人教B版高中数学选择性必修第三册6-2-2导数与函数的极值、最值随堂作业含答案1

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【精挑】6.2.2 导数与函数的极值、最值-3随堂练习一．填空题1．已知正三棱柱的外接球表面积为，则正三棱柱的所有棱长之和的最大值为______．2．函数的最小值是________．3．在上有唯一零点，则的值为___________．4．函数的最小值为________5．若存在两个正实数，使等式成立，（其中）则实数的取值范围是________．6．已知函数在点处取得极值，则___________.7．已知双曲线，过左焦点F作y轴平行线交双曲线于点M，过点F作双曲线渐近线的平行线交双曲线于点N，点M．点N都在x轴上方，则cos∠FMN的最小值是__________．8．已知，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围为_____．9．已知函数，直线分别交函数和的图象于点A和点B.若对任意都有成立，则实数m的取值范围是________.10．设s，t是不相等的两个正数，且，则的取值范围为___________.11．已知函数若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围为__________.12．函数在上的最大值是______.13．函数在上的最大值为________.14．若定义在N上的函数满足：存在，使得成立，则称与在N上具有性质，设函数与，其中，，已知与在N上不具有性质，将a的最小值记为．设有穷数列满足，这里表示不超过的最大整数．若去掉中的一项后，剩下的所有项之和恰可表为，则的值为_________．15．若对，不等式恒成立，则正实数的最大值为___________.
参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：由已知可得正三棱柱的外接球的球心为上下底面中心连线的中点，由外接球的表面积求出外接球半径，由底面边长求出底面外接圆半径，求出球心到底面的距离，进而求出正三棱柱的高，即可求出结论,详解：设正三棱柱上下底面中心分别为，连，取中点为正三棱柱外接球的球心，连为外接球的半径，如图，，设正三棱柱的底面边长为x，，在中，，三棱柱的所有棱长之和为.，令，解得，当时，，当时，，所以是函数在定义域内有唯一极大值点，故当时，有最大值.故答案为: .【点睛】关键点点睛：本题考查多面体与球的“接”“切”问题，根据球的性质确定球心是解题的关键，写出棱长之和的函数关系式，求最值是难点，利用导数求最值是解题的关键，属于难题.2．【答案】【解析】分析：利用导数的性质进行求解即可.详解：，当时，单调递增，当时，单调递减，因此当时，函数有最小值，最小值为.故答案为：3．【答案】【解析】即函数在上单调递减，在上单调递增要使得在上有唯一零点，必须，即故答案为：4．【答案】【解析】分析：对函数求导，求的根，然后判断函数的单调性，从而求解最小值.详解：由题意，函数的定义域为，，令，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为.故答案为：5．【答案】【解析】分析：由条件转化为，换元，令，由导数确定函数的值域即可求解.详解：，设且，设，那么，恒成立，所以是单调递减函数，当时，，当时，，函数单调递增，当，，函数单调递减，所以在时，取得最大值，，即，解得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性．最值，考查了变形运算能力，属于中档题.6．【答案】【解析】由已知，由题意，解得，此时有两个零点，原函数有两个极值点，满足题意．所以．故答案为：． 7．【答案】【解析】分析：结合双曲线的通径可求得的坐标，然后再设出直线的方程，与双曲线方程联立可求出的坐标，然后求得直线的斜率，最后借助于换元法，导数的知识求出斜率的最值，进而求出的最小值．详解：由题意得，所以直线的方程为．由得：，解得，又，所以直线斜率的绝对值为：．令，则．令，得．当时，；时，．故为的极小值，也是最小值，如图在直角三角形中：锐角的正切值最小为，此时，最小为，故此时最大为，故的最小值是．故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出点的坐标，并求出直线的斜率，当最小，即最大，即求直线的斜率的最小值，而根据计算可知.8．【答案】【解析】分析：令，可将不等式变形为，然后由的单调性可得，然后可得，然后求出右边的最小值即可.详解：不等式对任意的恒成立，令，则，所以不等式等价于对恒成立，变形可得不等式对恒成立，令，，则不等式等价于对恒成立，，当时，，故单调递增，所以不等式转化为对恒成立，即对恒成立，令，所以，令，解得，当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，所以当时，取得最小值，所以，又，所以实数的取值范围为．故答案为：．【点睛】关键点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将其变形为.9．【答案】.【解析】分析：把对任意都有成立，转化为在区间内，结合导数求得函数的单调性与最小值，再根据二次函数的性质，求得的最大值，即可求解.详解：由题意，函数，则直线分别交函数和的图象于点A和点B，故，设，因为对任意都有成立，转化为在区间内，因为，所以在上单调递增，故，因为，其对称轴，所以在区间上， ，即，所以，即，所以实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】对于此类问题的解答中合理构造新函数，转化为两个函数的最值问题，结合函数的最值构造不等关系式是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力.10．【答案】【解析】分析：构造函数，利用导数判断出函数的单调性结合图象得可得答案.详解：由已知，可得，设，则，当时，，函数为増函数；当时，，函数为减函数，如图，作出函数的大致图象，由题意知，所以s，t为方程的两个不同的解，不妨设，则，故，所以.故答案为：.【点睛】解题的关键点是构造函数利用导数判断单调性并画出函数图象，考查了学生分析问题．解决问题及计算能力.11．【答案】【解析】依题意得，设过原点的直线与切于点，则切线斜率，解得.所以与切于点，即，作出的简图，由图可知，要使动直线与的图象有两个不同的交点，则，解得.故答案为：.12．【答案】【解析】分析：利用导函数可知在上，有单调递减，即可求区间内最小值.详解：在上，有，知：在上单调递减，在和上单调递增，故最大值在极大值点或端点值处取得，极大值为，最大的端点值为，明显地，，所以，在上的最大值是故答案为：13．【答案】【解析】分析：先求导，根据单调性求函数最大值即可.详解：因为，当时，，函数递增，当时，，函数递减，所以.故答案为：．【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.14．【答案】2626【解析】分析：问题可转化为在上恒成立，令在上恒成立，根据函数的单调性求出，从而求出，再求出答案即可.详解：因为与在N上不具有性质，所以在N上恒成立，令在N上恒成立，当时，最小，所以联立，得到，令，则，当时，，递减，当时，，递增，所以，所以，当时，，所以，因为，所以，所以，而，取，则，所以，故答案为：2626.【点睛】方法点睛：该题考查的是有关函数恒成立问题，数列的应用以及转化思想，解题方法如下：（1）根据题意，将问题转化，将其转化为在N上恒成立，利用导数研究其单调性，得到最值，求得相应的参数值；（2）根据数列相关公式求得的；（3）根据题意，建立相应的等量关系式求得结果.15．【答案】【解析】分析：由题，不等式恒成立可转化为恒成立，令，利用导数求出的单调性，可得，进而可得在恒成立，令，利用导数求出最小值即可.详解：恒成立，即恒成立，可转化为恒成立，令，则，可知在单调递减，在单调递增，，由题意知，∵，∴，只需要，即在恒成立.令，，所以在单调递减，在单调递增，，得.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将不等式化为，构造函数求解.