第六章 平面向量及其应用—2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修第二册单元巩固练习

第六章 平面向量及其应用 复习参考题

【教材课后习题】

1.判断下列命题是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”）.

（1）.(   )

（2）.(   )

（3）.(   )

（4）.(   )

2.选择题

（1）如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是(   ).

A. B. C. D.

（2）对于任意两个向量a和b，下列命题中正确的是(   ).

A.若a，b满足，且a与b同向，则

B.

C.

D.

（3）在四边形ABCD中，若，则(   ).

A.四边形ABCD是矩形 B.四边形ABCD是菱形

C.四边形ABCD是正方形 D.四边形ABCD是平行四边形

（4）设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是(   ).

A.a与的方向相反 B.

C.a与的方向相同 D.

（5）设M是的对角线的交点，O为任意一点，则(   )

A. B. C. D.

（6）在下列各组向量中，可以作为基底的是(   ).

A.， B.，

C.， D.，

3.已知六边形ABCDEF为正六边形，且，，分别用a，b表示，，，，，，.

4.已知平面直角坐标系中，点O为原点，，.

（1）求的坐标及的值；

（2）若，，求与的坐标；

（3）求的值.

5.已知点，，.若，则点D的坐标是什么?

6.已知向量，，，求满足的和的值.

7.已知的顶点坐标分别为，，，求，，的值.

8.已知向量，.当为何值时，与a垂直?

9.已知向量a与b的夹角为30°，，，求，的值.

10.如图，支座A受，两个力的作用，已知与水平线成角，，沿水平方向，，与的合力F的大小为100N，求以及F与的夹角的余弦值.

11.在中，分别根据下列条件解三角形（角度精确到1′，边长精确到0.01cm）：

（1），，；

（2），，；

（3），，；

（4），，.

12.海中有一座小岛，周围3nmile内有暗礁.一艘海轮由西向东航行，望见该岛在北偏东75°；海轮航行8nmile以后，望见该岛在北偏东55°.如果这艘海轮不改变航向继续前进，有没有触礁的危险?

13.选择题

（1）已知a，b是不共线的向量，且，，，则(   ).

A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线

C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线

（2）已知正方形ABCD的边长为1，，，，则(   ).

A.0 B.3 C. D.

（3）已知，，，，且四边形ABCD为平行四边形，则(   ).

A. B. C. D.

（4）若，是夹角为60°的两个单位向量，则与的夹角为(   ).

A.30° B.60° C.120° D.150°

（5）已知等边三角形ABC的边长为1，，，，那么(   ).

A.3 B.-3 C. D.

（6）若平面向量a，b，c两两的夹角相等，且，，，则(   ).

A.2 B.5 C.2或5 D.或

14.已知a，b，c，d为非零向量，证明下列结论，并解释其几何意义.

（1）；

（2）若，，则.

15.已知，向量，，满足条件，.求证：是等边三角形.

16.如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，点S关于点B的对称点为N，用a，b表示向量.（本题可以运用信息技术发现规律）

17.一个人骑自行车由A地出发向东骑行了9km到达B地，然后由B地行了16km到达D地，求这个人由A地到D地的位移（角度精确到1°）.

【定点变式训练】

18.在中，设为AC边的中点，则(   )

A. B. C. D.

19.已知向量不共线，若向量与的方向相反，则的值为(   )

A.1 B.0 C.-1 D.

20.如图所示，在四边形ABCD中，为BC的中点，且，则(   )

A. B. C.1 D.2

21.已知作用在点A的三个力，，，且，则合力的终点坐标为(   )

A. B. C. D.

22.P是所在平面内一点，满足，则的形状是(   )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形

23.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则(   )

A. B. C. D.

24.在中，，，，则(   )

A. B. C. D.

25.自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“岱宗夫如何？齐鲁青未了造化钟神秀，阴阳割昏晓荡胸生层云，决毗入归鸟会当凌绝顶，一览众山小”然而，随着技术手段的发展，山高路远便不再人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等如图为某工程队将A到D修建一条隧道，测量员测得一些数据如图所示(A，B，C，D在同一水平面内)，则A，D间的距离为(   )

A.km B.km C.km D.km

26.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则是(   )

A.直角三角形  B.等边三角形

C.等腰（非等边）三角形 D.等腰直角三角形

27.已知向量.若向量与共线，则实数________.

