人教A版 (2019)必修 第二册6.4 平面向量的应用精练

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6.4.1 平面几何中的向量方法 一、选择题1．在四边形ABCD中,若,且||=||,则这个四边形是(　　)A．平行四边形 B．矩形C．等腰梯形 D．菱形【答案】C【解析】由知DC∥AB,且|DC|=|AB|,因此四边形ABCD是梯形.又因为||=||,所以四边形ABCD是等腰梯形.故选C2．（2020·全国高一课时练习）已知是所在平面内一点，且满足，则为A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【解析】因为，，因为，所以，因为，所以，由此可得以为邻边的平行四边形为矩形，所以，得的形状是直角三角形．故选B。3．（2020·全国高一课时练习）设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，，则（  ）A．8 B．4 C．2 D．1【答案】C【解析】因为，所以，又因为，所以,又因为是的中点，所以,故选C.4．（2020·全国高一课时练习）为平面上的定点，A，B，C是平面上不共线的三点，若，则是（ ）A．以AB为底面的等腰三角形B．以BC为底面的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形【答案】B【解析】根据题意，涉及了向量的加减法运算，以及数量积运算．因此可知，所以可知为故有，因此可知b=c，说明了是一个以BC为底边的等腰三角形，故选B.5.（多选题）设为同一平面内具有相同起点的三个任意的非零向量。且满足不共线，，，则的值一定等于（         ） A.以为邻边的平行四边形的面积 B.以为邻边的平行四边形的面积 C.以为两边的三角形的面积的2倍； D.以为两边的三角形面积。【答案】AC【解析】设的夹角为，的夹角为，则，故选AC。6.（多选题）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（      ） A.若，则点O是的重心。 B.若，则点O是的垂心。 C.若，则点O是的外心。 D.若，则点O是的内心。【答案】AC【解析】选项A，设D为BC的中点，由于，所以O为BC边上中线的三等分点（靠近点D），所以点O是的重心。选项B，向量分别表示在边AC和AB上去单位向量，记它们的差为向量，则当，即时，点O在的平分线上，同理由，知O在的平分线上，所以点O是的内心。选项C，是以为邻边的平行四边形的一条对角线，而是该平行四边形的另一条对角线，表示这个平行四边形是菱形，即，同理由，于是点O是的外心。选项D，由得，所以，所以，同理可证，所以，，即点O是的垂心。故选AC。二、填空题7.（2019·全国高一课时练习）已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则__________．【答案】【解析】设BC中点为M,则,所以P到BC的距离为点A到BC距离的，故8．（2019·全国高一课时练习）若点是所在平面内的一点，且满足，则与的面积比为__．【答案】【解析】是所在平面内的一点，连接，
延长 至使，延长至使 ，
如图示： ，
连接，则四边形 是平行四边形（向量和向量 平行且模相等）
由于 ，所以，所以 在平行四边形中，三角形ABD面积=三角形ABE面积=平行四边形ABED面积一半
故与的面积比 故答案为9．已知为△的外心，若+−=0，则=_____．【答案】【解析】∵+−=0，∴，∴，∵在圆上，∴，∴∙=0.所以. 10．在四边形ABCD中，＝(1，2)，＝(－4，2)，则与的夹角为        ，该四边形的面积为___________.【答案】   【解析】试题分析：假设对角线的交点为，的夹角为为，则四边形面积为，，，，所以，两向量夹角为，四边形面积.三．解答题11.（2020·全国高一课时练习）如图，在正方形中，分别为的中点，求证：（利用向量证明）.【答案】详见解析.【解析】证明：设，，则，..又，且，，.，..12．（2020·全国高一课时练习）如图，已知直角梯形中，，过点作于点，为的中点，用向量的方法证明：（1）；（2）三点共线.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图.令，则，.∵，∴四边形为正方形.∴各点坐标分别为，.（1）∵，，∴，∴，即.（2）∵为的中点，∴，∴，.∵，∴.又∵与有公共点，∴三点共线.