人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用课时练习
展开6.4 平面向量的应用
【教材课后习题】
1.若非零向量与满足,且,则为( ).
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.底边和腰不相等的等腰三角形 D.等边三角形
2.已知O,N,P在所在平面内,满足,,且,则点O,N,P依次是的( )
A.重心,外心,垂心 B.重心,外心,内心
C.外心,重心,垂心 D.外心,重心,内心
3.用向量法证明:直径所对的圆周角是直角.
4.两个粒子A,B从同一发射源发射出来,在某一时刻,它们的位移分别为,.
(1)写出此时粒子B相对粒子A的位移s;
(2)计算s在上的投影向量.
5.一个人在静水中游泳时,速度的大小为.当他在水流速度的大小为2km/h的河中游泳时.
(1)如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进(角度精确到1°)?实际前进速度的大小为多少?
(2)他必须朝哪个方向游,才能沿与水流垂直的方向前进(角度精确到1°)?实际前进速度的大小为多少?
6.在中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm):
(1),,;
(2),,.
7.在中,分别根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到1cm):
(1),,;
(2),,.
8.如图,测量河对岸的塔高AB时,可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得,,,在点C测得塔顶A的仰角为,求塔高AB.
9.在气象台A正西方向300km处有一台风中心,它正向东北方向移动,移动速度的大小为40km/h,距台风中心250km以内的地区都将受到影响.若台风中心的这种移动趋势不变,气象台所在地是否会受到台风的影响?如果会,大约多长时间后受到影响?持续时间有多长(精确到1min)?
10.你能用三角形的边和角的正弦表示三角形的面积吗?
11.已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量,叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转角得到点P.已知平面内点,点,把点B绕点A沿顺时针方向旋转后得到点P,求点P的坐标.
12.如图,在中,已知,,,BC,AC边上的两条中线AM,BM相交于点P,求的余弦值.
13.一条河的两岸平行,河的宽度,一艘船从河岸边的A处出发到河对岸.已知船在静水中的速度的大小为,水流速度的大小为如果要使船行驶的时间最短,那么船行驶的距离与合速度的大小的比值必须最小.此时我们分三种情况讨论:
(1)当船逆流行驶,与水流成钝角时;
(2)当船顺流行驶,与水流成锐角时;
(3)当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时.
请同学们计算上面三种情况下船行驶的时间,判断是否当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时所用时间最短.
14.一条东西方向的河流两岸平行,河宽250m,河水的速度为向东.一艘小货船准备从河的这一边的码头A处出发,航行到位于河对岸B(AB与河的方向垂直)的正西方向并且与B相距的码头C处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km/h,则当小货船的航程最短时,求合速度的方向,并求此时小货船航行速度的大小.
15.的三边分别为a,b,c,边BC,CA,AB上的中线分别记为,,,利用余弦定理证明
,
,
.
16.在中,求证:.
17.证明:设三角形的外接圆的半径是R,则,,.
18.利用三角形的面积公式,,,证明.
19.如图,在中,点E,F分别是AD,DC边的中点,BE,BF分别与AC交于R,T两点,你能发现AR,RT,TC之间的关系吗?用向量方法证明你的结论.
20.已知的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c,设,求证:
(1)三角形的面积;
(2)若r为三角形的内切圆半径,则
(3)BC,AC,AB上的高分别记为,,,则
,
,
.
21.如图,为了测量两山顶M,N间的距离,飞机沿水平方向在A,B两点进行测量,A,B,M,N在同一个铅垂平面内.请设计一个测量方案,包括:
(1)指出要测量的数据(用字母表示,并标示在图中);
(2)用文字和公式写出计算M,N间的距离的步骤.
22.已知a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,且.
(1)求A;
(2)若,则的面积为,求b,c.
【定点变式训练】
23.已知非零向量与满足且,则为( ).
A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形
C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
24.已知,,其中i,j分别是x轴、y轴正方向上的单位向量,若,共同作用于一物体,使物体从点移到点,则合力所做的功为( )
A.-5 B.5 C.-13 D.13
25.长江流域内某段南北两岸平行,如图,一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸.已知游船在静水中的航行速度的大小为,水流的速度的大小为,设和所成的角为,若游船要从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处,则( )
A. B. C. D.
26.某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置,一艘快艇负责救援,快艇从A岛出发,沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置,发现偏航后及时调整,沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置,则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为( )
A.海里 B.海里 C.海里 D.海里
27.在中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,则的值为( ).
