斥的，每一种情况中的事件都是相互独立的，所以灯泡不亮的概率为，所以灯亮的概率为.故选D.

12.答案：A

解析：由题意，得骰子朝上的面的点数为奇数的概率为，即甲、乙每局得分的概率相等，

所以甲获胜的概率是，

乙获胜的概率是.

所以甲得到的游戏牌为（张），

乙得到的游戏牌为（张）.故选A.

13.答案：

解析：因为第3次首次检测到次品，所以第1次和第2次检测到的都是正品，第3次检测到的是次品，所以第3次首次检测到次品的概率为.

14.答案：

解析：设，，，

因为，，，

所以所以所以.

15.答案：；

解析：甲，乙两球都落入盒子的概率为.

方法一：甲、乙两球至少有一个落入盒子的情形包括：①甲落入、乙未落入的概率为；②甲未落入，乙落入的概率为；③甲，乙均落入的概率为.所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

方法二：甲，乙两球均未落入盒子的概率为，则甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.

16.答案：概率为

解析：设甲与三位志愿者比赛一场获胜的事件分别为A，B，C，

则，

则甲恰好获胜两场的概率为：

.

17.答案：(1)概率为0.398.

(2)概率为0.994.

解析：(1)用A，B，C分别表示这三列火车正点到达的事件，则，

所以.

由题意得A，B，C之间互相独立，

所以恰好有两列火车正点到达的概率为

.

(2)三列火车至少有一列正点到达的概率为.