28.平面向量，且c与a的夹角等于c与b的夹角，则________.

29.已知在中，内角所对的边分别为，且满足，且，则____________.

30.如图，为测量山高MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点，从A点测得M点的仰角，C点的仰角以及；从C点测得.已知山高，则山高__________m.

31.设是不共线的两个非零向量.

(1)若，求证：A，B，C三点共线；

(2)若与共线，求实数k的值；

(3)若，且A，C，D三点共线，求实数k的值.

32.已知，，，.

（1）当时，求实数x的值；

（2）当取最小值时，求向量a与c的夹角的余弦值.

33.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

(1)求B.

(2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.

34.如图，在海岸A处，发现南偏东45°方向距A为海里的B处有一艘走私船，在A处正北方向，距A为海里的C处的缉私船立即奉命以海里/时的速度追截走私船.

(1)刚发现走私船时，求两船的距离.

(2)若走私船正以海里/时的速度从B处向南偏东75°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？并求出所需要的时间(精确到分钟，参考数据：)

35.已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足.

(1)求角C大小.

(2)若，求的取值范围.

答案以及解析

1.答案：（1）√

（2）√

（3）×

（4）×

解析：（1）与是相反向量，它们的和为零向量.故正确.

（2）当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，这两个向量的和等于第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量.故正确.

（3）当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差等于减向量的终点指向被减向量的终点的向量.故不正确.

（4）实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0.故不正确.

2.答案：（1）D

（2）B

（3）D

（4）C

（5）D

（6）B

解析：（1）因为a，b是两个单位向量，所以，因此，也即，故C项错误，D项正确；两个单位向量尽管长度相等，但方向不一定相同，故A项错误；，只有a，b的夹角为0时，才有，故B项错误.

（2）A项错误，向量不能比较大小；B项正确；C项错误，；D项错误，.故选B.

（3）是向量加法的平行四边形法则.

（4）当时，a与的方向相反，当时，a与的方向相同，故A项错误；，只有当时，才有，故B项错误；因为，所以a与同向，故C项正确；D项错误.故选C.

（5）因为，

所以.

（6）两个不共线的向量可以作为基底.A项中，故不能作为基底；B项中，不共线，可以作为基底；C项中，所以，不能作为基底；D项中，不能作为基底，故选B.

3.答案：，，，，，，

解析：如图，

设.

因为六边形ABCDEF为正六边形，

所以，

且.

又是等腰三角形，

所以，

从而可有，

则，

则，

所以，，同理有，.

所以，

，.

，，

，

，.

4.答案：（1），

（2），

（3）33

解析：（1），.

（2），

.

（3）.

5.答案：

解析：设，由，，知，，

要使，则有解得

所以点D的坐标为.

6.答案：

解析：由，得.即解得

7.答案：，，

解析：由，，可知，，所以，即，所以，，，所以，故，，.

8.答案：

解析：，，.

又与a垂直，，

，即，.

9.答案：，

解析：，

，.

10.答案：，

解析：，

，

即.

，解得.

又，

，即，

，解得.

11.答案：见解析

解析：（1）在中，根据正弦定理，得，，

（2）在中，根据正弦定理，得，因为，所以或；

当时，，；

当时，，.

（3）在中，根据余弦定理，得，根据正弦定理，得，.

（4）在中，根据余弦定理的推论，得，即，同理可得，.

12.答案：没有

解析：设海轮在B处望见小岛A在北偏东75°，在C处望见小岛A在北偏东55°，从小岛A向海轮的航线BC作垂线，垂足为D.设垂线段AD的长度为xnmile，CD为ynmile（如图），则即，则，解得.所以这艘海轮不改变航向继续前进，没有触礁的危险.

13.答案：（1）A

（2）D

（3）B

（4）C

（5）D

（6）C

解析：（1），A，B，D三点共线.

（2）因为，所以.

因为，所以.故选D.

（3）易知，，而在平行四边形ABCD中，，所以，即，也即，故选B.