A. B. C. D.
28.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜求积”公式,设三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,面积为S,则“三斜求积”公式为.若,,则用“三斜求积”公式求得的面积为( ).
A. B. C.3 D.
29.中华人民共和国国歌有84个字,37小节,奏唱需要46秒,某校周一举行升旗仪式,旗杆正好处在坡度15°的看台的某一列的正前方,从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°,第一排和最后一排的距离为米(如图所示),旗杆底部与第一排在同一个水平面上.要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部,升旗手升旗的速度应为( )
A.(米/秒) B.(米/秒) C.(米/秒) D.(米/秒)
30.已知分别为三个内角的对边,且,则( )
A.3 B. C.6 D.
31.如图,在平行四边形ABCD中,,则__________.
32.如图,已知电线AO与天花板的夹角为60°,电线AO所受拉力.绳BO与墙壁垂直,所受拉力,则与的合力大小为_____________,方向为______________.
33.已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若,,,则的面积为_____________.
34.如图,两座相距60m的建筑物AB,CD的高度分别为20m、50m,BD为水平面,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角_________.
35.已知飞机从甲地沿北偏东30°的方向飞行2000km到达乙地,再从乙地沿南偏东30°的方向飞行2000km到达丙地,再从丙地沿西南方向飞行到达丁地,求丁地在甲地的什么方向?丁地距甲地多远?
36.在中,.
(Ⅰ)求;
(Ⅱ)若,且的面积为,求的周长.
37.在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知,.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若,求的面积.
38.记的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,分别以a,b,c为边长的三个正三角形的面积依次为,,,已知,.
(1)求的面积;
(2)若,求b.
答案以及解析
1.答案:D
解析:由,知,
中,的平分线与边BC垂直,.
又,.
,,为等边三角形,故选D.
2.答案:C
解析:由知点O到A,B,C三点的距离相等,所以O为的外心.由,知.设AB的中点为D,则,
所以点N在的中线AD上且,所以N为的重心.由,得,即,所以,
同理可得,,所以P为的垂心.故选C.
3.答案:见解析
解析:证明:如图,
设的半径为r,AB为的直径,C为圆周上一点,则.
,,
,
,,即为直角.
4.答案:(1)
(2)
解析:(1).
(2)设s与的夹角为,
则,
所以s在上的投影向量为
.
5.答案:(1)沿与水流方向成的方向前进,实际前进速度为4km/h
(2)沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进,实际前进速度为
解析:(1)如图(1),设人游泳的速度为,水流的速度为,以OA,OB为邻边作,则此人的实际速度为.
在中,,所以.实际前进的速度,故此人沿与水流方向成的方向前进,实际前进速度为4km/h.
(2)如图(2),设此人的实际速度为,水流速度为,则游速为.
在中,,,
所以,
故此人应沿与河岸夹角的余弦值为的方向逆着水流方向前进,实际前进速度为.
6.答案:(1),,;
(2),,.
解析:
7.答案:(1),,.
(2),,,或,,.
解析:
8.答案:
解析:在中,.
由正弦定理得,.
在中,,
塔高AB为.
9.答案:大约2小时后,气象台所在地会受到台风影响,持续时间约为6小时36分钟
解析:如图.
设台风中心为B,BD为台风经过的路径所在的直线,则.过A作于C,则.
,
气象台所在地会受到台风的影响.
设以A为圆心,以250km为半径的圆与直线BD交于E,F两点.
设,.
由余弦定理得,是方程的根.
方程整理得,
解得,,
,,
大约2小时后,气象台所在地会受到台风影响,持续时间约为6小时36分钟.
10.答案:见解析
解析:在中,边BC,CA,AB上的高分别记为,,,那么容易证明:
,
,
,
根据三角形的面积公式,应用以上高的公式,可以推导出下面的三角形的面积公式:
.
同理,
,.
11.答案:
解析:,,
,
,,
点P的坐标为.
12.答案:
解析:M,N分别是BC,AC的中点,
,.
与的夹角等于,.
,
,
,
.
13.答案:当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时,所用时间最短
解析:没与的夹角为,船行驶的时间为t,.
(1)当为钝角时,;
(2)当为锐角时,;
(3)当为直角时,;
当为钝角时,,,
当为锐角时,.
所以当船垂直于对岸行驶,与水流成直角时,所用时间最短.
14.答案:合速度的方向与水流的方向成150°的角,小船航行速度
解析:如图.
