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    6.4 平面向量的应用——2022-2023学年高一数学人教A版(2019)必修第二册课时同步练习
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    人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习

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    这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习,共24页。

    6.4 平面向量的应用

    【教材课后习题】

    1.若非零向量满足,且,则(   ).

    A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形

    C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形

    2.已知ONP所在平面内,满足,且,则点ONP依次是(   )

    A.重心,外心,垂心 B.重心,外心,内心

    C.外心,重心,垂心 D.外心,重心,内心

    3.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角.

    4.两个粒子AB从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为.

    1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s

    2)计算s上的投影向量.

    5.一个人在静水中游泳时,速度的大小为.当他在水流速度的大小为2km/h的河中游泳时.

    1)如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进(角度精确到)?实际前进速度的大小为多少?

    2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进(角度精确到?实际前进速度的大小为多少?

    6.中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到,边长精确到1cm):

    1

    2.

    7.中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到,边长精确到1cm):

    1

    2.

    8.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点CD.现测得,在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.

    9.在气象台A正西方向300km处有一台风中心,它正向东北方向移动,移动速度的大小为40km/h,距台风中心250km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变,气象台所在地是否会受到台风的影响?如果会,大约多长时间后受到影响?持续时间有多长(精确到1min)?

    10.你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗?

    11.已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点,点,把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,求点P的坐标.

    12.如图,在中,已知BCAC边上的两条中线AMBM相交于点P,求的余弦值.

    13.一条河的两岸平行,河的宽度,一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为,水流速度的大小为如果要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:

    1)当船逆流行驶,与水流成钝角时;

    2)当船顺流行驶,与水流成锐角时;

    3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.

    请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间,判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时所用时间最短.

    14.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发,航行到位于河对岸BAB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,求合速度的方向,并求此时小货船航行速度的大小.

    15.的三边分别为abc,边BCCAAB上的中线分别记为,利用余弦定理证明

    .

    16.中,求证:.

    17.证明:设三角形的外接圆的半径是R,则.

    18.利用三角形的面积公式,证明.

    19.如图,在中,点EF分别是ADDC边的中点,BEBF分别与AC交于RT两点,你能发现ARRTTC之间的关系吗?用向量方法证明你的结论.

    20.已知的三个角ABC的对边分别为abc,设,求证:

    1)三角形的面积

    2)若r为三角形的内切圆半径,则

    3BCACAB上的高分别记为,则

    .

    21.如图,为了测量两山顶MN间的距离,飞机沿水平方向在AB两点进行测量,ABMN在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案,包括:

    1)指出要测量的数据(用字母表示,并标示在图中);

    2)用文字和公式写出计算MN间的距离的步骤.

    22.已知abc分别为三个内角ABC的对边,且.

    1)求A

    2)若,则的面积为,求bc.

    【定点变式训练】

    23.已知非零向量满足,则(   ).

    A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形

    C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

    24.已知,其中ij分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,若共同作用于一物体,使物体从点移到点,则合力所做的功为(   )

    A.-5 B.5 C.-13 D.13

    25.长江流域内某段南北两岸平行,如图,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为,水流的速度的大小为,设所成的角为,若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则(   )

    A. B. C. D.

    26.某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置,一艘快艇负责救援,快艇从A岛出发,沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置,发现偏航后及时调整,沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置,则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为(   )

    A.海里 B.海里 C.海里 D.海里

    27.中,角ABC的对边分别为abc,若,则的值为(   ).

    A. B. C. D.

    28.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的三斜求积公式,设三个内角ABC所对的边分别为abc,面积为S,则三斜求积公式为.,则用三斜求积公式求得的面积为(   ).

    A. B. C.3 D.

    29.中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°30°,第一排和最后一排的距离为米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为(   )

    A.(米/秒) B.(米/秒) C.(米/秒) D.(米/秒)

    30.已知分别为三个内角的对边(   )

    A.3 B. C.6 D.

    31.如图,在平行四边形ABCD中,,则__________.

    32.如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力.BO与墙壁垂直,所受拉力,则的合力大小为_____________,方向为______________.

    33.已知的内角ABC的对边分别为abc,若,则的面积为_____________.

    34.如图,两座相距60m的建筑物ABCD的高度分别为20m50mBD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角_________.

    35.已知飞机从甲地沿北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地,再从乙地沿南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地,再从丙地沿西南方向飞行到达丁地,求丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?

    36.中,.

    )求

    )若,且的面积为,求的周长.

    37.中,角ABC所对的边分别为abc.已知.

    )求的值;

    )若,求的面积.

    38.的三个内角分别为ABC,其对边分别为abc,分别以abc为边长的三个正三角形的面积依次为,已知.

    1)求的面积;

    2)若,求b.


    答案以及解析

    1.答案:D

    解析:由,知

    中,的平分线与边BC垂直,.

    .

    为等边三角形,故选D.

    2.答案:C

    解析:由知点OABC三点的距离相等,所以O的外心.,知.AB的中点为D,则

    所以点N的中线AD上且,所以N的重心.,得,即,所以

    同理可得,所以P的垂心.故选C.

    3.答案:见解析

    解析:证明:如图,

    的半径为rAB的直径,C为圆周上一点,则.

    ,即为直角.

    4.答案:1

    2

    解析:(1.

    2)设s的夹角为

    所以s上的投影向量为

    .

    5.答案:1)沿与水流方向成的方向前进,实际前进速度为4km/h

    2)沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进,实际前进速度为

    解析:(1)如图(1),设人游泳的速度为,水流的速度为,以OAOB为邻边作,则此人的实际速度为.

