人教B版高中数学选择性必修第三册6-2-2导数与函数的极值、最值优选作业含答案

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【基础】6.2.2 导数与函数的极值、最值-3优选练习一．填空题1．请写出一个同时满足下列三个条件的函数：（1）是偶函数；（2）在上单调递减；（3）的值域是.则__________.2．在三棱锥中，平面平面，，．若，且三棱锥体积的最大值为，则______．3． 00递增极大值递减极小值递增所以的极小值点为，所以，故答案为：14．已知函数的定义域为，满足，，且当时，，则当时，的值域为______.5．函数，若，则的最小值是___________.6．若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是______.7．是定义在上的函数，其导函数为，若，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为______．8．在三棱锥中，平面，，，其外接球表面积为，则三棱锥的体积的最大值为________.9．在四面体中，，，，当_______________ 时，四面体的体积最大.10．已知函数，则的最大值为________________________．11．已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为______．12．已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数，恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数.以上命题中正确的为______.13．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．【题文】已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是______．14．若函数在区间只有一个极值点，则实数的取值范围为______.15．已知函数有三个零点，则实数的取值范围为___________.
参考答案与试题解析1．【答案】 (答案不唯一).【解析】如，，，所以是偶函数；时，，所以在上单调递减；，的值域是.故答案为：.答案不唯一.2．【答案】【解析】分析：由平面平面，，得到平面，设，则，从而 ，然后令，得到 ，再利用导数法求解.详解：因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面.设，则，因为，所以.如图所示：取的中点，连接，则，，，所以．设，则，，所以（），则，当 时， ，当 时，，所以当时，取得最大值，最大值为，则，解得.故答案为：【点睛】方法点睛：几何体体积的求法：(1)若所给定的几何体是柱体．锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解，其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．3．【答案】【解析】解：即，即，设，则，故函数在定义域上递增，又，故当时，，，即，设，则，当时，，递增，当时，，递减，（1），，即．故答案为：．4．【答案】【解析】分析：由，得到函数的周期为6，把时的值域，转化为时的值域，结合时，函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.详解：由题意，函数满足，可得，可得函数的周期为6，所以时的值域，即时的值域，即时的值域，当时，函数，可得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，又因为，所以在上的值域为，在上的值域为.综上可得在上的值域为.故答案为：.【点睛】解决函数极值．最值综合问题的策略：5．【答案】【解析】分析：由可得且，于是得到，设，即求函数的最小值，求出的导数得出其单调性，可得答案.详解：由函数，若即，则 ，即所以设，则由，可得，，可得所以函数在上单调递减，在上单调递增.所以的最小值为所以的最小值故答案为：【点睛】关键点睛：本题考查利用导数求最值，解答本题的关键是由条件得出，然后构造出函数，属于中档题.6．【答案】【解析】分析：把给定不等式等价转化，利用单调性借助导数即可得解.详解：因，令，即，于是在R上单调递增，，而有最小值-2，即，所以实数的取值范围是.故答案为：【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立，等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.7．【答案】【解析】题中不等式，即，令，则，故在上单调递增，而，即，所以，故不等式的解集是，故答案为: 8．【答案】【解析】分析：设的外心为点，外接球的球心为，过点作于点，令，，由得，所以，利用导数求解体积的最大值.详解：如图所示，令，，则，外接球表面积为，所以半径，在中，，即，即，得，所以体积，令，，在上单调递增，在上单调递减，所以时，的最大值为.故答案为：【点睛】本题考查了三棱锥的体积的计算，考查了利用导数求解最值，考查了学生的直观想象与运算求解能力.9．【答案】【解析】分析：将四面体补成一个长方体，根据四面体边长求解长方体的长宽高的表达式，以为变量求得四面体的体积，构造函数通过导数来求函数最大值即可.详解：将四面体放在长方体中(补成一个长方体，使得四面体的6条棱是长方体6个面的对角线)设长方体的长宽高分别为，，.则，解得，得易得四面体ABCD的体积V为长方体体积减去4个等体积的三棱锥的体积令，则令，令，得所以当 ， ；当 ，由导数知识可得在递增，在递减；故当时，取得最大值，此时也最大.时，四面体体积最大.故答案为：【点晴】将四面体放在长方体中(补成一个长方体，使得四面体的6条棱是长方体6个面的对角线)是解题的关键.10．【答案】【解析】分析：利用导数得出单调性即可得出最值.详解：则函数在上单调递增，在上单调递减即故答案为：11．【答案】【解析】分析：通过换元法将方程变为，其中；利用导数可求得的大致图象，从而确定其与的交点个数，将所求式子化为，利用韦达定理可求得结果.详解：由，两边同时除以变形为，有设即，所以令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，且，，当时，其大致图像如下．要使关于x的方程有三个不相等的实数解，，，且．结合图像可得关于t的方程一定有两个不等的实数根，且，从而．，，则，．所以.故答案为：【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解12．【答案】①②④【解析】分析：利用奇偶性的定义判断①；利用周期性的定义判断②；利用导数求解函数的最值；利用正弦函数的图象和性质判断④．详解：①，为奇函数，正确；②，为周期函数，正确；③，令，则，令，得，且为最大值，错误；④当时，，所以在上为增函数，正确.故答案为：①②④【点睛】本题考查了三角函数的奇偶性，周期，最值和单调性，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用，属于中档题．13．【答案】【解析】解：，则，若在区间上只有一个极值点，则在只有一个零点，,所以只有一个解，又因为作出函数的图像，由数形结合知，若使函数与在上只有一个交点，只需，即故答案为：.14．【答案】【解析】令可得，若函数函数有三个零点，则可得方程有三个根，即与的图象有三个不同的交点，作出的图象如图：当时，是以为顶点开口向下的抛物线，此时与的图象没有交点，不符合题意；当时，与的图象只有一个交点，不符合题意；当时，时，与的图象有一个交点，所以时与的图象有两个交点，即方程有两个不等的实根，即方程有两个不等的实根，可得与的图象有两个不同的交点，令，则，由即可得，由即可得，所以在单调递增，在单调递减，作出其图象如图：当时，，当
时，可得与的图象有两个不同的交点，即时，函数有三个零点，所以实数的取值范围为，故答案为：