,,
,
,
,
合速度的方向与水流的方向成150°的角.
设少货船的速度为,水流速度为,合速度为v,则,
,
小船航行速度.
15.答案:见解析
解析:证明:根据余弦定理的推论得,所以,
所以.
同理可以证明其余两式.
16.答案:见解析
解析:证明:左边右边,所以等式成立.
17.答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析:(1)若A为锐角(如图(1)所示),作直径,连接,则,在中,,即.
(2)若A是直角(如图(2)所示),在中,可直接得;
(3)若A为钝角(如图(3)所示),作直径,连接,则,在中,,即.
由(1)(2)(3)得.
同理可证,,.
18.答案:见解析
解析:证明:,.
又,.
19.答案:见解析
解析:,证明如下:
第一步,建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题:
设,,,则.
第二步,通过向量运算,研究几何元素之间的关系:
因为与共线,所以我们设,.
又因为,与共线,
所以我们设.
因此,,即.由于向量a,b不共线,要使上式为0,则
解得,所以.
同理.所以.
第三步,把运算结果“翻译”成几何关系:.
20.答案:(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
解析:证明:(1)根据余弦定理的推论得,则,代入,
得
.
又,
所以,,,代入可得.
(2)因为,所以三角形的周长.
又三角形的面积,其中r为内切圆半径,
所以.
(3)根据三角形的面积公式,
得.
同理可证其余两式.
21.答案:(1)见解析
(2)见解析
解析:(1)如图,测出AB的距离a,,,,.
(2)在中,由正弦定理求得
.
在中,由正弦定理求得
.
在中,由余弦定理求得
.
22.答案:(1)
(2)
解析:(1),
,
,
,
.
,,
,.
,,.
(2),
,.
又,,
由①②解得.
23.答案:D
解析:在中,,
,
,
,即是等腰三角形,
又,,
,又,,
是等边三角形.故选D.
24.答案:A
解析:因为,,,,
所以,,,
所以,
故选:A.
25.答案:B
解析:由题意知,
则,
因为,,
即,
所以.故A,C,D错误.
故选:B.
26.答案:A
解析:如图,由已知,,所以,又,
所以,又,,
由余弦定理可得,
所以(海里)
故选:A.
27.答案:C
解析:由余弦定理,得.因为,所以,.故选C.
28.答案:B
解析:根据题意,由,结合正弦定理得,即,
因为,所以,故.故选B.
29.答案:B
解析:如图,由题得,,.在中,由正弦定理得,即,解得,则在中,,所以升旗的速度应为(米/秒).故选B.
30.答案:A
解析:由正弦定理及得.又因为在中,,所以,整理得.因为在,,所以,即.又因为,所以.又,所以,故选A.
31.答案:3
解析:因为,所以.
32.答案:;竖直向上
解析:以,为邻边作平行四边形BOAC,则,即,
,,,
,.与的合力大小为,方向为竖直向上.
33.答案:
解析:由余弦定理得,
则,解得,
.
34.答案:45°
解析:依题意可得,
又,所以在中,由余弦定理的推论得,
又,所以,
所以从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为45°.
35.答案:丁地在甲地的东南方向,且距甲地
解析:如图,用A,B,C,D分别表示甲地、乙地、丙地、丁地,
依题意知为等边三角形..
又,为直角三角形,
则.
丁地在甲地的东南方向,且距甲地.
36.答案:(Ⅰ)
(Ⅱ)
解析:(Ⅰ)因为,所以,
因为,所以,所以,.
(Ⅱ)因为的面积,
所以.
由余弦定理可得,
所以,
所以的周长为.
37.答案:(Ⅰ)
(Ⅱ)22
解析:(Ⅰ)由正弦定理,得.
因为,所以,
又,所以.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
因为,所以,所以,
所以.
因为,即,
所以,
所以.
38.答案:(1)
(2)
解析:(1)由,得,即,
又,所以.
由,得或(舍去),
所以,
则的面积.
(2)由,及正弦定理知,
即,得.
数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用精品习题: 这是一份数学必修 第二册<a href="/sx/tb_c4000293_t7/?tag_id=28" target="_blank">第六章 平面向量及其应用6.4 平面向量的应用精品习题</a>,共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精练: 这是一份人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精练,共8页。
高中数学6.4 平面向量的应用随堂练习题: 这是一份高中数学6.4 平面向量的应用随堂练习题,共16页。试卷主要包含了4 平面向量的应用》提升训练等内容,欢迎下载使用。