（4），

，

，

.

设向量a与向量b的夹角为，则.又，所以，故选C.

（5）.

（6）由向量a，b，c两两所成的角相等，故向量a，b，c两两所成的角都等于0或.当a，b，c两两所成的角为时，，，.则，.当a，b，c唡两所成的角为0时，.故选C.

14.答案：（1）见解析

（2）见解析

解析：（1）先证.

，

.

因为，所以，于是.

再证.

由，两边平方得，

所以，于是.几何意义是矩形的两条对角线相等.

（2）先证.

.

又，所以，

所以.

再证，

由得，

即，

所以，

几何意义是菱形的对角线互相垂直，如图所示.

15.答案：见解析

解析：由已知，可得，

两边平方得，

令，，

，.

同理，.

故是等边三角形.

16.答案：

解析：连接AB（图略），由对称性可知，AB是的中位线，.

17.答案：这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了

解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系如图.

由题意可得，，，.

，

.

，

，

.

这个人的位移是沿北偏东约67°方向前进了.

18.答案：D

解析：因为为AC边的中点，所以.

由向量减法的三角形法则可得，，故选D.

19.答案：C

解析：向量与的方向相反，.

由向量共线的性质定理可知，存在一个实数m，使得，

即.

与不共线，，

可得.

当时，向量与是相等向量，其方向相同，不符合题意，故舍去..

20.答案：C

解析：由题意，得

.

.

与不共线，由平面向量基本定理得

.故选C.

21.答案：A

解析：，设合力f的终点为，O为坐标原点，则.故选A.

22.答案：B

解析：P是所在平面上一点，且，即，

两边平方并化简得，即是直角三角形.故选B.

23.答案：C

解析：设的面积为S，由题意知，即，解得.由余弦定理得，即.由正弦定理可得.故选C.

24.答案：C

解析：方法一：在中，由余弦定理可得，所以，则.又因为，所以，所以.故选C.

方法二：过点B作交AC于点D，则，可得为等腰三角形，且.在中，，所以，所以.故选C.

25.答案：A

解析：本题考查两角差的余弦公式以及余弦定理的应用.连接AC，设，，则在中，，，，所以，，，所以，所以，所以.故选A.

26.答案：B

解析：，，.根据余弦定理，得，即，.，.又，，即，化简可得，即，是等边三角形.故选B.

27.答案：

解析：因为，所以，故.

28.答案：2

解析：由，得，.与a的夹角等于c与b的夹角，，即，解得.

29.答案：

解析：根据正弦定理得，即，则，根据余弦定理得.

30.答案：150

解析：在中，，，，，

在中，，，，

由正弦定理可得，即，解得，

在中，.

故答案为150.

31.答案：(1)见解析

(2)值为

(3)

解析：(1)，

所以.又因为A为公共点，所以A，B，C三点共线.

(2)设，则

解得或

所以实数k的值为.

(3).

因为A，C，D三点共线，所以与共线.

从而存在实数使，即，

得解得所以.

32.答案：（1）

（2）

解析：（1），，解得.

（2）.

当时，有最小值1，即有最小值1.

此时，.，设向量a，c的夹角为，

则.

33.答案：(1)

(2)

解析：(1)由题设及正弦定理得.

因为，所以.

由，可得，

故.

因为，故，因此.

(2)由题设及(1)知的面积.

由正弦定理得.

由于为锐角三角形，故，

由(1)知，所以，故，

从而.

因此，面积的取值范围是.

34.答案：(1)4海里.

(2)南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.

解析：(1)在中，因为海里，海里，，

由余弦定理，得(海里).

(2)根据正弦定理，可得.

所以，易知，

设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，如图所示.

则有(海里)，(海里).

而，在中，根据正弦定理，可得，

所以，所以.

在中根据正弦定理，得，即，

解得小时≈47分钟.

故缉私船沿南偏东60°方向，需47分钟才能追上走私船.

35.答案：(1).
(2)取值范围是.

解析：(1)因为，

所以由正弦定理得，

所以，

因为，所以.

(2)由正弦定理得，

所以

，因为，

所以，

所以，

所以的取值范围是.