    中,,所以.实际前进的速度,故此人沿与水流方向成的方向前进,实际前进速度为4km/h.

    2)如图(2),设此人的实际速度为,水流速度为,则游速为.

    中,

    所以

    故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进,实际前进速度为.

    6.答案:1

    2.

    解析:

    7.答案:1.

    2,或.

    解析:

    8.答案:

    解析:在中,.

    由正弦定理得.

    中,

    塔高AB.

    9.答案:大约2小时后,气象台所在地会受到台风影响,持续时间约为6小时36分钟

    解析:如图.

    设台风中心为BBD为台风经过的路径所在的直线,则.AC,则.

    气象台所在地会受到台风的影响.

    设以A为圆心,以250km为半径的圆与直线BD交于EF两点.

    .

    由余弦定理得是方程的根.

    方程整理得

    解得

    大约2小时后,气象台所在地会受到台风影响,持续时间约为6小时36分钟.

    10.答案:见解析

    解析:在中,边BCCAAB上的高分别记为,那么容易证明:

    根据三角形的面积公式,应用以上高的公式,可以推导出下面的三角形的面积公式:

    .

    同理,

    .

    11.答案:

    解析:

    P的坐标为.

    12.答案:

    解析:MN分别是BCAC的中点,

    .

    的夹角等于.

    .

    13.答案:当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时,所用时间最短

    解析:没的夹角为,船行驶的时间为t.

    1)当为钝角时,

    2)当为锐角时,

    3)当为直角时,

    为钝角时,

    为锐角时.

    所以当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时,所用时间最短.

    14.答案:合速度的方向与水流的方向成150°的角,小船航行速度

    解析:如图.

    合速度的方向与水流的方向成150°的角.

    设少货船的速度为,水流速度为,合速度为v,则

    小船航行速度.

    15.答案:见解析

    解析:证明:根据余弦定理的推论得,所以

    所以.

    同理可以证明其余两式.

    16.答案:见解析

    解析:证明:左边右边,所以等式成立.

    17.答案:1)见解析

    2)见解析

    3)见解析

    解析:(1)若A为锐角(如图(1)所示),作直径,连接,则,在中,,即.

    2)若A是直角(如图(2)所示),在中,可直接得

    3)若A为钝角(如图(3)所示),作直径,连接,则,在中,,即.

    由(1)(2)(3)得.

    同理可证,.

    18.答案:见解析

    解析:证明:.

    .

    19.答案:见解析

    解析:,证明如下:

    第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题:

    ,则.

    第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系:

    因为共线,所以我们设.

    又因为共线,

    所以我们设.

    因此,,即.由于向量ab不共线,要使上式为0,则

    解得,所以.

    同理.所以.

    第三步,把运算结果翻译成几何关系:.

    20.答案:1)见解析

    2)见解析

    3)见解析

    解析:证明:(1)根据余弦定理的推论得,则,代入

    .

    所以,代入可得.

    2)因为,所以三角形的周长.

    又三角形的面积,其中r为内切圆半径,

    所以.

    3)根据三角形的面积公式

    .

    同理可证其余两式.

    21.答案:1)见解析

    2)见解析

    解析:(1)如图,测出AB的距离a.

    2)在中,由正弦定理求得

    .

    中,由正弦定理求得

    .

    中,由余弦定理求得

    .

    22.答案:1

    2

    解析:(1

    .

    .

    .

    2

    .

    ①②解得.

    23.答案:D

    解析:中,

    ,即是等腰三角形,

    ,又

    是等边三角形.故选D.

    24.答案:A

    解析:因为

    所以

    所以

    故选:A.

    25.答案:B

    解析:由题意知

    因为

    所以.ACD错误.

    故选:B.

    26.答案:A

    解析:如图,由已知,所以,又

    所以,又

    由余弦定理可得

    所以(海里)

    故选:A.

    27.答案:C

    解析:由余弦定理,得.因为,所以.故选C.

    28.答案:B

    解析:根据题意,由,结合正弦定理得,即

    因为,所以,故.故选B.

    29.答案:B

    解析:如图,由题得.中,由正弦定理得,即,解得,则在中,,所以升旗的速度应为(米/秒).故选B.

    30.答案:A

    解析:由正弦定理及.又因为在所以整理得.因为在所以.又因为所以.所以故选A.

    31.答案:3

    解析:因为,所以.

    32.答案:;竖直向上

    解析:以为邻边作平行四边形BOAC,则,即

    .的合力大小为,方向为竖直向上.

    33.答案:

    解析:由余弦定理得

    ,解得

    .

    34.答案:45°

    解析:依题意可得

    ,所以在中,由余弦定理的推论得

    ,所以

    所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45°.

    35.答案:丁地在甲地的东南方向,且距甲地

    解析:如图,用ABCD分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,

    依题意知为等边三角形..

    为直角三角形,

    .

    丁地在甲地的东南方向,且距甲地.

    36.答案:(

    解析:()因为,所以
    因为,所以,所以.

    )因为的面积
    所以.
    由余弦定理可得
    所以
    所以的周长为.

    37.答案:(

    22

    解析:()由正弦定理,得.
    因为,所以
    ,所以.

    )由()知
    因为,所以,所以
    所以.
    因为,即
    所以
    所以.

    38.答案:(1

    2

    解析:(1)由,得,即
    ,所以.
    ,得(舍去),
    所以
    的面积.
    2)由及正弦定理知
    ,得.

     

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